Matematik biliminde sıklıkla bir takım zorluklar ve sorular vardır ve cevapların çoğu her zaman net değildir. İstisna, kümelerin kardinalitesi gibi bir konu değildi. Aslında bu, nesne sayısının sayısal bir ifadesinden başka bir şey değildir. Genel anlamda bir küme bir aksiyomdur; tanımı yoktur. Boş, sonlu veya sonsuz olabilen herhangi bir nesneye veya daha doğrusu onların kümesine dayanır. Ayrıca tamsayılar veya doğal sayılar, matrisler, diziler, segmentler ve çizgiler içerir.
Mevcut değişkenler hakkında
İçsel değeri olmayan boş veya boş bir küme, bir alt küme olduğu için temel öğe olarak kabul edilir. Boş olmayan bir S kümesinin tüm alt kümelerinin toplamı, bir küme kümesidir. Bu nedenle, belirli bir kümenin güç kümesinin çok, düşünülebilir, ancak tek olduğu kabul edilir. Bu kümeye S'nin kuvvetleri kümesi denir ve P (S) ile gösterilir. Eğer S N eleman içeriyorsa, o zaman P(S) 2^n altküme içerir, çünkü P(S)'nin bir altkümesi ∅ veya S'den r eleman içeren bir altkümedir, r=1, 2, 3, … Sonsuz her şeyden oluşurM kümesine güç miktarı denir ve sembolik olarak P (M) ile gösterilir.
Küme teorisinin unsurları
Bu bilgi alanı George Cantor (1845-1918) tarafından geliştirilmiştir. Bugün matematiğin hemen hemen tüm dallarında kullanılmaktadır ve temel bir parçası olarak hizmet vermektedir. Küme teorisinde, elemanlar bir liste şeklinde temsil edilir ve türlerle (boş küme, tekil, sonlu ve sonsuz kümeler, eşit ve eşdeğer, evrensel), birleşim, kesişim, fark ve sayıların toplanmasıyla verilir. Günlük hayatta, genellikle bir grup anahtar, bir kuş sürüsü, bir deste kart vb. nesnelerin bir koleksiyonundan bahsederiz. Matematik 5. sınıf ve sonrasında doğal, tamsayı, asal ve bileşik sayılar vardır.
Şu kümeler düşünülebilir:
- doğal sayılar;
- alfabenin harfleri;
- birincil oranlar;
- farklı kenarları olan üçgenler.
Belirtilen bu örneklerin iyi tanımlanmış nesne kümeleri olduğu görülebilir. Birkaç örnek daha düşünün:
- dünyanın en ünlü beş bilim insanı;
- toplumdaki yedi güzel kız;
- en iyi üç cerrah.
Bu kardinalite örnekleri iyi tanımlanmış nesne koleksiyonları değildir, çünkü "en ünlü", "en güzel", "en iyi" kriterleri kişiden kişiye değişir.
Setler
Bu değer, iyi tanımlanmış sayıda farklı nesnedir. Şunu varsayarsak:
- wordset bir eşanlamlı, küme, sınıftır ve öğeler içerir;
- nesneler, üyeler eşittir;
- kümeler genellikle A, B, C büyük harfleriyle gösterilir;
- set elemanları a, b, c gibi küçük harflerle gösterilir.
Eğer "a", A kümesinin bir elemanıysa, o zaman "a"nın A'ya ait olduğu söylenir. "Ait" ifadesini Yunanca "∈" (epsilon) karakteriyle gösterelim. Böylece, a ∈ A olduğu ortaya çıkıyor. Eğer 'b' A'ya ait olmayan bir eleman ise, bu b ∉ A olarak temsil edilir. 5. sınıf matematiğinde kullanılan bazı önemli kümeler aşağıdaki üç yöntemle temsil edilir:
- uygulamalar;
- kayıtlar veya tablo;
- formasyon oluşturma kuralı.
Daha yakından incelendiğinde, başvuru formu aşağıdakilere dayanmaktadır. Bu durumda, kümenin öğelerinin net bir açıklaması verilir. Hepsi küme parantezleri içine alınır. Örneğin:
- 7'den küçük tek sayılar kümesi - {7'den küçük} şeklinde yazılır;
- 30'dan büyük ve 55'ten küçük sayılar kümesi;
- bir sınıftaki öğretmenden daha ağır olan öğrenci sayısı.
