Aritmetik nedir? İnsanlık ne zaman sayıları kullanmaya ve onlarla çalışmaya başladı? Bir insanın hayatının ve dünya görüşünün ayrılmaz bir parçası haline getirdiği sayılar, kesirler, çıkarma, toplama ve çarpma gibi günlük kavramların kökleri nereye gidiyor? Antik Yunan zihinleri matematik, aritmetik ve geometri gibi bilimlere insan mantığının en güzel senfonileri olarak hayrandı.
Belki aritmetik diğer bilimler kadar derin değildir, ancak bir kişi temel çarpım tablosunu unutursa onlara ne olur? Sayıları, kesirleri ve diğer araçları kullanma alışkanlığımız olan mantıksal düşünme, insanlar için kolay değildi ve uzun süre atalarımız için erişilemezdi. Aslında, aritmetiğin gelişmesinden önce, insan bilgisinin hiçbir alanı gerçekten bilimsel değildi.
Aritmetik, matematiğin ABC'sidir
Aritmetik, herhangi bir kişinin matematiğin büyüleyici dünyasını tanımaya başladığı sayılar bilimidir. M. V. Lomonosov'un dediği gibi, aritmetik öğrenmenin kapısıdır, bizim için dünya bilgisine giden yolu açar. Ama o haklıDünya bilgisi sayılar ve harfler, matematik ve konuşma bilgisinden ayrılabilir mi? Belki eski günlerde, ama bilim ve teknolojinin hızlı gelişiminin kendi yasalarını belirlediği modern dünyada değil.
Yunanca kökenli "aritmetik" (Yunanca "arithmos") kelimesi, "sayı" anlamına gelir. Sayıları ve onlarla bağlantılı olabilecek her şeyi inceler. Bu sayıların dünyasıdır: sayılarla ilgili çeşitli işlemler, sayısal kurallar, çarpma, çıkarma vb. ile ilgili problemleri çözme.
Aritmetiğin matematiğin ilk adımı ve cebir, matematiksel analiz, yüksek matematik gibi daha karmaşık bölümleri için sağlam bir temel olduğu genel olarak kabul edilir.
Aritmetiğin ana nesnesi
Aritmetiğin temeli, özellikleri ve kalıpları daha yüksek aritmetik veya sayı teorisinde dikkate alınan bir tam sayıdır. Aslında, tüm yapının -matematiğin- gücü, bu kadar küçük bir bloğu doğal bir sayı olarak ele alma yaklaşımının ne kadar doğru olduğuna bağlıdır.
Bu nedenle, aritmetiğin ne olduğu sorusuna basitçe cevap verilebilir: bu sayıların bilimidir. Evet, her zamanki yedi, dokuz ve tüm bu çeşitli topluluklar hakkında. Nasıl ki temel alfabe olmadan iyi, hatta en vasat şiirler yazamıyorsanız, temel bir sorunu bile aritmetik olmadan çözemezsiniz. Bu yüzden tüm bilimler ancak aritmetik ve matematiğin gelişmesinden sonra ilerledi, ondan önce sadece bir dizi varsayımdı.
Aritmetik hayali bir bilimdir
Aritmetik nedir - doğa bilimi mi yoksa hayalet mi? Aslında, eski Yunan filozoflarının iddia ettiği gibi, gerçekte ne sayılar ne de rakamlar vardır. Bu, çevreyi süreçleriyle birlikte değerlendirirken insan düşüncesinde yaratılan bir hayalettir. Gerçekten, sayı nedir? Etrafımızda hiçbir yerde böyle bir sayı denebilecek bir şey görmüyoruz, daha ziyade bir sayı, insan zihninin dünyayı incelemesinin bir yoludur. Ya da belki kendimizi içeriden incelemektir? Filozoflar bunu yüzyıllardır üst üste tartışıyorlar, bu yüzden kapsamlı bir cevap vermeyi taahhüt etmiyoruz. Öyle ya da böyle, aritmetik o kadar sağlam bir şekilde yerini almayı başardı ki, modern dünyada hiç kimse temellerini bilmeden sosyal olarak uyarlanmış olarak kabul edilemez.
Doğal sayı nasıl ortaya çıktı
Tabii ki, aritmetiğin üzerinde çalıştığı ana nesne 1, 2, 3, 4, …, 152… vb. gibi bir doğal sayıdır. Doğal sayıların aritmetiği, çayırdaki inekler gibi sıradan nesneleri saymanın sonucudur. Yine de, "çok" veya "az" tanımı bir zamanlar insanlara uymayı bıraktı ve daha gelişmiş sayma teknikleri icat etmek zorunda kaldılar.
