Tek tip bir yerçekimi alanında, uzayamayan ağırlıksız bir ipe (kütlesi vücudun ağırlığına kıyasla ihmal edilebilir) asılı bir malzeme noktasından (gövde) oluşan mekanik bir sisteme matematiksel sarkaç denir (diğer adı bir osilatör). Bu cihazın başka türleri de var. İplik yerine ağırlıksız bir çubuk kullanılabilir. Matematiksel bir sarkaç, birçok ilginç olgunun özünü açıkça ortaya çıkarabilir. Küçük bir salınım genliği ile hareketine harmonik denir.
Mekanik sisteme genel bakış
Bu sarkacın salınım periyodu formülü, Hollandalı bilim adamı Huygens (1629-1695) tarafından türetilmiştir. I. Newton'un bu çağdaşı, bu mekanik sisteme çok düşkündü. 1656'da ilk sarkaçlı saati yarattı. Zamanı olağanüstü bir şekilde ölçtülero zamanlar doğruluk için. Bu buluş, fiziksel deneylerin ve pratik etkinliklerin geliştirilmesinde önemli bir kilometre taşı haline geldi.
Sarkaç dengedeyse (dikey olarak asılı), o zaman yerçekimi kuvveti iplik gerilimi kuvvetiyle dengelenecektir. Uzatılamaz bir diş üzerindeki düz bir sarkaç, bağlantılı iki serbestlik derecesine sahip bir sistemdir. Sadece bir bileşeni değiştirdiğinizde, tüm parçalarının özellikleri değişir. Dolayısıyla, iplik bir çubukla değiştirilirse, bu mekanik sistem sadece 1 serbestlik derecesine sahip olacaktır. Matematiksel sarkacın özellikleri nelerdir? Bu en basit sistemde, kaos, periyodik bir bozulmanın etkisi altında ortaya çıkar. Askı noktasının hareket etmediği, ancak salındığı durumda, sarkaç yeni bir denge konumuna sahiptir. Hızlı yukarı ve aşağı salınımlarla, bu mekanik sistem sabit bir baş aşağı pozisyon alır. Ayrıca kendi adı var. Buna Kapitza'nın sarkacı denir.
Sarkaç özellikleri
Matematiksel sarkaç çok ilginç özelliklere sahiptir. Hepsi bilinen fiziksel yasalarla doğrulanır. Diğer sarkacın salınım periyodu, vücudun boyutu ve şekli, süspansiyon noktası ile ağırlık merkezi arasındaki mesafe, bu noktaya göre kütle dağılımı gibi çeşitli koşullara bağlıdır. Bu nedenle, asılı bir cismin periyodunu belirlemek oldukça zor bir iştir. Aşağıda formülü verilecek olan bir matematiksel sarkacın periyodunu hesaplamak çok daha kolaydır. Benzer gözlemler sonucundamekanik sistemler aşağıdaki kalıpları oluşturabilir:
• Sarkaçın uzunluğunu aynı tutarken farklı ağırlıklar asarsak, kütleleri büyük ölçüde değişse de salınımlarının periyodu aynı olacaktır. Bu nedenle, böyle bir sarkacın periyodu, yükün kütlesine bağlı değildir.
• Sistemi başlatırken, sarkaç çok büyük değil de farklı açılarla saparsa, aynı periyotla ancak farklı genliklerle salınmaya başlayacaktır. Denge merkezinden sapmalar çok büyük olmadığı sürece, formlarındaki salınımlar harmoniklere oldukça yakın olacaktır. Böyle bir sarkacın periyodu, hiçbir şekilde salınım genliğine bağlı değildir. Bu mekanik sistemin bu özelliğine izokronizm denir (Yunanca "chronos" - zaman, "isos" - eşit'ten çevrilmiştir).