Kayıt defteri (tablo) formunda, bir kümenin öğeleri bir çift parantez {} içinde listelenir ve virgülle ayrılır. Örneğin:
- N ilk beş doğal sayının kümesini göstersin. Bu nedenle, N=→ kayıt formu
- İngiliz alfabesinin tüm sesli harflerinden oluşan set. Dolayısıyla V={a, e, i, o, u, y} → kayıt formu
- Tüm tek sayıların kümesi 9'dan küçüktür. Bu nedenle, X={1, 3, 5, 7} → şeklindedir.kayıt
- "Math" kelimesindeki tüm harflerden oluşan set. Bu nedenle, Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Kayıt Formu
- W, yılın son dört ayının kümesidir. Bu nedenle, W={Eylül, Ekim, Kasım, Aralık} → kayıt.
Öğelerin listelendiği sıranın önemli olmadığını, ancak tekrarlanmamaları gerektiğini unutmayın. Belirli bir durumda, yerleşik bir yapı biçimi, kümenin doğru tanımlanması için bir çift parantez içinde bir kural, formül veya operatör yazılır. Küme oluşturucu formunda, söz konusu değerin üyesi olmak için tüm öğelerin aynı özelliğe sahip olması gerekir.
Bu küme gösterimi biçiminde, kümenin bir öğesi "x" karakteriyle veya herhangi bir değişkenin ardından iki nokta üst üste işaretiyle tanımlanır (":" veya "|" belirtmek için kullanılır). Örneğin P, 12'den büyük sayılabilir sayılar kümesi olsun. Küme oluşturucu formundaki P - {sayılabilir sayı ve 12'den büyük} şeklinde yazılır. Bir şekilde okuyacaktır. Yani, "P, x'in sayılabilir ve 12'den büyük olduğu bir x öğeleri kümesidir."
Üç küme temsil yöntemini kullanan çözülmüş örnek: -2 ile 3 arasındaki tam sayıların sayısı Aşağıda farklı küme türlerinin örnekleri verilmiştir:
- Hiçbir öğe içermeyen ve ∅ sembolü ile gösterilen ve phi olarak okunan boş veya boş bir küme. Liste biçiminde ∅ {} yazılır. Eleman sayısı 0 olduğu için sonlu küme boştur. Örneğin tamsayı değerleri kümesi 0'dan küçüktür.
- Açıkçası <0 olmamalı. Bu nedenle, buboş küme.
- Yalnızca bir değişken içeren bir kümeye tekil küme denir. Ne basit ne de bileşik.
Sonlu küme
Belirli sayıda eleman içeren bir kümeye sonlu veya sonsuz küme denir. Boş ilki ifade eder. Örneğin, gökkuşağındaki tüm renklerin bir kümesi.
Sonsuzluk bir kümedir. İçindeki öğeler numaralandırılamaz. Yani benzer değişkenler içeren kümeye sonsuz küme denir. Örnekler:
- düzlemdeki tüm noktaların kümesinin gücü;
- tüm asal sayılar kümesi.
Ancak bir kümenin birleşiminin tüm kardinalliklerinin bir liste şeklinde ifade edilemeyeceğini anlamalısınız. Örneğin, gerçek sayılar, öğeleri belirli bir desene karşılık gelmediğinden.
Bir kümenin temel sayısı, belirli bir A miktarındaki farklı öğelerin sayısıdır. n (A) ile gösterilir.
Örneğin:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Bu nedenle, n (A)=4.
- B=CEBİR kelimesindeki harfler kümesi.
Küme karşılaştırması için eşdeğer kümeler
Bir A ve B kümesinin iki kardinalitesi, eğer kardinal sayıları aynıysa böyledir. Eşdeğer kümenin sembolü "↔" dir. Örneğin: A ↔ B.
