Geometri güzeldir çünkü cebirin aksine, ne düşündüğünüzün ve neden düşündüğünüzün her zaman net olmadığı durumlarda nesneye görünürlük kazandırır. Çeşitli bedenlerin bu harika dünyası, düzenli çokyüzlülerle süslenmiştir.
Düzenli çokyüzlüler hakkında genel bilgiler
Birçoklarına göre, düzenli çokyüzlüler veya Platonik katılar olarak da adlandırılırlar, benzersiz özelliklere sahiptirler. Bu nesnelerle ilgili çeşitli bilimsel hipotezler vardır. Bu geometrik cisimleri incelemeye başladığınızda, düzenli çokyüzlüler gibi bir kavram hakkında pratikte hiçbir şey bilmediğinizi anlarsınız. Bu nesnelerin okulda sunumu her zaman ilginç değildir, pek çoğu ne dendiğini bile hatırlamıyor. Çoğu insan sadece küpü hatırlar. Geometrideki cisimlerin hiçbiri normal çokyüzlüler kadar mükemmel değildir. Bu geometrik cisimlerin tüm isimleri Antik Yunan kökenlidir. Yüzlerin sayısını kastediyorlar: dört yüzlü - dört yüzlü, altı yüzlü - altı yüzlü, sekiz yüzlü - sekiz yüzlü, on iki yüzlü - on iki yüzlü, ikosahedron - yirmi yüzlü. Bütün bu geometrik cisimlerPlaton'un evren anlayışında önemli bir yer tutmuştur. Bunlardan dördü elementleri veya varlıkları kişileştirdi: tetrahedron - ateş, ikosahedron - su, küp - toprak, oktahedron - hava. Dodekahedron var olan her şeyi somutlaştırdı. Ana sembol olarak kabul edildi, çünkü evrenin bir simgesiydi.
Çokyüzlü kavramının genelleştirilmesi
Bir çokyüzlü, sonlu sayıda çokgen topluluğudur, öyle ki:
- herhangi bir çokgenin kenarlarının her biri aynı zamanda aynı kenardaki yalnızca bir başka çokgenin kenarıdır;
- Çokgenlerin her birinden, yanındaki çokgenleri geçerek diğerlerine ulaşabilirsiniz.
Bir çokyüzlü oluşturan çokgenler yüzleridir ve kenarları kenarlardır. Çokyüzlülerin köşeleri çokgenlerin köşeleridir. Çokgen kavramı düz kapalı kesikli çizgiler olarak anlaşılırsa, o zaman bir çokyüzlü tanımına varılır. Bu kavram, düzlemin kesik çizgilerle sınırlandırılmış bir parçası anlamına geliyorsa, o zaman çokgen parçalardan oluşan bir yüzey anlaşılmalıdır. Dışbükey çokyüzlü, yüzüne bitişik bir düzlemin bir tarafında yatan bir gövdedir.
Bir çokyüzlülüğün başka bir tanımı ve öğeleri
Çokyüzlü, geometrik bir gövdeyi sınırlayan çokgenlerden oluşan bir yüzeydir. Onlar:
- dışbükey olmayan;
- dışbükey (doğru ve yanlış).
Düzenli bir çokyüzlü, maksimum simetriye sahip bir dışbükey çokyüzlüdür. Düzenli çokyüzlü öğeleri:
- tetrahedron: 6 kenar, 4 yüz, 5 köşe;
- altı yüzlü (küp): 12, 6, 8;
- dodecahedron: 30, 12, 20;
- oktahedron: 12, 8, 6;
- ikosahedron: 30, 20, 12.
Euler teoremi
Bir küreye topolojik olarak eşdeğer olan kenarların, köşelerin ve yüzlerin sayısı arasında bir ilişki kurar. Çeşitli düzenli çokyüzlülerin köşe ve yüzlerinin (B + D) sayısını ekleyerek ve bunları kenar sayısıyla karşılaştırarak bir model oluşturulabilir: Yüzlerin ve köşelerin toplamı, artan kenar sayısına (P) eşittir. 2. Basit bir formül türetebilirsiniz:
B + D=R + 2
Bu formül tüm dışbükey çokyüzlüler için geçerlidir.