Fakat asıl atılım, insan düşüncesinin 2 kilogram, 2 tuğla ve aynı sayıda "iki" olan 2 parçayı belirlemenin mümkün olduğu noktaya gelmesiyle gerçekleşti. Gerçek şu ki, nesnelerin formlarından, özelliklerinden ve anlamından soyutlamanız gerekiyor, o zaman bu nesnelerle doğal sayılar şeklinde bazı eylemler gerçekleştirebilirsiniz. Böylece sayıların aritmetiği doğdu.daha da geliştirildi ve genişledi, toplum yaşamında her zamankinden daha büyük konumlar işgal etti.
Sıfır ve negatif sayılar, kesirler, sayıların sayılarla ve diğer yollarla adlandırılması gibi derinlemesine sayı kavramları zengin ve ilginç bir gelişme geçmişine sahiptir.
Aritmetik ve pratik Mısırlılar
Çevremizdeki dünyayı keşfetmede ve günlük sorunları çözmede en eski iki insan arkadaşı aritmetik ve geometridir.
Aritmetiğin tarihinin Eski Doğu'dan geldiğine inanılır: Hindistan, Mısır, Babil ve Çin. Böylece, Mısır kökenli Rinda papirüsü (aynı adı taşıyan sahibine ait olduğu için böyle adlandırılmıştır), 20. yüzyıla kadar uzanmaktadır. BC, diğer değerli verilere ek olarak, bir kesrin farklı paydaları ve bire eşit bir payı olan kesirlerin toplamına genişletilmesini içerir.
Örneğin: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
Fakat böyle karmaşık bir ayrışmanın anlamı nedir? Gerçek şu ki, Mısır yaklaşımı sayılarla ilgili soyut düşüncelere müsamaha göstermedi, aksine hesaplamalar sadece pratik amaçlar için yapıldı. Yani Mısırlı, örneğin sadece bir mezar inşa etmek için hesaplama gibi bir şey yapacak. Yapının kenarının uzunluğunu hesaplamak gerekiyordu ve bu, bir kişiyi papirüsün arkasına oturmaya zorladı. Gördüğünüz gibi, Mısır'ın hesaplamalardaki ilerlemesine bilim sevgisinden çok kitlesel inşaat neden oldu.
Bu nedenle papirüs üzerinde bulunan hesaplamalara kesirler konusunda yansımalar denilemez. Büyük olasılıkla, bu gelecekte yardımcı olan pratik bir hazırlıktır.kesirlerle ilgili problemleri çözer. Çarpım tablosunu bilmeyen eski Mısırlılar, oldukça uzun hesaplar yapmışlar, birçok alt göreve ayrılmışlardı. Belki de bu, o alt görevlerden biridir. Bu tür iş parçalarıyla yapılan hesaplamaların çok zahmetli ve tavizsiz olduğunu görmek kolaydır. Belki de bu nedenle Antik Mısır'ın matematiğin gelişimine büyük katkısını görmüyoruz.
Antik Yunanistan ve felsefi aritmetik
Antik Doğu'nun birçok bilgisi, soyut, soyut ve felsefi yansımaların ünlü aşıkları olan antik Yunanlılar tarafından başarılı bir şekilde öğrenildi. Pratikle daha az ilgilenmiyorlardı, ancak en iyi teorisyenleri ve düşünürleri bulmak zor. Bu, bilime fayda sağlamıştır, çünkü aritmetiği gerçeklikten koparmadan araştırmak imkansızdır. Elbette, 10 ineği ve 100 litre sütü çoğ altabilirsin ama çok uzağa gidemezsin.
Derin düşünen Yunanlılar tarihe önemli bir iz bıraktılar ve yazıları bize ulaştı:
- Öklid ve Elementler.
- Pisagor.
- Arşimet.
- Eratosthenes.
- Zeno.
- Anaxagoras.
Ve elbette her şeyi felsefeye çeviren Yunanlılar ve özellikle Pisagor'un eserinin halefleri sayılara o kadar hayran kaldılar ki, onları dünyanın uyumunun gizemi olarak gördüler. Sayılar o kadar incelenmiş ve araştırılmıştır ki, bazılarına ve çiftlerine özel özellikler atanmıştır. Örneğin:
- Mükemmel sayılar, sayının kendisi hariç tüm bölenlerinin toplamına eşit olan sayılardır (6=1+2+3).