Eşit kümeler: aynı öğeleri içeriyorlarsa, A ve B kümelerinin iki kardinalitesi. A'dan gelen her katsayı, B'den bir değişkendir ve B'nin her biri, A'nın belirtilen değeridir. Bu nedenle, A=B. Farklı kardinalite birleşim türleri ve tanımları, verilen örnekler kullanılarak açıklanmıştır.
Sonluluğun ve sonsuzluğun özü
Sonlu bir küme ile sonsuz bir kümenin kardinalitesi arasındaki farklar nelerdir?
İlk değer, boşsa veya sonlu sayıda öğeye sahipse aşağıdaki ada sahiptir. Sonlu bir kümede, sınırlı bir sayısı varsa bir değişken belirtilebilir. Örneğin, 1, 2, 3 doğal sayısını kullanmak ve listeleme işlemi bazı N'de sona erer. Sonlu S kümesinde sayılan farklı elemanların sayısı n (S) ile gösterilir. Ayrıca düzen veya kardinal olarak da adlandırılır. Standart ilkeye göre sembolik olarak gösterilir. Bu nedenle, eğer S kümesi Rus alfabesiyse, 33 eleman içerir. Ayrıca bir öğenin bir kümede birden fazla bulunmadığını hatırlamak da önemlidir.
Sette sonsuz
Öğeler numaralandırılamıyorsa bir kümeye sonsuz denir. Herhangi bir n için sınırsız (yani sayılamayan) bir doğal sayı 1, 2, 3, 4 varsa. Sonlu olmayan kümeye sonsuz denir. Artık ele alınan sayısal değerlerin örneklerini tartışabiliriz. Bitiş değeri seçenekleri:
- Q={25'ten küçük doğal sayılar} olsun. O zaman Q sonlu bir kümedir ve n (P)=24.
- R={5 ile 45 arasındaki tam sayılar} olsun. O halde R sonlu bir kümedir ve n (R)=38.
- S={numbers modulo 9}. O zaman S={-9, 9} sonlu bir kümedir ve n (S)=2.
- Tüm insanlardan oluşan bir set.
- Tüm kuşların sayısı.
Sonsuz örnekler:
- düzlemdeki mevcut noktaların sayısı;
- doğru parçasındaki tüm noktaların sayısı;
- 3 ile bölünebilen pozitif tam sayılar kümesi sonsuzdur;
- tüm tam ve doğal sayılar.
Böylece, yukarıdaki akıl yürütmeden, sonlu ve sonsuz kümeler arasında nasıl ayrım yapılacağı açıktır.
Süreklilik kümesinin gücü
Kümeyi ve mevcut diğer değerleri karşılaştırırsak, kümeye bir ekleme eklenir. ξ evrensel ise ve A ξ'nin bir alt kümesiyse, o zaman A'nın tümleyeni, ξ'nin A'nın öğeleri olmayan tüm öğelerinin sayısıdır. Sembolik olarak, A'nın ξ'ye göre tümleyeni A'dır. Örneğin, 2, 4, 5, 6, ξ'nin A'ya ait olmayan tek elemanlarıdır. Bu nedenle, A'={2, 4, 5, 6}
Kardinalite sürekliliğine sahip bir set aşağıdaki özelliklere sahiptir:
- Evrensel niceliğin tamamlayıcısı söz konusu boş değerdir;
- bu boş küme değişkeni evrenseldir;
- tutar ve tamamlayıcısı ayrıktır.
Örneğin:
- Doğal sayıların sayısı bir evrensel küme olsun ve A çift olsun. O zaman A '{x: x aynı basamaklı tek bir kümedir}.
- Let ξ=alfabedeki harf kümesi. A=ünsüzler kümesi. Sonra A '=sesli harf sayısı.
- Evrensel kümenin tümleyeni boş miktardır. ξ ile gösterilebilir. O zaman ξ '=ξ'ye dahil olmayan bu elemanların kümesi. Boş küme φ yazılır ve gösterilir. Bu nedenle ξ=φ. Böylece evrensel kümenin tümleyeni boştur.
