Kosinüs türevi nasıl türetilir

2024 Yazar: Angel Austin | [email protected]. Son düzenleme: 2023-12-17 05:44

Kosinüsün türevi sinüsün türevine benzetilerek bulunur, ispatın temeli fonksiyonun limitinin tanımıdır. Açıların kosinüs ve sinüsü için trigonometrik indirgeme formüllerini kullanarak başka bir yöntem kullanabilirsiniz. Bir işlevi diğeriyle - kosinüsü sinüs cinsinden ifade edin ve sinüsü karmaşık bir argümanla ayırt edin.

(Cos(x))' formülünü türetmenin ilk örneğini düşünün

y=Cos(x) fonksiyonunun x argümanına ihmal edilebilecek kadar küçük bir Δx artışı verin. х+Δх argümanının yeni bir değeriyle, Cos(х+Δх) fonksiyonunun yeni bir değerini elde ederiz. O zaman Δy fonksiyon artışı Cos(х+Δx)-Cos(x)'a eşit olacaktır.

Fonksiyon artışının Δх'ye oranı şu şekilde olacaktır: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. Ortaya çıkan kesrin payında aynı dönüşümleri yapalım. Açıların kosinüslerindeki farkın formülünü hatırlayın, sonuç -2Sin (Δx / 2) çarpı Sin (x + Δx / 2) çarpımı olacaktır. Δx sıfıra eğilim gösterdiğinden, bu çarpımın lim bölümünün sınırını Δx üzerinde buluyoruz. Bilindiği gibi ilk(harika denir) lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) limiti 1'e eşittir ve -Sin(x+Δx/2) limiti -Sin(x)'e Δx olarak eşittir sıfıra eğilimlidir. Sonucu yazın: (Cos(x))' 'nin türevi eşittir - Sin(x).

Bazı insanlar aynı formülü elde etmenin ikinci yolunu tercih eder

Trigonometrinin seyrinden bilinir: Cos(x) eşittir Sin(0, 5 ∏-x), benzer şekilde Sin(x) eşittir Cos(0, 5 ∏-x). Sonra karmaşık bir fonksiyonun türevini alırız - ek açının sinüsü (kosinüs x yerine).

Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)' çarpımını elde ederiz, çünkü sinüs x'in türevi kosinüs X'e eşittir. (0.5 ∏-x)'=-1'i hesaba katarak, kosinüsü sinüs ile değiştirmenin ikinci formülü Sin(x)=Cos(0.5 ∏-x)'e dönüyoruz. Şimdi -Sin(x) elde ederiz. Yani, y=Cos(x) fonksiyonu için kosinüsün türevi y'=-Sin(x) bulunur.

Kare kosinüs türevi

Kosinüs türevinin kullanıldığı yaygın olarak kullanılan bir örnek. y=Cos²(x) işlevi zordur. Önce güç fonksiyonunun üs 2 ile diferansiyelini buluruz, 2·Cos(x) olur, sonra onu -Sin(x)'e eşit olan (Cos(x))' türeviyle çarparız. y'=-2 Cos(x) Sin(x) elde ederiz. Bir çift açının sinüsü olan Sin(2x) formülünü uyguladığımızda, son sadeleştirilmişcevap y'=-Sin(2x) elde ederiz.

Hiperbolik fonksiyonlar

Birçok teknik disiplinin incelenmesinde kullanılırlar: örneğin matematikte, integrallerin hesaplanmasını, diferansiyel denklemlerin çözümünü kolaylaştırırlar. Hayali olan trigonometrik fonksiyonlar cinsinden ifade edilirler.argüman, yani hiperbolik kosinüs ch(x)=Cos(i x), burada i sanal birimdir, hiperbolik sinüs sh(x)=Sin(i x).

Hiperbolik kosinüsün türevi oldukça basit bir şekilde hesaplanır.

y=fonksiyonunu düşünün (e^x+e^-x) /2, bu ve hiperbolik kosinüs ch(x)'dir. İki ifadenin toplamının türevini bulmak için kuralı, türevin işaretinden sabit çarpanı (Const) çıkarmak için kuralı kullanırız. İkinci terim 0,5 e^-x karmaşık bir fonksiyondur (türevi -0.5 e^-x'dir), 0,5 e^х - ilk terim. (ch(x)) '=((e^x+e^-x)/2)' yazılabilir başka bir şekilde: (0, 5 e^x+0, 5 e^-x)'=0, 5 e ^x-0, 5 e^-x, çünkü türev (e - x^{)' eşittir -1 çarpı e}-x^{. Sonuç bir farktır ve bu hiperbolik sinüs sh(x).}Çıktı: (ch(x))'=sh(x).

Nasıl yapılacağına dair bir örneğe bakalım y=ch(x

3^{+1) fonksiyonunun türevini hesaplayın.}Karmaşık argüman y'=sh(x

ile hiperbolik kosinüs türev alma kuralına göre) 3^{+1) (x} 3^{+1)', burada (x}3^{+1)'=3 x} 2^+0. Cevap: bu fonksiyonun türevi 3 x

2^sh(x3^+1).

Değerlendirilen y=ch(x) ve y=Cos(x) fonksiyonlarının tablosal türevleri

Örnekleri çözerken önerilen şemaya göre her seferinde farklılaştırmaya gerek yoktur, çıkarımı kullanmak yeterlidir.

Örnek. y=fonksiyonunun türevini alınCos(x)+Cos²(-x)-Ch(5 x). Hesaplaması kolaydır (tablo verilerini kullanın), y'=-Sin(x) +Sin(2 x)-5 Sh(5 x).