- Dost numaralar, bunlardan birisaniyenin tüm bölenlerinin toplamına eşittir ve bunun tersi de geçerlidir (Pisagorcular böyle bir çiftten yalnızca birini biliyorlardı: 220 ve 284).
Bilimin kâr uğruna değil sevilmesi gerektiğine inanan Yunanlılar, keşfederek, oynayarak ve sayıları ekleyerek büyük başarılar elde ettiler. Unutulmamalıdır ki araştırmalarının tamamı yaygın olarak kullanılmadı, bazıları sadece "güzellik için" kaldı.
Orta Çağ'ın Doğulu düşünürleri
Aynı şekilde, Orta Çağ'da aritmetik gelişimini Doğulu çağdaşlarına borçludur. Kızılderililer bize aktif olarak kullandığımız sayıları, "sıfır" gibi bir kavramı ve modern algıya aşina olan hesabın konumsal versiyonunu verdiler. 15. yüzyılda Semerkant'ta çalışan Al-Kashi'den ondalık kesirleri miras aldık, bunlar olmadan modern aritmetiği hayal etmek zor.
Birçok yönden, Avrupa'nın Doğu'nun başarılarıyla tanışması, Doğu yeniliklerini tanıtan "Abaküs Kitabı" adlı eseri yazan İtalyan bilim adamı Leonardo Fibonacci'nin çalışmaları sayesinde mümkün oldu. Avrupa'da cebir ve aritmetik, araştırma ve bilimsel faaliyetlerin gelişiminin temel taşı oldu.
Rus aritmetiği
Ve nihayet Avrupa'da kendine yer bulan ve kök salan aritmetik Rus topraklarına da yayılmaya başladı. İlk Rus aritmetiği 1703'te yayınlandı - Leonty Magnitsky'nin aritmetik hakkında bir kitabıydı. Uzun bir süre matematikte tek ders kitabı olarak kaldı. Cebir ve geometrinin ilk anlarını içerir. Rusya'daki ilk aritmetik ders kitabının örneklerinde kullanılan sayılar Arapçadır. Arap rakamları daha önce de görülse de 17. yüzyıla tarihlenen gravürlerde.
Kitabın kendisi Arşimet ve Pisagor'un görüntüleri ile süslenmiştir ve ilk sayfada - bir kadın şeklinde aritmetik görüntüsü. Tahta oturur, altında İbranice Tanrı'nın adını ifade eden bir kelime yazılıdır ve tahta çıkan merdivenlerde “bölme”, “çarpma”, “toplama” vb. sözcükleri yazılıdır. bunlar artık sıradan kabul ediliyor.
600 sayfalık bir ders kitabı, toplama ve çarpma tabloları gibi temel konuları ve navigasyon bilimlerine yönelik uygulamaları kapsar.
Yazarın kitabı için Yunan düşünürlerin resimlerini seçmesi şaşırtıcı değil, çünkü kendisi aritmetiğin güzelliğiyle büyülendi: "Aritmetik paydır, dürüst sanat var, kıskanılmaz …". Aritmetik için bu yaklaşım oldukça haklıdır, çünkü Rusya'da bilimsel düşüncenin hızlı gelişiminin ve genel eğitimin başlangıcı olarak kabul edilebilecek yaygın tanıtımıdır.
Asal olmayan asal sayılar
Asal sayı, yalnızca 2 pozitif böleni olan bir doğal sayıdır: 1 ve kendisi. 1 hariç diğer tüm sayılara bileşik denir. Asal sayılara örnekler: 2, 3, 5, 7, 11 ve 1 ve kendisinden başka böleni olmayan tüm diğerleri.
1 numaraya gelince, özel bir hesapta - ne basit ne de bileşik olarak kabul edilmesi gerektiğine dair bir anlaşma var. İlk bakışta basit olan basit bir sayı, içinde çözülmemiş birçok gizemi gizler.
Öklid'in teoremi, sonsuz sayıda asal sayı olduğunu söyler ve Eratosthenes, asal olmayan sayıları ortadan kaldıran ve yalnızca basit sayıları bırakan özel bir aritmetik "elek" icat etti.
Özü, üstü çizilmemiş ilk sayının altını çizmek ve ardından bunun katları olan sayıların üzerini çizmektir. Bu prosedürü birçok kez tekrarlıyoruz - ve bir asal sayılar tablosu elde ediyoruz.