Matematikte "süreklilik" bazen gerçek bir çizgiyi temsil etmek için kullanılır. Ve daha genel olarak, benzer nesneleri tanımlamak için:
- continuum (küme teorisinde) - gerçek satır veya karşılık gelen ana sayı;
- doğrusal - gerçek bir doğrunun belirli özelliklerini paylaşan herhangi bir sıralı küme;
- continuum (topolojide) - boş olmayan kompakt bağlantılı metrik uzay (bazen Hausdorff);
- hiçbir sonsuz kümenin tam sayılardan büyük, gerçek sayılardan küçük olmadığı hipotezi;
- Sürekliliğin gücü, gerçek sayılar kümesinin boyutunu temsil eden bir temel sayıdır.
Esasen, herhangi bir ani değişiklik olmaksızın bir durumdan diğerine kademeli geçişleri açıklayan bir süreklilik (ölçüm), teoriler veya modeller.
Birleşme ve kesişme sorunları
İki veya daha fazla kümenin kesişiminin, bu değerlerde ortak olan tüm öğeleri içeren sayı olduğu bilinmektedir. Kümelerdeki kelime görevleri, kümelerin birleşim ve kesişim özelliklerinin nasıl kullanılacağı hakkında temel fikirler elde etmek için çözülür. Kelimelerin ana problemlerini çözdükümeler şuna benzer:
A ve B iki sonlu küme olsun. Bunlar öyledir ki n (A)=20, n (B)=28 ve n (A ∪ B)=36, n (A ∩ B) bulun
Venn şemasını kullanan kümelerdeki ilişki:
- İki kümenin birleşimi A ∪ B'yi temsil eden gölgeli bir alanla temsil edilebilir. A ve B ayrık kümeler olduğunda A ∪ B.
- İki kümenin kesişimi bir Venn şemasıyla gösterilebilir. A ∩ B'yi temsil eden gölgeli alan ile.
- İki küme arasındaki fark, Venn diyagramlarıyla gösterilebilir. A - B'yi temsil eden gölgeli bir alanla.
- Bir Venn şeması kullanarak üç küme arasındaki ilişki. ξ evrensel bir niceliği temsil ediyorsa, A, B, C üç altkümedir. Burada üç küme de örtüşüyor.
Küme bilgilerini özetleme
Bir kümenin kardinalitesi, kümedeki bağımsız öğelerin toplam sayısı olarak tanımlanır. Ve son belirtilen değer, tüm alt kümelerin sayısı olarak tanımlanır. Bu tür konuları incelerken yöntemler, yöntemler ve çözümler gereklidir. Bu nedenle, bir kümenin kardinalitesi için aşağıdaki örnekler şu şekilde kullanılabilir:
A={0, 1, 2, 3}| |=4, burada | bir | A kümesinin kardinalitesini temsil eder.
Artık güç paketinizi bulabilirsiniz. Bu da oldukça basit. Daha önce de söylendiği gibi, güç kümesi belirli bir sayının tüm alt kümelerinden ayarlanır. Bu nedenle, A'nın tüm değişkenlerini, öğelerini ve diğer değerlerini temel olarak tanımlamalı,{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Şimdi güç hesaplaması P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}} 16 elemanlı. Böylece, A=16 kümesinin kardinalitesi. Açıkçası, bu, bu sorunu çözmek için sıkıcı ve hantal bir yöntemdir. Bununla birlikte, verilen bir sayının kuvvet kümesindeki eleman sayısını doğrudan öğrenebileceğiniz basit bir formül vardır. | P |=2 ^ N, burada N, bazı A'daki eleman sayısıdır. Bu formül, basit kombinatorik kullanılarak elde edilebilir. Yani soru 2^11, çünkü A kümesindeki eleman sayısı 11'dir
Yani, küme, herhangi bir olası nesne olabilen, sayısal olarak ifade edilen herhangi bir miktardır. Örneğin, arabalar, insanlar, sayılar. Matematiksel anlamda, bu kavram daha geniş ve daha geneldir. İlk aşamalarda, çözümlerinin sayıları ve seçenekleri sıralanırsa, orta ve daha yüksek aşamalarda koşullar ve görevler karmaşıktır. Aslında, bir kümenin birleşiminin kardinalitesi, nesnenin herhangi bir gruba ait olmasıyla belirlenir. Yani, bir öğe bir sınıfa aittir, ancak bir veya daha fazla değişkene sahiptir.
