Bazı matematik problemleri karekök hesaplama becerisi gerektirir. Bu problemler, ikinci dereceden denklemlerin çözülmesini içerir. Bu makalede, karekök hesaplamak için etkili bir yöntem sunuyoruz ve ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formüllerle çalışırken bunu kullanıyoruz.
Kare kök nedir?
Matematikte bu kavram √ sembolüne karşılık gelir. Tarihsel veriler, ilk kez 16. yüzyılın ilk yarısında Almanya'da kullanılmaya başladığını söylüyor (Cebir üzerine ilk Alman çalışması Christoph Rudolf tarafından). Bilim adamları bu sembolün dönüştürülmüş bir Latince r harfi olduğuna inanıyorlar (radix Latince'de "kök" anlamına gelir).
Herhangi bir sayının kökü, karesi kök ifadeye karşılık gelen böyle bir değere eşittir. Matematik dilinde bu tanım şöyle görünecektir: √x=y if y2=x.
Pozitif bir sayının (x > 0) kökü depozitif bir sayı (y > 0), ancak kök negatif bir sayıdan (x < 0) alınırsa, sonucu zaten hayali birim i.
dahil olmak üzere karmaşık bir sayı olacaktır.
İşte iki basit örnek:
√9=3 çünkü 32 =9; √(-9)=3i çünkü i2=-1.
Heron'un karekökleri bulmak için yinelemeli formülü
Yukarıdaki örnekler çok basit ve içlerindeki kökleri hesaplamak zor değil. Doğal bir sayının karesi olarak temsil edilemeyen herhangi bir değerin kök değerlerini bulurken, örneğin √10, √11, √12, √13, uygulamada olduğu gerçeğinden bahsetmiyorum bile, zorluklar zaten ortaya çıkmaya başlar. tamsayı olmayan sayıların köklerini bulmak gereklidir: örneğin √(12, 15), √(8, 5) vb.
Yukarıdaki tüm durumlarda, karekök hesaplamak için özel bir yöntem kullanılmalıdır. Şu anda, bu tür birkaç yöntem bilinmektedir: örneğin, bir Taylor serisinde genişleme, bir sütuna bölme ve diğerleri. Bilinen tüm yöntemler arasında belki de en basit ve en etkili olanı, karekökleri belirlemek için Babil yöntemi olarak da bilinen Heron'un yinelemeli formülünün kullanılmasıdır (eski Babillilerin bunu pratik hesaplamalarında kullandıklarına dair kanıtlar vardır).
√x değerini belirlemek gerekli olsun. Karekök bulma formülü şu şekildedir:
an+1=1/2(a+x/a), burada limn->∞(a)=> x.
Bu matematiksel gösterimi deşifre et. √x'i hesaplamak için bir a0 sayısı almalısınız (rastgele olabilir, ancak hızlı bir sonuç için, (a0) şeklinde seçmelisiniz.) 2 x'e mümkün olduğunca yakındı, ardından belirtilen karekök formülüyle değiştirin ve yeni bir sayı a1 alın, bu zaten ifadeye a1 koymak ve a2 almak gereklidir..
Heron'un yinelemeli formülünü uygulama örneği
Belirli bir sayının karekökünü elde etmek için yukarıda açıklanan algoritma birçokları için oldukça karmaşık ve kafa karıştırıcı gelebilir, ancak gerçekte bu formül çok hızlı bir şekilde yakınsadığı için (özellikle şanslı bir sayıysa) her şey çok daha basit görünüyor. 0 olarak seçilir).
Basit bir örnek alalım: √11'i hesaplamamız gerekiyor. 32=9 olduğundan, 11'e 42'dan daha yakın olduğu için a0=3 seçeriz=16. Formülde yerine şunu elde ederiz:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Hesaplamalara devam etmenin bir anlamı yok, çünkü a2 ve a3'nin yalnızca 5. ondalık basamakta farklılaşmaya başladığını elde ettik. yer. Böylece formülün sadece 2 katı uygulamak yeterliydi.√11'i 0.0001 içinde hesaplayın.
Şu anda, hesap makineleri ve bilgisayarlar kökleri hesaplamak için yaygın olarak kullanılmaktadır, ancak tam değerlerini manuel olarak hesaplayabilmek için işaretli formülü hatırlamakta fayda var.
