Dördüncü denklemler genellikle matematik ve fizikteki bir takım problemlerde ortaya çıkar, bu nedenle her öğrenci bunları çözebilmelidir. Bu makale, ikinci dereceden denklemleri çözmenin ana yöntemlerini ayrıntılarıyla anlatır ve ayrıca bunların kullanımına ilişkin örnekler sunar.
İkinci dereceden hangi denkleme denir
Öncelikle yazının ne hakkında olacağını daha iyi anlamak için bu paragrafın sorusuna cevap vereceğiz. Dolayısıyla, ikinci dereceden denklem aşağıdaki genel forma sahiptir: c + bx+ax2=0, burada a, b, c katsayı adı verilen bazı sayılardır. Burada a≠0 zorunlu bir durumdur, aksi takdirde belirtilen denklem lineer bir denkleme dönüşür. Kalan katsayılar (b, c), sıfır dahil kesinlikle herhangi bir değeri alabilir. Böylece, ax2=0, burada b=0 ve c=0 veya c+ax2=0, burada b=0 veya bx+ax2=0, burada c=0 ayrıca ikinci dereceden denklemlerdir ve eksik olarak adlandırılır, çünkü içlerindeki b doğrusal katsayısı sıfır veya sıfırdırserbest bir c terimidir, ya da ikisi birden yok olur.
a=1'in indirgenmiş olarak adlandırıldığı bir denklem, yani şu şekildedir: x2 + с/a + (b/a)x=0.
İkinci dereceden bir denklemin çözümü, eşitliğini sağlayan böyle x değerleri bulmaktır. Bu değerlere kök denir. Söz konusu denklem ikinci derecenin bir ifadesi olduğundan, bu, maksimum kök sayısının ikiyi geçemeyeceği anlamına gelir.
Kare denklemlerini çözmek için hangi yöntemler mevcuttur
Genel olarak 4 çözüm yöntemi vardır. İsimleri aşağıda listelenmiştir:
- Faktoring.
- Kareye ekleme.
- Bilinen bir formül kullanma (ayrımcı aracılığıyla).
- Çözüm yöntemi geometriktir.
Yukarıdaki listeden de görebileceğiniz gibi, ilk üç yöntem cebirseldir, bu nedenle bir fonksiyonun çizilmesini içeren sonuncudan daha sık kullanılırlar.
Vieta teoremini kullanarak kare denklemleri çözmenin başka bir yolu daha var. Yukarıdaki listeye 5. dahil edilebilir, ancak Vieta teoremi 3. yöntemin basit bir sonucu olduğu için bu yapılmaz.
Makalede daha sonra, adlandırılmış çözüm yöntemlerini daha ayrıntılı olarak ele alacağız ve ayrıca belirli denklemlerin köklerini bulmak için kullanımlarına ilişkin örnekler vereceğiz.
Yöntem 1. Faktoring
İkinci dereceden denklemlerin matematiğindeki bu yöntem için güzel birisim: çarpanlara ayırma. Bu yöntemin özü şudur: ikinci dereceden denklemi, sıfıra eşit olması gereken iki terimin (ifadelerin) bir ürünü olarak sunmak gerekir. Böyle bir gösterimden sonra, yalnızca üyelerinden biri veya daha fazlası (tümü) sıfır olduğunda sıfıra eşit olacak olan product özelliğini kullanabilirsiniz.
Şimdi denklemin köklerini bulmak için gerçekleştirilmesi gereken belirli eylemlerin sırasını düşünün:
- Tüm üyeleri ifadenin bir bölümüne taşıyın (örneğin, sola), böylece diğer bölümünde (sağda) yalnızca 0 kalır.
- Denklemin bir kısmındaki terimlerin toplamını iki doğrusal denklemin bir ürünü olarak temsil edin.
- Doğrusal ifadelerin her birini sıfıra ayarlayın ve çözün.
Gördüğünüz gibi çarpanlara ayırma algoritması oldukça basittir, ancak çoğu öğrenci 2. noktanın uygulanması sırasında zorluklar yaşar, bu yüzden daha ayrıntılı olarak açıklayacağız.
Birbiriyle çarpıldığında hangi 2 doğrusal ifadenin istenen ikinci dereceden denklemi vereceğini tahmin etmek için iki basit kuralı hatırlamanız gerekir:
- İki doğrusal ifadenin doğrusal katsayıları birbiriyle çarpıldığında ikinci dereceden denklemin ilk katsayısını, yani a sayısını vermelidir.
- Doğrusal ifadelerin serbest terimleri çarpıldığında istenen denklemin c sayısını vermelidir.
Bütün faktör sayıları seçildikten sonra çarpılmalıdır ve istenen denklemi veriyorlarsa 3. adıma geçin.yukarıdaki algoritma, aksi takdirde çarpanları değiştirmelisiniz, ancak yukarıdaki kurallara her zaman uyulması için bunu yapmanız gerekir.
