Eski Mısır'da bile, hacimleri, alanları ve diğer miktarları ölçmenin mümkün olduğu bilim ortaya çıktı. Bunun için itici güç, piramitlerin inşasıydı. Önemli sayıda karmaşık hesaplamalar içeriyordu. İnşaatın yanı sıra araziyi uygun şekilde ölçmek de önemliydi. Dolayısıyla "geometri" bilimi, Yunanca "geos" - dünya ve "metrio" - ölçüyorum - kelimelerinden ortaya çıktı.
Geometrik formların incelenmesi, astronomik olayların gözlemlenmesiyle kolaylaştırıldı. Ve zaten MÖ 17. yüzyılda. e. bir dairenin alanını, bir topun hacmini hesaplamak için ilk yöntemler bulundu ve en önemli keşif Pisagor teoremiydi.
Üçgen içine yazılan bir daire ile ilgili teoremin ifadesi aşağıdaki gibidir:
Bir üçgene yalnızca bir daire yazılabilir.
Bu düzenleme ile daire çizilir ve üçgen dairenin yanında çevrelenir.
Üçgen içine yazılan bir dairenin merkeziyle ilgili teoremin ifadesi aşağıdaki gibidir:
İçinde yazılı bir dairenin merkez noktasıüçgen, bu üçgenin açıortaylarının bir kesişme noktası var.
İkizkenar üçgende yazılı daire
Bir daire, tüm kenarlarına en az bir noktayla dokunuyorsa, üçgen içinde yazılı olarak kabul edilir.
Aşağıdaki fotoğraf ikizkenar üçgenin içindeki bir daireyi gösteriyor. Teoremin bir üçgende yazılı bir daire hakkındaki koşulu karşılanır - sırasıyla AB, BC ve CA üçgeninin tüm kenarlarına R, S, Q noktalarında dokunur.
İkizkenar üçgenin özelliklerinden biri, yazılı dairenin tabanı temas noktasına göre ikiye ayırmasıdır (BS=SC) ve yazılı dairenin yarıçapı bu üçgenin yüksekliğinin üçte biri kadardır (SP=AS/3).
Üçgen daire teoreminin özellikleri:
- Üçgenin bir köşesinden daire ile temas noktalarına gelen segmentler eşittir. Resimde AR=AQ, BR=BS, CS=CQ.
- Bir dairenin yarıçapı (yazılı), üçgenin yarım çevresine bölünen alandır. Örnek olarak, aşağıdaki boyutlarda resimdekiyle aynı harf atamalarına sahip bir ikizkenar üçgen çizmeniz gerekir: sırasıyla taban BC \u003d 3 cm, yükseklik AS \u003d 2 cm, kenarlar AB \u003d BC elde edilir her biri 2,5 cm. Her köşeden bir açıortay çizeriz ve kesişme yerlerini P olarak gösteririz. Uzunluğu bulunması gereken PS yarıçaplı bir daire çizeriz. Bir üçgenin alanını tabanın 1/2'sini yükseklikle çarparak bulabilirsiniz: S=1/2DCAS=1/232=3 cm2 . yarı çevreüçgen, tüm tarafların toplamının 1/2'sine eşittir: P \u003d (AB + BC + SA) / 2 \u003d (2.5 + 3 + 2.5) / 2 \u003d 4 cm; PS=S/P=3/4=0,75 cm2, bu bir cetvelle ölçüldüğünde tamamen doğrudur. Buna göre, teoremin bir üçgen içine yazılmış bir daire hakkındaki özelliği doğrudur.
Dik üçgende yazılı daire
Dik açılı bir üçgen için, üçgen yazılı daire teoreminin özellikleri geçerlidir. Ayrıca, Pisagor teoreminin postülalarıyla problem çözme yeteneği eklendi.
Bir dik üçgende yazılı dairenin yarıçapı şu şekilde belirlenebilir: bacakların uzunluklarını toplayın, hipotenüsün değerini çıkarın ve elde edilen değeri 2'ye bölün.
Bir üçgenin alanını hesaplamanıza yardımcı olacak iyi bir formül var - çevreyi bu üçgende yazılı dairenin yarıçapı ile çarpın.
Incircle teoreminin formülasyonu
Yazılı ve sınırlı şekillerle ilgili teoremler planimetride önemlidir. Bir tanesi şuna benziyor:
Üçgenin içine yazılan dairenin merkezi, köşelerinden çizilen açıortayların kesişme noktasıdır.
Aşağıdaki şekil bu teoremin kanıtını göstermektedir. Açıların eşitliği ve buna bağlı olarak bitişik üçgenlerin eşitliği gösterilir.
Üçgen içinde yazılı bir dairenin merkezi hakkında teorem
Üçgen içinde yazılı bir dairenin yarıçapı,teğet noktalara çizilen üçgenin kenarlarına diktir.
"Üçgen içine yazılan bir daire hakkında teoremi formüle etme" görevi sürpriz olarak alınmamalıdır, çünkü bu, geometrideki birçok pratik problemi çözmek için tam olarak ustalaşmanız gereken temel ve en basit bilgilerden biridir. gerçek hayat.
