Olasılık teorisi, yalnızca yüksek öğretim kurumlarının öğrencileri tarafından incelenen özel bir matematik dalıdır. Hesaplamaları ve formülleri sever misiniz? Normal dağılım, topluluğun entropisi, matematiksel beklenti ve kesikli bir rastgele değişkenin varyansı ile tanışma olasılığından korkmuyor musunuz? O zaman bu konu çok ilginizi çekecektir. Bilimin bu bölümünün en önemli temel kavramlarından bazılarını tanıyalım.
Temel bilgileri hatırlayın
Olasılık teorisinin en basit kavramlarını hatırlıyor olsanız bile makalenin ilk paragraflarını ihmal etmeyin. Gerçek şu ki, temelleri net bir şekilde anlamadan, aşağıda tartışılan formüllerle çalışamazsınız.
Yani, rastgele bir olay, bir deney var. Gerçekleştirilen eylemlerin bir sonucu olarak, birkaç sonuç elde edebiliriz - bazıları daha yaygın, diğerleri daha az yaygındır. Bir olayın olasılığı, bir türden fiilen alınan sonuçların sayısının olası toplam sayısına oranıdır. Sadece bu kavramın klasik tanımını bilerek, sürekliliğin matematiksel beklentisini ve varyansını incelemeye başlayabilirsiniz.rastgele değişkenler.
Aritmetik ortalama
Okulda bile matematik derslerinde aritmetik ortalama ile çalışmaya başladınız. Bu kavram olasılık teorisinde yaygın olarak kullanılmaktadır ve bu nedenle göz ardı edilemez. Şu anda bizim için asıl olan rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi ve varyansı için formüllerde karşımıza çıkacak olması.
Bir sayı dizimiz var ve aritmetik ortalamayı bulmak istiyoruz. Bizden istenen tek şey, mevcut her şeyi toplamak ve dizideki öğe sayısına bölmek. 1'den 9'a kadar sayılarımız olsun. Elemanların toplamı 45 olacak ve bu değeri 9'a böleceğiz. Cevap: - 5.
Dağılım
Bilimsel olarak varyans, elde edilen özellik değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmalarının ortalama karesidir. Biri büyük Latince D harfi ile gösterilir. Bunu hesaplamak için ne gerekiyor? Dizinin her elemanı için, mevcut sayı ile aritmetik ortalama arasındaki farkı hesaplar ve karesini alırız. Düşündüğümüz olay için tam olarak sonuçlar olabileceği kadar çok değer olacaktır. Ardından, alınan her şeyi özetler ve dizideki öğe sayısına böleriz. Beş olası sonucumuz varsa, o zaman beşe bölün.
Dağılım ayrıca problemleri çözerken uygulamak için hatırlamanız gereken özelliklere sahiptir. Örneğin, rastgele değişken X kat artırılırsa, varyans karenin X katı kadar artar (yani, XX). Asla sıfırdan küçük değildir ve buna bağlı değildir.değerleri eşit bir değerde yukarı veya aşağı kaydırma. Ayrıca, bağımsız denemeler için toplamın varyansı, varyansların toplamına eşittir.
Şimdi kesikli bir rastgele değişkenin varyansı ve matematiksel beklenti örneklerini kesinlikle dikkate almamız gerekiyor.
Diyelim ki 21 deney yaptık ve 7 farklı sonuç elde ettik. Her birini sırasıyla 1, 2, 2, 3, 4, 4 ve 5 kez gözlemledik. Varyans ne olacak?
Önce, aritmetik ortalamayı hesaplayalım: öğelerin toplamı elbette 21'dir. 7'ye bölün, 3 elde edin. Şimdi orijinal dizideki her sayıdan 3 çıkarın, her değeri karesini alın ve ekleyin. sonuçlar birlikte. 12 çıkıyor. Şimdi sayıyı eleman sayısına bölmek bize kaldı ve öyle görünüyor ki, hepsi bu. Ama bir yakalama var! Hadi tartışalım.
Deneme sayısına bağımlılık
Varyansı hesaplarken paydanın iki sayıdan biri olabileceği ortaya çıktı: N veya N-1. Burada N, gerçekleştirilen deney sayısı veya dizideki (aslında aynı olan) eleman sayısıdır. Neye bağlı?
Test sayısı yüzlerce ölçülürse, paydaya N koymalıyız. Birimlerde ise, N-1. Bilim adamları sınırı oldukça sembolik olarak çizmeye karar verdiler: bugün 30 sayısı boyunca uzanıyor. 30'dan az deney yaptıysak, miktarı N-1'e ve daha fazlaysa N'ye böleceğiz.
Görev
Varyans ve beklenti problemini çözme örneğimize geri dönelim. BizN veya N-1'e bölünmesi gereken bir ara sayı 12 aldı. 30'dan az olan 21 deney yaptığımız için ikinci seçeneği seçeceğiz. Yani cevap: varyans 12 / 2=2.
Beklenti
Bu yazıda ele almamız gereken ikinci konsepte geçelim. Matematiksel beklenti, tüm olası sonuçların karşılık gelen olasılıklarla çarpılmasının sonucudur. Sonuç değerinin ve varyansın hesaplanmasının sonucunun, kaç sonuç dikkate alınırsa alınsın, tüm görev için yalnızca bir kez elde edildiğini anlamak önemlidir.