Faktoring yöntemiyle çözüm örneği
İkinci dereceden bir denklemi çözmek için kullanılan algoritmanın bilinmeyen kökleri nasıl oluşturup bulması gerektiğini açıkça gösterelim. İsteğe bağlı bir ifade verilsin, örneğin, 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Makalenin önceki paragrafında belirtilen 1'den 3'e kadar olan noktaların sırasını gözlemleyerek çözümüne geçelim.
Öğe 1. Tüm terimleri sol tarafa taşıyın ve ikinci dereceden bir denklem için klasik sırayla düzenleyin. Şu eşitlik var: 2x+(-8)+x2=0.
Öğe 2. Onu lineer denklemlerin bir ürününe ayırırız. a=1 ve c=-8 olduğundan, örneğin böyle bir ürün (x-2)(x+4) seçeceğiz. Yukarıdaki paragrafta belirtilen beklenen faktörleri bulmak için kuralları karşılar. Parantezleri açarsak, şunu elde ederiz: -8+2x+x2, yani denklemin sol tarafındakiyle tam olarak aynı ifadeyi alırız. Bu çarpanları doğru tahmin ettiğimiz ve algoritmanın 3. adımına geçebileceğimiz anlamına geliyor.
Öğe 3. Her faktörü sıfıra eşitleyin, şunu elde ederiz: x=-4 ve x=2.
Sonuçla ilgili herhangi bir şüphe varsa, bulunan kökleri orijinal denklemde yerine koyarak kontrol etmeniz önerilir. Bu durumda elimizde: 22+22-8=0 ve 2(-4)+(-4)2 -8=0. Kökler doğru bulundu.
Böylece, çarpanlara ayırma yöntemini kullanarak, verilen denklemin iki farklı köke sahip olduğunu bulduk.sahiptir: 2 ve -4.
Yöntem 2. Tam karenin tamamlayıcısı
Kare denklemlerinin cebirinde, çarpan yöntemi her zaman kullanılamaz, çünkü ikinci dereceden denklemin katsayılarının kesirli değerleri söz konusu olduğunda, algoritmanın 2. paragrafının uygulanmasında zorluklar ortaya çıkar.
Tam kare yöntemi ise evrenseldir ve her türden ikinci dereceden denklemlere uygulanabilir. Özü aşağıdaki işlemleri gerçekleştirmektir:
- a ve b katsayılarını içeren denklemin terimleri denklemin bir kısmına ve serbest terim c ise diğerine aktarılmalıdır.
- Ardından, eşitliğin kısımları (sağ ve sol) a katsayısına bölünmelidir, yani denklemi indirgenmiş formda (a=1) sunmalıdır.
- Doğrusal bir denklemin karesi olarak temsil etmek için terimleri a ve b katsayılarıyla toplayın. Bir \u003d 1 olduğundan, doğrusal denklemin serbest terimi için doğrusal katsayı 1'e eşit olacaktır, o zaman indirgenmiş ikinci dereceden denklemin doğrusal katsayısının yarısına eşit olmalıdır. Doğrusal ifadenin karesi çizildikten sonra karenin genişletilmesiyle elde edilen serbest terimin bulunduğu eşitliğin sağ tarafına karşılık gelen sayıyı eklemek gerekir.
- "+" ve "-" işaretleri ile karekök alın ve elde edilen lineer denklemi çözün.
Tanımlanan algoritma ilk bakışta oldukça karmaşık olarak algılanabilir, ancak pratikte uygulanması çarpanlara ayırma yönteminden daha kolaydır.
Tam kare tamamlayıcı kullanan bir çözüm örneği
Önceki paragrafta açıklanan yöntemle çözümünü eğitmek için ikinci dereceden bir denklem örneği verelim. İkinci dereceden denklem -10 - 6x+5x2=0 verilsin. Yukarıda açıklanan algoritmayı izleyerek çözmeye başlıyoruz.
Item 1. Kare denklemleri çözerken transfer yöntemini kullanırız, şunu elde ederiz: - 6x+5x2=10.
Nokta 2. Bu denklemin indirgenmiş şekli, üyelerinin her birinin 5 sayısına bölünmesiyle elde edilir (her iki parça da aynı sayı ile bölünür veya çarpılırsa, eşitlik korunur). Dönüşümlerin sonucunda şunu elde ederiz: x2 - 6/5x=2.
Öğe 3. Katsayının yarısı - 6/5 -6/10=-3/5, kareyi tamamlamak için bu sayıyı kullanın, şunu elde ederiz: (-3/5+x) 2 . Bunu genişletiyoruz ve ortaya çıkan serbest terim, ikinci dereceden denklemin orijinal şeklini sağlamak için, sağ tarafa eklemeye eşdeğer olan eşitliğin sol tarafından çıkarılmalıdır. Sonuç olarak şunu elde ederiz: (-3/5+x)2=59/25.
Öğe 4. Pozitif ve negatif işaretli karekökü hesaplayın ve kökleri bulun: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. Bulunan iki kök şu değerlere sahiptir: x1=(√59+3)/5 ve x1=(3-√59)/5.
Yapılan hesaplamalar köklerle ilgili olduğu için hata yapma olasılığı yüksektir. Bu nedenle, x2 ve x1 köklerinin doğruluğunu kontrol etmeniz önerilir. x1 için elde ederiz: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Şimdi değiştirinx2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
Böylece denklemin bulunan köklerinin doğru olduğunu göstermiş olduk.
