Georg Kantor (fotoğraf makalenin ilerleyen kısımlarında verilmiştir) küme teorisini oluşturan ve sonsuz büyük, ancak birbirinden farklı olan transfinit sayılar kavramını ortaya koyan bir Alman matematikçidir. Ayrıca sıra ve asal sayıları tanımladı ve aritmetiğini yarattı.
Georg Kantor: kısa biyografi
1845-03-03'te St. Petersburg'da doğdu. Babası, borsa da dahil olmak üzere ticaretle uğraşan Protestan inancına sahip bir Danimarkalı Georg-Valdemar Kantor'du. Annesi Maria Bem bir Katolikti ve tanınmış müzisyenlerden oluşan bir aileden geliyordu. Georg'un babası 1856'da hastalandığında, aile daha ılıman bir iklim arayışı içinde önce Wiesbaden'e, ardından Frankfurt'a taşındı. Çocuğun matematik yetenekleri, Darmstadt ve Wiesbaden'deki özel okullarda ve spor salonlarında okurken 15. doğum gününden önce bile ortaya çıktı. Sonunda, Georg Cantor babasını mühendis değil, matematikçi olmaya kararlı olduğuna ikna etti.
Zürih Üniversitesi'nde kısa bir eğitimden sonra, 1863'te Kantor, fizik, felsefe ve matematik okumak için Berlin Üniversitesi'ne transfer oldu. işte oöğretilen:
- Analizdeki uzmanlığı muhtemelen Georg üzerinde en büyük etkiye sahip olan Karl Theodor Weierstrass;
- Daha yüksek aritmetik öğreten Ernst Eduard Kummer;
- Leopold Kronecker, daha sonra Cantor'a karşı çıkan sayı teorisyeni.
1866'da Göttingen Üniversitesi'nde bir dönem geçirdikten sonra, ertesi yıl Georg, Carl Friedrich Gauss'un sahip olduğu bir problemle ilgili "Matematikte soru sorma sanatı problem çözmekten daha değerlidir" başlıklı doktora tezini yazdı. Disquisitiones Arithmeticae (1801) adlı eserinde çözümsüz bırakılmıştır. Berlin Kız Okulu'nda kısa bir süre öğretmenlik yaptıktan sonra, Kantor, hayatının sonuna kadar kaldığı Halle Üniversitesi'nde çalışmaya başladı, önce öğretmen olarak, 1872'den itibaren yardımcı doçent ve 1879'dan itibaren profesör olarak.
Araştırma
1869'dan 1873'e kadar 10 makalelik bir serinin başlangıcında, Georg Cantor sayılar teorisini düşündü. Eser, konuya olan tutkusunu, Gauss çalışmalarını ve Kronecker'in etkisini yansıtıyordu. Cantor'un matematiksel yeteneğini fark eden Halle'deki meslektaşı Heinrich Eduard Heine'nin önerisiyle, gerçek sayılar kavramını genişlettiği trigonometrik seriler teorisine döndü.
Alman matematikçi Bernhard Riemann'ın 1854'te karmaşık bir değişkenin fonksiyonu üzerindeki çalışmasına dayanarak, 1870'de Kantor, böyle bir fonksiyonun sadece bir yolla - trigonometrik serilerle - temsil edilebileceğini gösterdi. Bir dizi sayının (noktaların) dikkate alınmasıBöyle bir görüşle çelişmezdi, onu ilk olarak 1872'de irrasyonel sayıların yakınsak dizileri (tam sayıların kesirleri) cinsinden tanımına ve daha sonra hayatının eseri, küme teorisi ve kavramı üzerinde çalışmaya başladı. sonsuz sayıların.