Temel tanımlar
Düzenli bir çokyüzlü kavramı tek bir cümleyle anlatılamaz. Daha anlamlı ve hacimlidir. Bir kurumun bu şekilde tanınması için bir dizi tanımı karşılaması gerekir. Bu nedenle, aşağıdaki koşullar karşılanırsa bir geometrik cisim normal bir çokyüzlü olacaktır:
- dışbükeydir;
- aynı sayıda kenar, köşelerinin her birinde birleşir;
- tüm yüzleri birbirine eşit, düzenli çokgenlerdir;
- tüm dihedral açıları eşittir.
Düzenli çokyüzlülerin özellikleri
5 farklı düzenli çokyüzlü türü vardır:
- Küp (altı yüzlü) - üstte düz bir açı vardır, 90°'dir.3 kenarlı bir açısı vardır. Üstteki düz açıların toplamı 270°'dir.
- Tetrahedron - üstte düz açı - 60°. 3 kenarlı bir açısı vardır. Üstteki düz açıların toplamı 180°'dir.
- Octahedron - düz tepe açısı - 60°. 4 köşelidir. Üstteki düz açıların toplamı 240°'dir.
- Dodecahedron - 108° tepe noktasında düz açı. 3 kenarlı bir açısı vardır. Üstteki düz açıların toplamı 324°'dir.
- Icosahedron - üstte düz bir açı vardır - 60°. 5 kenarlı bir açısı vardır. Üstteki düz açıların toplamı 300°'dir.
Düzenli çokyüzlülerin alanı
Bu geometrik cisimlerin yüzey alanı (S), düzgün bir çokgenin alanı ile yüzlerinin sayısı (G) çarpılarak hesaplanır:
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
Düzenli bir çokyüzlülüğün hacmi
Bu değer, tabanında düzgün çokgen bulunan düzgün bir piramidin hacminin yüz sayısıyla çarpılmasıyla hesaplanır ve yüksekliği yazılı kürenin (r) yarıçapıdır:
V=1: 3rS
Düzenli çokyüzlülerin hacimleri
Diğer herhangi bir geometrik cisim gibi, düzenli çokyüzlülerin farklı hacimleri vardır. Bunları hesaplayabileceğiniz formüller aşağıdadır:
- tetrahedron: α x 3√2: 12;
- oktahedron: α x 3√2: 3;
- ikosahedron; α x 3;
- altı yüzlü (küp): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- dodecahedron: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Düzenli çokyüzlülerin öğeleri
Altı yüzlü ve oktahedron ikili geometrik cisimlerdir. Başka bir deyişle, birinin yüzünün ağırlık merkezi diğerinin tepe noktası olarak alınırsa veya tersi alınırsa birbirlerinden elde edilebilirler. Icosahedron ve dodecahedron da ikilidir. Sadece tetrahedron kendisine dualdir. Öklid yöntemine göre, bir küpün yüzlerine "çatılar" inşa ederek bir altıyüzlüden bir onikiyüzlü elde edebilirsiniz. Bir tetrahedronun köşeleri, bir kenar boyunca çiftler halinde bitişik olmayan bir küpün herhangi 4 köşesi olacaktır. Altı yüzlüden (küp) diğer düzenli çokyüzlüleri alabilirsiniz. Sayısız düzgün çokgen olmasına rağmen, sadece 5 düzgün çokyüzlü vardır.
Düzenli çokgenlerin yarıçapı
Bu geometrik cisimlerin her biri ile ilişkili 3 eş merkezli küre vardır:
- açıklanmış, zirvelerinden geçerek;
- yazılı, yüzlerinin her birine merkezinde dokunuyor;
- medyan, ortadaki tüm kenarlara dokunuyor.
Tanımlanan kürenin yarıçapı aşağıdaki formülle hesaplanır:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
Yazılı bir kürenin yarıçapı şu formülle hesaplanır:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
nerede θ, bitişik yüzler arasındaki dihedral açıdır.