Aritmetiğin Temel Teoremi
Asal sayılarla ilgili gözlemler arasında, aritmetiğin temel teoremi özel bir şekilde belirtilmelidir.
Aritmetiğin temel teoremi, 1'den büyük herhangi bir tamsayının ya asal olduğunu ya da çarpanların sırasına göre ve benzersiz bir şekilde asal sayıların bir ürününe ayrıştırılabileceğini söyler.
Aritmetiğin ana teoreminin oldukça zahmetli olduğu kanıtlandı ve onu anlamak artık en basit temeller gibi görünmüyor.
İlk bakışta, asal sayılar temel bir kavramdır, ancak değildir. Fizik de bir zamanlar atomu, tüm evreni içinde bulana kadar temel olarak kabul etti. Matematikçi Don Tzagir'in harika bir hikayesi "İlk Elli Milyon Asal Sayılar" asal sayılara adanmıştır.
"Üç elma"dan tümdengelim yasalarına
Gerçekten tüm bilimin güçlendirilmiş temeli olarak adlandırılabilecek şey, aritmetik yasalarıdır. Çocuklukta bile herkes aritmetikle karşı karşıya kalır, bebeklerin bacak ve kol sayısını inceler,küplerin, elmaların vb. sayısı. Aritmetiği bu şekilde çalışırız ve daha sonra daha karmaşık kurallara gireriz.
Bütün hayatımız bize bilimin sunduğu her şeyden en faydalısı olan sıradan insan için aritmetik kuralları hakkında bilgi verir. Sayıların incelenmesi, bir kişiyi erken çocukluk döneminde sayılar biçiminde sayılar dünyasına tanıtan "aritmetik-bebek"tir.
Yüksek aritmetik, aritmetik yasalarını inceleyen tümdengelimli bir bilimdir. Kelimelerini tam olarak bilmesek de çoğunu biliyoruz.
Toplama ve çarpma yasası
İki doğal sayı a ve b toplamı a+b olarak ifade edilebilir, bu da bir doğal sayı olacaktır. Ekleme için aşağıdaki yasalar geçerlidir:
- Değişmeli, yani toplamın terimlerin yeniden düzenlenmesinden değişmediğini söyler veya a+b=b+a.
- Associative, veya a+(b+c)=(a+ b)+ c.
Toplamın, terimlerin yerlerde gruplanma şekline bağlı olmadığını söyleyen
Toplama gibi aritmetik kuralları en temel kurallar arasındadır, ancak günlük yaşamdan bahsetmeden, tüm bilimler tarafından kullanılırlar.
A ve b herhangi iki doğal sayı, aynı zamanda bir doğal sayı olan ab veya ab çarpımı olarak ifade edilebilir. Toplama ile aynı değişmeli ve birleştirici yasalar ürün için geçerlidir:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
merak ediyorumtoplama ve çarpmayı birleştiren bir yasa olduğunu, aynı zamanda bir dağıtım veya dağıtım yasası olarak da adlandırılır:
a(b+c)=ab+ac
Bu yasa aslında bize parantezleri genişleterek çalışmayı öğretir, böylece daha karmaşık formüllerle çalışabiliriz. Bunlar, cebirin tuhaf ve karmaşık dünyasında bize rehberlik edecek yasalardır.
Aritmetik düzen yasası
Düzen kanunu, insan mantığı tarafından her gün saatleri karşılaştırarak ve banknotları sayarak kullanılır. Ve yine de, belirli formülasyonlar biçiminde resmileştirilmesi gerekiyor.
Eğer a ve b iki doğal sayımız varsa, aşağıdaki seçenekler mümkündür:
- a eşittir b veya a=b;
- a, b'den küçük veya bir < b;
- a, b'den veya bir > b'den büyüktür.
Üç seçenekten sadece biri adil olabilir. Düzeni yöneten temel yasa şöyle der: a < b ve b < c ise, o zaman a< c.
Ayrıca çarpma ve toplama sırası ile ilgili yasalar vardır: a< b ise, o zaman a + c < b+c ve ac< bc.
Aritmetik yasaları bize sayılar, işaretler ve parantezlerle çalışmayı öğreterek her şeyi uyumlu bir sayılar senfonisine dönüştürür.