Beklenti formülü oldukça basittir: bir sonuç alırız, olasılığı ile çarparız, ikinci, üçüncü sonuç için aynısını toplarız, vb. Bu kavramla ilgili her şeyi hesaplamak kolaydır. Örneğin, matematiksel beklentilerin toplamı, toplamın matematiksel beklentisine eşittir. Aynı şey iş için de geçerlidir. Olasılık teorisindeki her nicelik bu kadar basit işlemlerin yapılmasına izin vermez. Bir görev alalım ve üzerinde çalıştığımız iki kavramın aynı anda değerini hesaplayalım. Ayrıca, teori dikkatimizi dağıttı - şimdi uygulama zamanı.
Başka bir örnek
50 deneme yaptık ve farklı yüzdelerde görünen 0'dan 9'a kadar olan 10 çeşit sonuç elde ettik. Bunlar sırasıyla: %2, %10, %4, %14, %2, %18, %6, %16, %10, %18'dir. Olasılıkları elde etmek için yüzde değerlerini 100'e bölmeniz gerektiğini hatırlayın. Böylece 0,02 elde ederiz; 0, 1, vb. Rastgele bir varyansı temsil edelimproblem çözmenin değer ve matematiksel beklenti örneği.
İlkokuldan hatırladığımız formülü kullanarak aritmetik ortalamayı hesaplayın: 50/10=5.
Şimdi, saymayı kolaylaştırmak için olasılıkları "parçalar halinde" sonuç sayısına çevirelim. 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 ve 9'u elde ederiz. Elde edilen her değerden aritmetik ortalamayı çıkardıktan sonra elde edilen sonuçların her birinin karesini alırız. Örnek olarak ilk öğeyi kullanarak bunu nasıl yapacağınızı görün: 1 - 5=(-). Ayrıca: (-4)(-4)=16. Diğer değerler için bu işlemleri kendiniz yapın. Her şeyi doğru yaptıysanız, tüm ara sonuçları ekledikten sonra 90 alacaksınız.
90'ı N'ye bölerek varyansı ve ortalamayı hesaplamaya devam edin. Neden N-1'i değil de N'yi seçiyoruz? Doğru, çünkü yapılan deney sayısı 30'u aşıyor. Yani: 90/10=9. Dağılımı elde ettik. Farklı bir numara alırsanız, umutsuzluğa kapılmayın. Büyük olasılıkla, hesaplamalarda banal bir hata yaptınız. Yazdıklarını bir kez daha kontrol et, her şey kesinlikle yerine oturacaktır.
Son olarak beklenti formülünü hatırlayalım. Tüm hesaplamaları vermeyeceğiz, sadece gerekli tüm prosedürleri tamamladıktan sonra kontrol edebileceğiniz cevabı yazacağız. Beklenti 5, 48'e eşit olacaktır. Yalnızca ilk öğelerin örneğini kullanarak işlemlerin nasıl gerçekleştirileceğini hatırlıyoruz: 00, 02 + 10, 1… vb. Gördüğünüz gibi, sonucun değerini olasılık ile çarpıyoruz.
Sapma
Varyans ve beklenen değerle yakından ilgili bir başka kavram da şudur:standart sapma. Latin harfleri sd veya Yunanca küçük harf "sigma" ile gösterilir. Bu kavram, değerlerin ortalama olarak merkezi özellikten nasıl saptığını gösterir. Değerini bulmak için varyansın karekökünü hesaplamanız gerekir.
Normal dağılımın bir grafiğini oluşturuyorsanız ve standart sapmanın değerini doğrudan üzerinde görmek istiyorsanız, bu birkaç aşamada yapılabilir. Görüntünün yarısını modun soluna veya sağına alın (merkezi değer), ortaya çıkan şekillerin alanları eşit olacak şekilde yatay eksene dik çizin. Dağılımın ortası ile elde edilen yatay eksen üzerindeki izdüşüm arasındaki segmentin değeri standart sapma olacaktır.
Yazılım
Formüllerin açıklamalarından ve sunulan örneklerden de görebileceğiniz gibi, varyansı ve matematiksel beklentiyi hesaplamak aritmetik açıdan en kolay prosedür değildir. Zaman kaybetmemek için yüksek öğretimde kullanılan programı kullanmak mantıklıdır - buna "R" denir. İstatistik ve olasılık teorisinden birçok kavram için değerleri hesaplamanıza olanak sağlayan fonksiyonlara sahiptir.
Örneğin, bir değer vektörü tanımlarsınız. Bu şu şekilde yapılır: vektör <-c(1, 5, 2…). Şimdi bu vektör için bazı değerleri hesaplamanız gerektiğinde bir fonksiyon yazıp onu argüman olarak veriyorsunuz. Varyansı bulmak için var'ı kullanmanız gerekir. ona bir örnekkullanım: var(vektör). Ardından "enter" tuşuna basmanız ve sonucu almanız yeterlidir.
Sonuç olarak
Varyans ve matematiksel beklenti, olasılık teorisinin temel kavramlarıdır ve bunlar olmadan gelecekte herhangi bir şeyi hesaplamak zordur. Üniversitelerdeki derslerin ana dersinde, konuyu incelemenin ilk aylarında zaten dikkate alınırlar. Tam da bu basit kavramların anlaşılmaması ve hesaplanamaması nedeniyle birçok öğrenci hemen programda geri kalmaya başlıyor ve daha sonra oturumun sonunda düşük notlar alıyor ve bu da onları burslardan mahrum bırakıyor.
Günde yarım saat en az bir hafta pratik yapın, bu makalede sunulanlara benzer problemleri çözün. Ardından, herhangi bir olasılık teorisi testinde, gereksiz ipuçları ve hile sayfaları olmadan örneklerle başa çıkacaksınız.