Küme Teorisi
Küme teorisi Braunschweig Teknik Enstitüsü matematikçisi Richard Dedekind ile yazışmalarda ortaya çıkan
Georg Cantor, çocukluğundan beri onunla arkadaştı. Sonlu veya sonsuz kümelerin, bireyselliklerini korurken belirli bir özelliğe sahip olan öğelerin (örneğin sayılar, {0, ±1, ±2 …}) koleksiyonları olduğu sonucuna vardılar. Ancak Georg Cantor, özelliklerini incelemek için bire bir yazışmalar (örneğin, {A, B, C} ila {1, 2, 3}) kullandığında, üyelik derecelerinde bile farklı olduklarını çabucak fark etti. sonsuz kümeler olsaydı, yani kümeler, bir parçası veya alt kümesi kendisi kadar çok nesne içerir. Yöntemi kısa sürede harika sonuçlar verdi.
1873'te Georg Cantor (matematikçi) rasyonel sayıların sonsuz olmasına rağmen sayılabilir olduklarını çünkü doğal sayılarla (yani 1, 2, 3, vb.) bire bir uyumlu hale getirilebildiklerini gösterdi. d.). İrrasyonel ve rasyonel sayılardan oluşan reel sayılar kümesinin sonsuz ve sayılamayan olduğunu gösterdi. Daha paradoksal olarak, Cantor, tüm cebirsel sayılar kümesinin aşağıdaki kadar eleman içerdiğini kanıtladı.tüm tamsayılar kümesi kaç tanedir ve irrasyonel sayıların bir alt kümesi olan cebirsel olmayan transandantal sayılar sayılamaz ve bu nedenle sayıları tam sayılardan büyüktür ve sonsuz olarak kabul edilmelidir.
Muhalifler ve destekçiler
Ancak Kantor'un bu sonuçları ilk kez ortaya koyduğu makalesi, eleştirmenlerden biri olan Kronecker'in şiddetle karşı çıkması nedeniyle Krell'de yayınlanmadı. Ancak Dedekind'in müdahalesinden sonra 1874'te "Tüm gerçek cebirsel sayıların karakteristik özellikleri üzerine" başlığıyla yayınlandı.
Bilim ve özel hayat
Aynı yıl, İsviçre'nin Interlaken kentinde eşi Wally Gutman ile balayındayken Kantor, yeni teorisinden olumlu yönde bahseden Dedekind ile tanıştı. George'un maaşı azdı, ancak 1863'te ölen babasının parasıyla karısı ve beş çocuğu için bir ev inşa etti. Makalelerinin çoğu İsveç'te, Alman matematikçinin yeteneğini ilk fark edenlerden biri olan Gesta Mittag-Leffler tarafından düzenlenen ve kurulan yeni Acta Mathematica dergisinde yayınlandı.
Metafizik ile bağlantı
Cantor'un teorisi, büyük ölçüde bire bir yazışmalara dayanan sonsuzun matematiğiyle (örneğin, 1, 2, 3, vb. ve daha karmaşık kümeler) ilgili tamamen yeni bir çalışma konusu haline geldi. Kantor'un yeni evreleme yöntemleri geliştirmesisüreklilik ve sonsuzlukla ilgili sorular, araştırmasına belirsiz bir karakter kazandırdı.
Sonsuz sayıların gerçekten var olduğunu iddia ettiğinde, gerçek ve potansiyel sonsuzlukla ilgili antik ve ortaçağ felsefesine ve ayrıca ailesinin ona verdiği erken dini eğitime döndü. 1883'te, Foundations of General Set Theory adlı kitabında Kantor, kavramını Platon'un metafiziğiyle birleştirdi.
Yalnızca tamsayıların “var olduğunu” iddia eden (“Tamsayıları Tanrı yarattı, gerisi insanın eseridir”) iddia eden Kronecker, uzun yıllar onun gerekçesini şiddetle reddetti ve Berlin Üniversitesi'ne atanmasını engelledi.
Sınır ötesi sayılar
1895-97'de. Georg Cantor, Contributions to the Installation of the Theory of Transfinite Numbers (1915) olarak yayınlanan en ünlü eserinde, sonsuz sıra ve asal sayılar da dahil olmak üzere süreklilik ve sonsuzluk kavramını tam olarak oluşturdu. Bu makale, sonsuz bir kümenin, alt kümelerinden biriyle bire bir yazışmaya konulabileceğini göstererek yönlendirildiği kavramını içerir.