İkinci dereceden denklemler
Kare kökün ne olduğunu anlama ve onu hesaplama yeteneği, ikinci dereceden denklemleri çözerken kullanılır. Bu denklemler, genel şekli aşağıdaki şekilde gösterilen bir bilinmeyenli eşitliklerdir.
Burada c, b ve a bazı sayılardır ve a sıfıra eşit olmamalıdır ve c ve b değerleri sıfır dahil tamamen keyfi olabilir.
Şekilde belirtilen eşitliği sağlayan herhangi bir x değerine kökleri denir (bu kavram karekök √ ile karıştırılmamalıdır). Söz konusu denklem 2. mertebeye (x2) sahip olduğundan, kökleri için ikiden fazla sayı olamaz. Bu kökleri nasıl bulacağımıza yazının devamında bakalım.
İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulma (formül)
Değerlendirilen eşitlik türünü çözme yöntemi aynı zamanda evrensel veya diskriminant yoluyla yöntem olarak da adlandırılır. Herhangi bir ikinci dereceden denkleme uygulanabilir. İkinci dereceden denklemin diskriminant ve kökleri için formül aşağıdaki gibidir:
Köklerin denklemin üç katsayısının her birinin değerine bağlı olduğunu gösterir. Ayrıca, hesaplamax1, x2 hesaplamasından yalnızca karekökten önceki işaretle farklıdır. b2 - 4ac'a eşit olan radikal ifade, dikkate alınan eşitliğin diskriminantından başka bir şey değildir. İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formüldeki diskriminant, çözümlerin sayısını ve türünü belirlediği için önemli bir rol oynar. Yani, eğer sıfır ise, o zaman sadece bir çözüm olacaktır, eğer pozitif ise, o zaman denklemin iki gerçek kökü vardır, son olarak, negatif diskriminant iki karmaşık köke yol açar x1 ve x 2.
Vieta teoremi veya ikinci dereceden denklemlerin köklerinin bazı özellikleri
16. yüzyılın sonunda, modern cebirin kurucularından biri olan Fransız François Viet, ikinci dereceden denklemler üzerinde çalışarak köklerinin özelliklerini elde edebildi. Matematiksel olarak şu şekilde yazılabilirler:
x1 + x2=-b / a ve x1 x 2=c / a.
Her iki eşitlik de herkes tarafından kolayca elde edilebilir, bunun için sadece diskriminantlı formülden elde edilen köklerle uygun matematiksel işlemleri yapmak gerekir.
Bu iki ifadenin birleşimi haklı olarak ikinci dereceden bir denklemin köklerinin ikinci formülü olarak adlandırılabilir, bu da diskriminant kullanmadan çözümlerini tahmin etmeyi mümkün kılar. Burada, her iki ifadenin de her zaman geçerli olmasına rağmen, yalnızca çarpanlara ayrılabiliyorsa bir denklemi çözmek için bunları kullanmanın uygun olduğuna dikkat edilmelidir.
Edinilen bilgiyi pekiştirme görevi
Makalede tartışılan tüm teknikleri göstereceğimiz bir matematik problemi çözelim. Problemin koşulları aşağıdaki gibidir: çarpımı -13 ve toplamı 4 olan iki sayı bulmanız gerekiyor.
Bu durum hemen Vieta'nın teoremini hatırlatıyor, kareköklerin toplamı ve çarpımı için formülleri uygulayarak şunu yazıyoruz:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
a=1 varsayarsak, o zaman b=-4 ve c=-13. Bu katsayılar ikinci dereceden bir denklem yazmamızı sağlar:
x2 - 4x - 13=0.
Disriminant ile formülü kullanın, aşağıdaki kökleri elde ederiz:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
Yani, görev √68 sayısını bulmaya indirgendi. 68=417 olduğuna dikkat edin, ardından karekök özelliğini kullanarak şunu elde ederiz: √68=2√17.
Şimdi kabul edilen karekök formülünü kullanalım: a0=4, sonra:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
a3 hesaplamaya gerek yoktur çünkü bulunan değerler sadece 0,02 farklılık gösterir. Böylece, √68=8.246.x için formülde yerine koymak 1, 2, şunu elde ederiz:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 ve x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
Görebildiğiniz gibi, bulunan sayıların toplamı gerçekten 4'tür, ancak bunların çarpımını bulursanız, -12'ye eşit olacaktır,999, sorunun durumunu 0,001 doğrulukla karşılar.
