Dünya öyle düzenlenmiştir ki, çok sayıda problemin çözümü ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulmaya gelir. Denklemlerin kökleri, çeşitli kalıpları tanımlamak için önemlidir. Bu, eski Babil'in sörveyörleri tarafından bile biliniyordu. Gökbilimciler ve mühendisler de bu tür sorunları çözmek zorunda kaldılar. MS 6. yüzyılda, Hintli bilim adamı Aryabhata, ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için temelleri geliştirdi. Formüller 19. yüzyılda tamamlandı.
Genel kavramlar
Sizi ikinci dereceden eşitliklerin temel düzenliliklerini tanımaya davet ediyoruz. Genel olarak eşitlik şu şekilde yazılabilir:
ax2 + bx + c=0, İkinci dereceden bir denklemin kök sayısı bir veya ikiye eşit olabilir. Diskriminant kavramı kullanılarak hızlı bir analiz yapılabilir:
D=b2 - 4ac
Hesaplanan değere bağlı olarak şunları elde ederiz:
- D > 0 olduğunda iki farklı kök vardır. İkinci dereceden bir denklemin köklerini belirlemek için genel formül şuna benzer: (-b± √D) / (2a).
- D=0, bu durumda kök birdir ve x=-b / (2a) değerine karşılık gelir
- D < 0, diskriminantın negatif değeri için denklemin çözümü yoktur.
Not: Diskriminant negatifse, denklemin sadece reel sayılar bölgesinde kökü yoktur. Cebir karmaşık kökler kavramına genişletilirse, denklemin bir çözümü vardır.
Kök bulma formülünü doğrulayan bir eylemler zinciri verelim.
Denklemin genel biçiminden şu şekildedir:
ax2 + bx=-c
Sağ ve sol kısımları 4a ile çarparız ve b2 ekleriz, elde ederiz
4a2x2 + 4abx + b2 =-4ac+b 2
Sol tarafı (2ax + b)2 polinomunun karesine dönüştürün. 2ax + b=-b ± √(-4ac + b2) denkleminin her iki tarafının karekökünü çıkarırız, b katsayısını sağ tarafa aktarırız, şunu elde ederiz:
2ax=-b ± √(-4ac + b2)
Bundan sonra:
x=(-b ± √(b2 - 4ac))
Gösterilmesi gereken şey.
Özel durum
Bazı durumlarda sorunun çözümü basitleştirilebilir. Böylece, çift bir b katsayısı için daha basit bir formül elde ederiz.
k=1/2b'yi belirtin, daha sonra ikinci dereceden denklemin köklerinin genel formunun formülü şu şekilde olur:
x=(-k ± √(k2 -ac)) / a
D=0 olduğunda, x=-k / a elde ederiz
Diğer bir özel durum, a=1 olan denklemin çözümüdür.
x2 + bx + c=0 formu için kökler x=-k ± √(k2 -c olacaktır)) diskriminant 0'dan büyük. D=0 olduğu durumda, kök basit bir formülle belirlenir: x=-k.
Çizelgeleri kullanın
Herhangi bir kişi, farkında bile olmadan, sürekli olarak ikinci dereceden bir fonksiyonla iyi tanımlanmış fiziksel, kimyasal, biyolojik ve hatta sosyal fenomenlerle karşı karşıya kalır.
Not: İkinci dereceden bir fonksiyon temelinde oluşturulan eğriye parabol denir.
İşte bazı örnekler.
- Bir merminin yörüngesini hesaplarken, ufka açılı olarak ateşlenen bir cismin parabolü boyunca hareket özelliği kullanılır.
- Yükü eşit olarak dağıtan bir parabolün özelliği mimaride yaygın olarak kullanılır.
Parabolik fonksiyonun önemini anlayarak, "ayırt edici" ve "ikinci dereceden bir denklemin kökleri" kavramlarını kullanarak özelliklerini keşfetmek için grafiği nasıl kullanacağımızı bulalım.
a ve b katsayılarının değerine bağlı olarak, eğrinin konumu için yalnızca altı seçenek vardır:
- Ayırt edici pozitif, a ve b farklı işaretlere sahip. Parabolün dalları yukarı bakar, ikinci dereceden denklemin iki çözümü vardır.
- Discriminant ve b katsayısı sıfıra eşittir, a katsayısı sıfırdan büyüktür. Grafik pozitif bölgede, denklemin 1 kökü var.
- Ayırt edici ve tüm katsayılar pozitiftir. İkinci dereceden denklemin çözümü yok.
- Ayırt edici ve a katsayısı negatif, b sıfırdan büyük. Grafiğin dalları aşağıya doğru yönlendirilir, denklemin iki kökü vardır.
- Ayrımcı veb katsayısı sıfıra eşittir, a katsayısı negatiftir. Parabol aşağı bakar, denklemin bir kökü vardır.
- Ayrıştırıcının değerleri ve tüm katsayılar negatiftir. Çözüm yok, fonksiyon değerleri tamamen negatif bölgede.
Not: a=0 seçeneği dikkate alınmaz, çünkü bu durumda parabol düz bir çizgiye dönüşür.
Yukarıdakilerin tümü aşağıdaki şekilde iyi bir şekilde gösterilmiştir.
Problem çözme örnekleri
Koşul: genel özellikleri kullanarak kökleri birbirine eşit olan ikinci dereceden bir denklem yapın.
Çözüm:
problemin durumuna göre x1 =x2 veya -b + √(b2- 4ac) / (2a)=-b + √(b2 - 4ac) / (2a). Gösterimi basitleştirme:
-b + √(b2 - 4ac) / (2a) - (-b - √(b2 - 4ac) / (2a))=0, parantezleri açın ve benzer terimleri verin. Denklem 2√(b2 - 4ac)=0 olur. Bu ifade b2 - 4ac=0 olduğunda doğrudur, dolayısıyla b 2=4ac, o zaman b=2√(ac) değeridenkleminde değiştirilir
ax2 + 2√(ac)x + c=0, indirgenmiş biçimde x2 + 2√(c / a)x + c=0.
Cevap:
a eşittir 0 ve herhangi bir c için, eğer b=2√(c / a) ise tek bir çözüm vardır.
Dördüncü denklemler, tüm basitlikleri için mühendislik hesaplamalarında büyük önem taşır. Hemen hemen her fiziksel süreç, bazı yaklaşımlarla şu şekilde tanımlanabilir:mertebeden güç fonksiyonları İkinci dereceden denklem, bu tür ilk yaklaşım olacaktır.