Orta kürenin yarıçapı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
ρ=bir cos π/p: 2 günah π/h,
nerede h değeri=4, 6, 6, 10 veya 10. Sınırlı ve yazılı yarıçapların oranı, p ve q'ya göre simetriktir. Oşu formülle hesaplanır:
R/r=tg π/p x tg π/q
Çokyüzlülerin simetrisi
Düzenli çokyüzlülerin simetrisi, bu geometrik cisimlere olan ilginin nedenidir. Aynı sayıda köşe, yüz ve kenar bırakan cismin uzayda böyle bir hareketi olarak anlaşılmaktadır. Başka bir deyişle, simetri dönüşümünün etkisi altında, bir kenar, tepe noktası, yüz ya orijinal konumunu korur ya da başka bir kenarın, tepe noktasının veya yüzün orijinal konumuna hareket eder.
Düzenli çokyüzlülerin simetri öğeleri, bu tür geometrik cisimlerin tüm türlerinin özelliğidir. Burada, noktalardan herhangi birini orijinal konumunda bırakan özdeş bir dönüşümden bahsediyoruz. Böylece, çokgen bir prizmayı döndürdüğünüzde, birkaç simetri elde edebilirsiniz. Bunlardan herhangi biri yansımaların bir ürünü olarak temsil edilebilir. Çift sayıda yansımanın ürünü olan simetriye düz çizgi denir. Tek sayıda yansımanın ürünü ise, buna ters denir. Bu nedenle, bir çizgi etrafındaki tüm dönüşler doğrudan simetridir. Bir çokyüzlülüğün herhangi bir yansıması ters simetridir.
Düzenli çokyüzlülerin simetri öğelerini daha iyi anlamak için bir dörtyüzlü örneğini alabiliriz. Bu geometrik şeklin köşelerinden birinden ve merkezinden geçecek herhangi bir düz çizgi, karşısındaki yüzün merkezinden de geçecektir. Çizgi etrafındaki 120° ve 240° dönüşlerin her biri çoğuldur.tetrahedronun simetrisi. 4 köşesi ve 4 yüzü olduğundan, sadece sekiz doğrudan simetri vardır. Bu cismin kenarının ortasından ve merkezinden geçen çizgilerden herhangi biri karşı kenarın ortasından geçer. Düz bir çizgi etrafında yarım dönüş olarak adlandırılan herhangi bir 180° dönüş simetridir. Tetrahedronun üç çift kenarı olduğundan, üç tane daha doğrudan simetri vardır. Yukarıdakilere dayanarak, aynı dönüşüm dahil olmak üzere toplam doğrudan simetri sayısının on ikiye ulaşacağı sonucuna varabiliriz. Dörtyüzlü başka doğrudan simetriye sahip değildir, ancak 12 ters simetriye sahiptir. Bu nedenle, tetrahedron toplam 24 simetri ile karakterize edilir. Anlaşılır olması için, kartondan düzenli bir dörtyüzlü modeli oluşturabilir ve bu geometrik gövdenin gerçekten sadece 24 simetriye sahip olduğundan emin olabilirsiniz.
Dodekahedron ve ikosahedron vücudun küresine en yakın olanlardır. İkosahedron en fazla yüze, en büyük dihedral açıya sahiptir ve yazılı bir küreye en sıkı şekilde bastırılabilir. Dodekahedron en küçük açısal kusura, tepe noktasındaki en büyük katı açıya sahiptir. Tanımladığı küreyi maksimuma kadar doldurabilir.
Çokyüzlü taramaları
Çocukluğumuzda hepimizin birbirine yapıştırdığı düzenli, açılmamış çokyüzlülerin birçok kavramı vardır. Her bir kenarı polihedronun yalnızca bir kenarıyla tanımlanan bir çokgenler topluluğu varsa, o zaman kenarların tanımlanması iki koşulu karşılamalıdır:
- Her çokgenden,tanımlanan taraf;
- tanımlanan kenar uzunlukları aynı olmalıdır.
Bu koşulları sağlayan çokgenler kümesine çokyüzlülerin gelişimi denir. Bu organların her birinin birkaç tane vardır. Örneğin, bir küpün 11 tanesi vardır.