En küçük transfinit kardinal sayı altında, doğal sayılarla birebir örtüşen herhangi bir kümenin kardinalitesini kastetmiştir. Cantor buna aleph-null adını verdi. Büyük transfinit kümeler aleph-one, aleph-two, vb. olarak gösterilir. Sonlu aritmetik ile benzer olan transfinit sayıların aritmetiğini daha da geliştirdi. yani, osonsuzluk kavramını zenginleştirdi.
Karşılaştığı muhalefet ve fikirlerinin tam olarak kabul edilmesi için geçen süre, eski bir sayının ne olduğu sorusunu yeniden değerlendirmenin zorluğundan kaynaklanmaktadır. Cantor, bir doğru üzerindeki nokta kümesinin aleph-sıfırdan daha yüksek bir kardinaliteye sahip olduğunu gösterdi. Bu, süreklilik hipotezinin iyi bilinen sorununa yol açtı - aleph-sıfır ile çizgi üzerindeki noktaların gücü arasında hiçbir kardinal sayı yoktur. 20. yüzyılın ilk ve ikinci yarısında bu problem büyük ilgi uyandırdı ve Kurt Gödel ve Paul Cohen de dahil olmak üzere birçok matematikçi tarafından çalışıldı.
Depresyon
Georg Kantor'un 1884'ten beri biyografisi akıl hastalığının gölgesinde kaldı, ancak aktif olarak çalışmaya devam etti. 1897'de Zürih'te ilk uluslararası matematik kongresinin düzenlenmesine yardım etti. Kısmen Kronecker'e karşı olduğu için, genellikle hevesli genç matematikçilere sempati duydu ve onları yeni fikirlerin tehdidi altında hisseden öğretmenlerin tacizinden kurtarmanın bir yolunu bulmaya çalıştı.
Tanıma
Yüzyılın başında, çalışmaları işlev teorisi, analiz ve topolojinin temeli olarak kabul edildi. Buna ek olarak, Cantor Georg'un kitapları, matematiğin mantıksal temellerinin sezgici ve biçimci okullarının daha da geliştirilmesi için bir itici güç olarak hizmet etti. Bu, öğretim sistemini önemli ölçüde değiştirdi ve genellikle "yeni matematik" ile ilişkilendirilir.
1911'de Kantor, davet edilenler arasındaydı. İskoçya'daki St. Andrews Üniversitesi'nin 500. yıldönümü kutlamaları. Oraya, yakın zamanda yayınlanan Principia Mathematica adlı çalışmasında Alman matematikçiye defalarca atıfta bulunan Bertrand Russell ile tanışma umuduyla gitti, ancak bu olmadı. Üniversite, Kantor'a fahri bir derece verdi, ancak hastalık nedeniyle ödülü şahsen kabul edemedi.
Kantor 1913'te emekli oldu, yoksulluk içinde yaşadı ve Birinci Dünya Savaşı sırasında açlıktan öldü. 1915 yılında 70. yaş günü şerefine yapılan kutlamalar savaş nedeniyle iptal edilmiş, ancak evinde küçük bir tören yapılmıştır. 1918-06-01 tarihinde hayatının son yıllarını geçirdiği Halle'de bir akıl hastanesinde öldü.
Georg Kantor: biyografi. Aile
9 Ağustos 1874, bir Alman matematikçi Wally Gutmann ile evlendi. Çiftin 4 oğlu ve 2 kızı oldu. Son çocuk 1886'da Kantor tarafından satın alınan yeni bir evde doğdu. Babasının mirası, ailesini geçindirmesine yardımcı oldu. Kantor'un sağlığı, en küçük oğlunun 1899'da ölümüyle büyük ölçüde etkilendi ve o zamandan beri depresyon onu terk etmedi.
