Hacim, uzayın üç boyutunda da sıfır olmayan boyutlara sahip herhangi bir şeklin özelliğidir. Bu yazıda, stereometri (uzaysal figürlerin geometrisi) açısından bir prizmayı ele alacağız ve çeşitli tiplerdeki prizmaların hacimlerinin nasıl bulunacağını göstereceğiz.
Prizma nedir?
Stereometri bu sorunun kesin cevabına sahiptir. İçindeki bir prizma, iki özdeş çokgen yüz ve birkaç paralelkenardan oluşan bir şekil olarak anlaşılmaktadır. Aşağıdaki resim dört farklı prizmayı göstermektedir.
Her biri şu şekilde elde edilebilir: Bir çokgen (üçgen, dörtgen vb.) ve belirli uzunlukta bir parça almanız gerekir. Daha sonra çokgenin her bir köşesi, paralel parçalar kullanılarak başka bir düzleme aktarılmalıdır. Orijinaline paralel olacak yeni düzlemde, başlangıçta seçilene benzer yeni bir çokgen elde edilecektir.
Prizmalar farklı türlerde olabilir. Böylece düz, eğik ve doğru olabilirler. Prizmanın yan kenarı ise (segment,tabanların köşelerini bağlamak) şeklin tabanlarına dik, daha sonra ikincisi düz bir çizgidir. Buna göre, bu koşul sağlanmazsa, eğimli bir prizmadan bahsediyoruz. Normal bir şekil, tabanı eşkenar ve eşkenar olan bir dik prizmadır.
Yazının ilerleyen bölümlerinde bu prizma türlerinin her birinin hacminin nasıl hesaplanacağını göstereceğiz.
Düzenli prizmaların hacmi
En basit durumla başlayalım. N-gonal tabanlı normal bir prizmanın hacminin formülünü veriyoruz. İncelenen sınıfın herhangi bir rakamı için hacim formülü V aşağıdaki gibidir:
V=Soh.
Yani hacmi belirlemek için So tabanlarından birinin alanını hesaplamak ve şeklin h yüksekliği ile çarpmak yeterlidir.
Düzenli bir prizma olması durumunda, tabanının kenar uzunluğunu a harfi ile, yan kenarın uzunluğuna eşit olan yüksekliği h harfi ile gösterelim. Eğer n-gon'un tabanı doğruysa, alanını hesaplamanın en kolay yolu şu evrensel formülü kullanmaktır:
S=n/4a2ctg(pi/n).
Kenar sayısı n ve bir kenarın uzunluğunun a değerini eşitlikle değiştirerek, n-gonal tabanın alanını hesaplayabilirsiniz. Buradaki kotanjant fonksiyonunun radyan cinsinden ifade edilen pi/n açısı için hesaplandığını unutmayın.
S için yazılan eşitlik göz önüne alındığında, normal bir prizmanın hacminin son formülünü elde ederiz:
V=n/4a2hctg(pi/n).
Her özel durum için, V için karşılık gelen formülleri yazabilirsiniz, ancak hepsiyazılı genel ifadeden benzersiz bir şekilde çıkar. Örneğin, genel durumda dikdörtgen paralelyüzlü bir düzgün dörtgen prizma için şunu elde ederiz:
V4=4/4a2hctg(pi/4)=a2 h.
Bu ifadede h=a alırsak, küpün hacminin formülünü elde ederiz.
Doğrudan prizmaların hacmi
Düz rakamlar için, yukarıda normal prizmalar için verilen, hacmi hesaplamak için genel bir formül olmadığını hemen not ediyoruz. Söz konusu değer bulunurken orijinal ifade kullanılmalıdır:
V=Soh.
Burada h, önceki durumda olduğu gibi yan kenarın uzunluğudur. So taban alanına gelince, çeşitli değerler alabilir. Düz bir hacim prizması hesaplama görevi, tabanının alanını bulmaya indirgenir.
Sodeğerinin hesaplanması, bazın kendisinin özelliklerine göre yapılmalıdır. Örneğin, bir üçgen ise, alan şu şekilde hesaplanabilir:
So3=1/2aha.
Burada ha üçgenin özetidir, yani yüksekliği a tabanına indirilmiştir.
Taban bir dörtgen ise, bu bir yamuk, bir paralelkenar, bir dikdörtgen veya tamamen keyfi bir tür olabilir. Tüm bu durumlar için alanı belirlemek için uygun planimetri formülünü kullanmalısınız. Örneğin, bir yamuk için bu formül şöyle görünür:
So4=1/2(a1+ a2)h a.
ha yamuğun yüksekliğidir, a1 ve a2 uzunluklardır paralel kenarlarının.
Daha yüksek dereceli çokgenlerin alanını belirlemek için, onları basit şekillere (üçgenler, dörtgenler) ayırmalı ve ikincisinin alanlarının toplamını hesaplamalısınız.
Eğimli Prizma Hacmi
Bu, bir prizmanın hacmini hesaplamanın en zor halidir. Bu tür rakamlar için genel formül de geçerlidir:
V=Soh.
Ancak, keyfi bir çokgen türünü temsil eden tabanın alanını bulmanın karmaşıklığına, şeklin yüksekliğini belirleme sorunu eklenir. Eğik bir prizmada her zaman yan kenarın uzunluğundan küçüktür.
Bu yüksekliği bulmanın en kolay yolu, şeklin herhangi bir açısını (düz veya dihedral) bilmektir. Eğer böyle bir açı verilirse, o zaman bunu prizmanın içinde, kenarlardan biri olarak h yüksekliğini içerecek ve trigonometrik fonksiyonları ve Pisagor teoremini kullanarak, h değerini bulabilecek dik açılı bir üçgen oluşturmak için kullanmalısınız.
Geometrik hacim sorunu
Üçgen tabanlı, yüksekliği 14 cm, kenar uzunluğu 5 cm olan düzgün bir prizma verildi. Üçgen prizmanın hacmi nedir?
Doğru rakamdan bahsettiğimiz için bilinen formülü kullanma hakkımız var. Bizde:
V3=3/4a2hctg(pi/3)=3/452141/√3=√3/42514=151.55 cm3.
Üçgen prizma, genellikle çeşitli mimari yapıların yapıldığı biçimde oldukça simetrik bir figürdür. Bu cam prizma optikte kullanılır.