Matematiksel sarkacın periyodu
Bu gösterge, doğal salınımların dönemini temsil eder. Karmaşık ifadelere rağmen, sürecin kendisi çok basittir. Matematiksel sarkacın ipliğinin uzunluğu L ve serbest düşüşün ivmesi g ise, bu değer:
T=2π√L/g
Küçük doğal salınımların periyodu hiçbir şekilde sarkacın kütlesine ve salınımların genliğine bağlı değildir. Bu durumda sarkaç, uzunluğu az altılmış matematiksel bir sarkaç gibi hareket eder.
Matematiksel sarkacın salınımları
Basit bir diferansiyel denklemle tanımlanabilen matematiksel bir sarkaç salınır:
x + ω2 günah x=0, nerede x (t) bilinmeyen bir fonksiyondur (bu, alt değerden sapma açısıdırt zamanındaki denge konumu, radyan cinsinden ifade edilir); ω, sarkacın parametrelerinden belirlenen pozitif bir sabittir (ω=√g/L, burada g serbest düşüş ivmesidir ve L, matematiksel sarkacın (süspansiyon) uzunluğudur).
Denge konumuna yakın küçük dalgalanmaların denklemi (harmonik denklem) şuna benzer:
x + ω2 günah x=0
sarkacın salınım hareketleri
Bir sinüzoid boyunca hareket eden küçük salınımlar yapan matematiksel bir sarkaç. İkinci mertebeden diferansiyel denklem, böyle bir hareketin tüm gerekliliklerini ve parametrelerini karşılar. Yörüngeyi belirlemek için, daha sonra bağımsız sabitlerin belirlendiği hızı ve koordinatı belirtmelisiniz:
x=Bir günah (θ0 + ωt), nerede θ0 başlangıç fazıdır, A salınım genliğidir, ω hareket denkleminden belirlenen döngüsel frekanstır.
Matematiksel sarkaç (büyük genlikler için formüller)
Salınımlarını önemli bir genlikle yapan bu mekanik sistem, daha karmaşık hareket yasalarına uyar. Böyle bir sarkaç için şu formülle hesaplanırlar:
sin x/2=usn(ωt/u), burada sn, u < 1 için periyodik bir fonksiyon olan Jacobi sinüsüdür ve küçük u için basit bir trigonometrik sinüs ile çakışır. u'nun değeri şu ifadeyle belirlenir:
u=(ε + ω2)/2ω2, nerede ε=E/mL2 (mL2 sarkacın enerjisidir).
Doğrusal olmayan bir sarkacın salınım periyodunu belirlemeşu formüle göre gerçekleştirilir:
T=2π/Ω, nerede Ω=π/2ω/2K(u), K eliptik integraldir, π - 3, 14.
Separatrix boyunca sarkacın hareketi
Bir ayırıcı, iki boyutlu faz uzayına sahip dinamik bir sistemin yörüngesidir. Matematiksel sarkaç, periyodik olmayan bir şekilde onun boyunca hareket eder. Sonsuz uzak bir zamanda, en üst konumdan yana sıfır hızla düşer, sonra yavaş yavaş onu alır. Sonunda durur ve orijinal konumuna döner.
Sarkaç salınımlarının genliği π sayısına yaklaşıyorsa, bu, faz düzlemindeki hareketin ayırıcıya yaklaştığını gösterir. Bu durumda, küçük bir periyodik kuvvetin etkisi altında, mekanik sistem kaotik davranış sergiler.
Matematiksel sarkaç belirli bir φ açısıyla denge konumundan saptığında, teğetsel bir yerçekimi kuvveti Fτ=–mg sin φ ortaya çıkar. Eksi işareti, bu teğet bileşenin sarkaç sapmasından ters yöne yönlendirildiği anlamına gelir. Sarkacın yarıçapı L olan bir dairenin yayı boyunca yer değiştirmesi x ile gösterildiğinde, açısal yer değiştirmesi φ=x/L'ye eşittir. İvme vektörü ve kuvvetinin izdüşümleri için tasarlanan Isaac Newton'un ikinci yasası istenen değeri verecektir:
mg τ=Fτ=–mg sin x/L
Bu orana dayanarak, bu sarkacın doğrusal olmayan bir sistem olduğu açıktır, çünkü geri dönmeye çalışan kuvvetdenge konumuyla, her zaman x yer değiştirmesiyle değil, sin x/L ile orantılıdır.