Konumsal ve konumsal olmayan hesap
Sayıların matematiksel bir dil olduğu söylenebilir ve bu dil, birçok şeyin uygunluğuna bağlıdır. Farklı dillerin alfabeleri gibi birbirinden farklı birçok sayı sistemi vardır.
Konumun nicel değer üzerindeki etkisi açısından sayı sistemlerini ele alalımBu pozisyondaki sayılar. Dolayısıyla, örneğin, Roma sistemi konumsal değildir, burada her sayı belirli bir özel karakter kümesiyle kodlanır: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Bunlar sırasıyla 1 sayılarına eşittir. / 5/10/50/100/500/1000. Böyle bir sistemde sayı hangi konumda olduğuna bağlı olarak nicel tanımını değiştirmez: birinci, ikinci vb. Diğer sayıları almak için taban sayıları eklemeniz gerekir. Örneğin:
- DCC=700.
- CCM=800.
Arap rakamlarını kullanarak bize daha tanıdık gelen sayı sistemi konumsaldır. Böyle bir sistemde, bir sayının basamağı, örneğin üç basamaklı sayılar: 333, 567 vb. Herhangi bir basamağın ağırlığı, şu veya bu basamağın bulunduğu konuma bağlıdır, örneğin, ikinci konumdaki 8 sayısı 80 değerine sahiptir. Bu, ondalık sistem için tipiktir, örneğin başka konum sistemleri vardır., ikili.
İkili aritmetik
Tek basamaklı sayılardan ve çok basamaklı sayılardan oluşan ondalık sisteme aşinayız. Çok basamaklı bir sayının solundaki sayı, sağdakinden on kat daha önemlidir. Yani 2, 17, 467 vb. okumaya alışığız. "İkili aritmetik" adı verilen bölümün tamamen farklı bir mantığı ve yaklaşımı var. Bu şaşırtıcı değil, çünkü ikili aritmetik insan mantığı için değil, bilgisayar mantığı için yaratıldı. Sayıların aritmetiği, nesnenin özelliklerinden "çıplak" aritmetik olarak daha da soyutlanan nesnelerin sayımından kaynaklanıyorsa, bu bir bilgisayarla çalışmayacaktır. paylaşabilmek içinbir bilgisayar bilgisine sahip bir kişi, böyle bir hesap modeli icat etmek zorunda kaldı.
İkili aritmetik, sadece 0 ve 1'den oluşan ikili alfabe ile çalışır. Ve bu alfabenin kullanımına ikili sistem denir.
İkili aritmetik ve ondalık aritmetik arasındaki fark, soldaki konumun öneminin artık 10 değil, 2 katı olmasıdır. İkili sayılar 111, 1001 vb. şeklindedir. Bu tür sayılar nasıl anlaşılır? 1100:
sayısını göz önünde bulundurun
- Soldaki ilk hane 18=8'dir, dördüncü hanenin 2 ile çarpılması gerektiği anlamına geldiğini hatırlayarak, 8.
- İkinci basamak 14=4 (konum 4).
- Üçüncü basamak 02=0 (konum 2).
- Dördüncü basamak 01=0 (konum 1).
- Yani sayımız 1100=8+4+0+0=12.
konumunu elde ederiz.
Yani, soldaki yeni bir basamağa geçerken, ikili sistemdeki önemi 2 ile ve ondalık olarak - 10 ile çarpılır. Böyle bir sistemde bir eksi vardır: çok büyük bir artış sayıları yazmak için gerekli olan rakamlar. Ondalık sayıları ikili sayılar olarak temsil etme örnekleri aşağıdaki tabloda bulunabilir.
İkili biçimde ondalık sayılar aşağıda gösterilmiştir.
Hem sekizli hem de on altılı sistemler de kullanılır.
Bu gizemli aritmetik
Aritmetik, "iki kez" veya sayıların keşfedilmemiş gizemleri nedir? Gördüğünüz gibi, aritmetik ilk bakışta basit görünebilir, ancak bariz kolaylığı aldatıcıdır. Ayrıca Baykuş Teyze ile birlikte çocuklar tarafından da incelenebilir."Aritmetik-bebek" karikatürü ve kendinizi neredeyse felsefi bir düzenin derin bilimsel araştırmalarına kaptırabilirsiniz. Tarihte, nesneleri saymaktan sayıların güzelliğine tapmaya geçti. Kesin olarak bilinen tek bir şey var: Aritmetiğin temel varsayımlarının oluşturulmasıyla, tüm bilim onun güçlü omzuna güvenebilir.