Yöntem 3. İyi bilinen formülün uygulanması
İkinci dereceden denklemleri çözmenin bu yöntemi, katsayıları bilinen bir formülle değiştirmekten oluştuğu için belki de en basitidir. Kullanmak için çözüm algoritmaları derlemeyi düşünmenize gerek yok, sadece bir formülü hatırlamanız yeterli. Yukarıdaki resimde gösterilmiştir.
Bu formülde, (b2-4ac) radikal ifadesine diskriminant (D) denir. Değerinden, hangi köklerin elde edildiğine bağlıdır. 3 durum vardır:
- D>0, o zaman kök iki denklemin gerçek ve farklı denklemleri vardır.
- D=0, sonra x=-b/(a2) ifadesinden hesaplanabilen kök alınır.
- D<0, ardından karmaşık sayılar olarak temsil edilen iki farklı sanal kök elde edersiniz. Örneğin, 3-5i sayısı karmaşıktır, sanal birim i şu özelliği karşılar: i2=-1.
Ayrımcıyı hesaplayarak bir çözüm örneği
Yukarıdaki formülü kullanarak alıştırma yapmak için ikinci dereceden bir denklem örneği verelim. -3x2-6+3x+4x=0 için kökleri bulun. İlk önce, diskriminantın değerini hesaplayın, şunu elde ederiz: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
D<0 elde edildiğinden, dikkate alınan denklemin köklerinin karmaşık sayılar olduğu anlamına gelir. Bulunan D değerini bir önceki paragrafta verilen formülde yerine koyarak bulalım (yukarıdaki fotoğrafta da görülmektedir). Şunu elde ederiz: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
Yöntem 4. İşlev Grafiğinin Kullanılması
Ayrıca kare denklemleri çözmek için grafiksel yöntem olarak da adlandırılır. Kural olarak, nicel için değil, söz konusu denklemin nitel analizi için kullanıldığı söylenmelidir.
Yöntemin özü, bir parabol olan ikinci dereceden bir y=f(x) fonksiyonunu çizmektir. Ardından, parabolün x eksenini (X) hangi noktalarda kestiğini belirlemek gerekir, bunlar karşılık gelen denklemin kökleri olacaktır.
Bir parabolün X ekseniyle kesişip kesişmeyeceğini söylemek için, minimumunun (maksimum) konumunu ve dallarının yönünü (arabilir veya azalabilir) bilmek yeterlidir. Bu eğrinin hatırlanması gereken iki özelliği vardır:
- Eğer a>0 - Dalın parabolleri yukarı doğru yönlendirilirse, tersine, a<0 ise aşağı inerler.
- Bir parabolün minimum (maksimum) koordinatı her zaman x=-b/(2a)'dır.
Örneğin, -4x+5x2+10=0 denkleminin kökleri olup olmadığını belirlemeniz gerekir.=5>0. Uç noktasının koordinatları vardır: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. eğrinin minimumu x ekseninin (y=9, 2) üzerindedir, o zaman herhangi biri için ikincisini kesmezx değerleri. Yani, verilen denklemin gerçek kökleri yoktur.
Vieta teoremi
Yukarıda belirtildiği gibi, bu teorem, bir diskriminant ile bir formülün uygulanmasına dayanan 3 No'lu yöntemin bir sonucudur. Vieta teoreminin özü, denklemin katsayılarını ve köklerini eşitliğe bağlamanıza izin vermesidir. Karşılık gelen eşitlikleri alalım.
Disriminant üzerinden kökleri hesaplamak için formülü kullanalım. İki kök ekleyin, şunu elde ederiz: x1+x2=-b/a. Şimdi kökleri birbiriyle çarpalım: x1x2, bir dizi sadeleştirmeden sonra c/a sayısını elde ederiz.
Böylece, ikinci dereceden denklemleri Vieta teoremi ile çözmek için elde edilen iki eşitliği kullanabilirsiniz. Bir denklemin üç katsayısı da biliniyorsa, bu iki denklemin uygun sistemi çözülerek kökler bulunabilir.
Vieta teoremini kullanma örneği
x2+c=-bx şeklinde olduğunu ve köklerinin 3 ve -4 olduğunu biliyorsanız, ikinci dereceden bir denklem yazmanız gerekir.
İncelenen denklemde a=1 olduğundan, Vieta formülleri şöyle görünecektir: x2+x1=-b ve x2x1=s. Köklerin bilinen değerlerini değiştirerek şunu elde ederiz: b=1 ve c=-12. Sonuç olarak, geri yüklenen ikinci dereceden indirgenmiş denklem şöyle görünecektir: x2-12=-1x. Köklerin değerini onun yerine koyabilir ve eşitliğin geçerli olduğundan emin olabilirsiniz.
Vieta teoreminin ters uygulaması, yani köklerin hesaplanmasıdenklemin bilinen şekli, küçük a, b ve c tamsayılarının hızlı (sezgisel olarak) çözümler bulmasını sağlar.