Yalnızca matematiksel sarkaç küçük salınımlar yaptığında, harmonik bir osilatördür. Başka bir deyişle, harmonik titreşimler gerçekleştirebilen mekanik bir sistem haline gelir. Bu yaklaşıklık, 15-20°'lik açılar için pratik olarak geçerlidir. Büyük genlikli sarkaç salınımları harmonik değildir.
Bir sarkacın küçük salınımları için Newton yasası
Bu mekanik sistem küçük titreşimler yapıyorsa Newton'un 2. yasası şöyle görünecektir:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
Buna dayanarak, matematiksel sarkacın teğetsel ivmesinin eksi işaretiyle yer değiştirmesiyle orantılı olduğu sonucuna varabiliriz. Bu, sistemin harmonik osilatör haline gelmesinden kaynaklanan durumdur. Yer değiştirme ve hızlanma arasındaki orantılı kazancın modülü dairesel frekansın karesine eşittir:
ω02=g/L; ω0=√ g/L.
Bu formül, bu tür sarkacın küçük salınımlarının doğal frekansını yansıtır. Buna dayanarak, T=2π/ ω0=2π√ g/L.
Enerjinin korunumu yasasına dayalı hesaplamalar
Sarkaçın salınım hareketlerinin özellikleri, enerjinin korunumu yasası kullanılarak da tanımlanabilir. Bu durumda sarkacın yerçekimi alanındaki potansiyel enerjisinin şu şekilde olduğu dikkate alınmalıdır:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
Toplam mekanik enerjikinetik veya maksimum potansiyele eşittir: Epmax=Ekmsx=E
Enerjinin korunumu yasası yazıldıktan sonra, denklemin sağ ve sol taraflarının türevini alın:
Ep + Ek=const
Sabit değerlerin türevi 0 olduğundan, o zaman (Ep + Ek)'=0. Toplamın türevi, türevlerin toplamına eşittir:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, dolayısıyla:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
Son formüle dayanarak şunu buluruz: α=- g/Lx.
Matematiksel sarkacın pratik uygulaması
Yer kabuğunun gezegendeki yoğunluğu aynı olmadığından, serbest düşüşün ivmesi coğrafi enlemle değişir. Daha yüksek yoğunluklu kayaların meydana geldiği yerlerde, biraz daha yüksek olacaktır. Matematiksel sarkacın ivmesi genellikle jeolojik keşif için kullanılır. Çeşitli mineralleri aramak için kullanılır. Sadece sarkacın salınım sayısını sayarak, Dünya'nın bağırsaklarında kömür veya cevher bulabilirsiniz. Bunun nedeni, bu tür fosillerin, altlarındaki gevşek kayalardan daha büyük bir yoğunluğa ve kütleye sahip olmalarıdır.
Matematiksel sarkaç Sokrates, Aristoteles, Platon, Plutarch, Arşimet gibi önde gelen bilim adamları tarafından kullanılmıştır. Birçoğu bu mekanik sistemin bir kişinin kaderini ve yaşamını etkileyebileceğine inanıyordu. Arşimet, hesaplamalarında matematiksel bir sarkaç kullandı. Günümüzde birçok okültist ve medyumkehanetlerini yerine getirmek veya kayıp insanları aramak için bu mekanik sistemi kullanın.
Ünlü Fransız astronom ve doğa bilimci K. Flammarion da araştırması için matematiksel bir sarkaç kullandı. Yardımıyla yeni bir gezegenin keşfini, Tunguska göktaşının görünümünü ve diğer önemli olayları tahmin edebildiğini iddia etti. Almanya'da (Berlin) İkinci Dünya Savaşı sırasında özel bir Sarkaç Enstitüsü çalıştı. Bugün, Münih Parapsikoloji Enstitüsü benzer araştırmalarla meşgul. Bu kurumun çalışanları sarkaçla yaptıkları işe “radiestezi” diyorlar.
