Pisagor, sayının temel unsurlarla birlikte dünyanın temelini oluşturduğunu savundu. Plato, sayının fenomeni ve numeni birbirine bağlayarak, kavramaya, ölçmeye ve sonuç çıkarmaya yardımcı olduğuna inanıyordu. Aritmetik, "arithmos" kelimesinden gelir - bir sayı, matematikte başlangıçların başlangıcı. Herhangi bir nesneyi tanımlayabilir - temel bir elmadan soyut alanlara kadar.
Geliştirme faktörü olarak ihtiyaçlar
Toplumun oluşumunun ilk aşamalarında, insanların ihtiyaçları sayma ihtiyacıyla sınırlıydı - bir çuval tahıl, iki çuval tahıl vb. Bunun için doğal sayılar yeterliydi, kümesi şu şekildeydi: sonsuz pozitif tam sayı dizisi N.
Daha sonra, matematiğin bir bilim olarak gelişmesiyle, ayrı bir Z tamsayı alanına ihtiyaç duyuldu - negatif değerler ve sıfır içerir. Hane düzeyindeki görünümü, birincil muhasebede bir şekilde düzeltmenin gerekli olduğu gerçeğiyle kışkırtıldı.borçlar ve kayıplar. Bilimsel düzeyde, negatif sayılar en basit lineer denklemleri çözmeyi mümkün kılmıştır. Diğer şeylerin yanı sıra, bir referans noktası ortaya çıktığı için önemsiz bir koordinat sisteminin görüntüsü artık mümkün hale geldi.
Bir sonraki adım, kesirli sayıları tanıtma ihtiyacıydı, çünkü bilim sabit durmadığından, giderek daha fazla keşif, yeni bir büyüme ivmesi için teorik bir temel gerektiriyordu. Rasyonel sayılar alanı böyle ortaya çıktı Q.
Sonunda, rasyonalite talepleri karşılamayı bıraktı, çünkü tüm yeni sonuçların gerekçelendirilmesi gerekiyordu. Gerçek sayılar alanı R ortaya çıktı, Öklid'in irrasyonellikleri nedeniyle belirli miktarların ölçülemezliği üzerine çalışmaları. Yani, eski Yunan matematikçiler sayıyı yalnızca sabit olarak değil, aynı zamanda ölçülemeyen niceliklerin oranıyla karakterize edilen soyut bir nicelik olarak da konumlandırdılar. Gerçek sayıların ortaya çıkması nedeniyle, "pi" ve "e" "ışığı gördü" gibi nicelikler, bunlar olmadan modern matematiğin gerçekleşemeyeceği.
Son yenilik karmaşık C sayısıydı. Bir dizi soruyu yanıtladı ve daha önce tanıtılan varsayımları çürüttü. Cebirin hızlı gelişimi nedeniyle, sonuç tahmin edilebilirdi - gerçek sayılara sahip olmak, birçok problemi çözmek imkansızdı. Örneğin, karmaşık sayılar sayesinde sicimler ve kaos teorisi öne çıktı ve hidrodinamik denklemleri genişledi.
Küme teorisi. Cantor
Her zaman sonsuzluk kavramıne kanıtlanabildi ne de çürütülemeyeceği için tartışmalara neden oldu. Kesin olarak doğrulanmış önermelerle işleyen matematik bağlamında, özellikle teolojik yönün bilimde hala ağırlığı olduğu için, bu kendini en açık şekilde gösterdi.
Ancak, matematikçi Georg Kantor'un çalışmaları sayesinde zamanla her şey yerli yerine oturdu. Sonsuz sayıda sonsuz küme olduğunu ve her ikisinin de sonu olmasa bile R alanının N alanından daha büyük olduğunu kanıtladı. 19. yüzyılın ortalarında, fikirleri yüksek sesle saçmalık ve klasik, sarsılmaz kanonlara karşı bir suç olarak adlandırıldı, ancak zaman her şeyi yerine koydu.
R alanının temel özellikleri
Gerçek sayılar, yalnızca kendilerine dahil edilen alt kümelerle aynı özelliklere sahip olmakla kalmaz, aynı zamanda öğelerinin ölçeği nedeniyle başkaları tarafından da tamamlanır:
- Sıfır vardır ve R alanına aittir. R.'dan herhangi bir c için c + 0=c
- Sıfır vardır ve R alanına aittir. R.'dan herhangi bir c için c x 0=0
- c: d için d ≠ 0 ilişkisi vardır ve R'den gelen herhangi bir c, d için geçerlidir.
- R alanı sıralıdır, yani, eğer c ≦ d, d ≦ c ise, o zaman herhangi bir c için c=d, R'den d.
- R alanındaki toplama değişmeli, yani herhangi bir c için c + d=d + c, R'den d.
- R alanındaki çarpma değişmeli, yani herhangi bir c için c x d=d x c, R'den d.
- R alanında toplama ilişkiseldir, yani (c + d) + f=c + (d + f) R'den herhangi bir c, d, f için.
- R alanında çarpma ilişkiseldir, yani (c x d) x f=c x (d x f) R'den herhangi bir c, d, f için.
- R alanındaki her sayı için bir tersi vardır, öyle ki c + (-c)=0, burada c, -c R'dendir.
- R alanındaki her sayının tersi vardır, öyle ki c x c-1 =1, burada c, c-1 R.'dan
- Birim R'ye aittir ve R'ye aittir, dolayısıyla R'den herhangi bir c için c x 1=c.
- Dağıtım kanunu geçerlidir, yani c x (d + f)=c x d + c x f, R'den herhangi bir c, d, f için.
- R alanında, sıfır bire eşit değildir.
- R alanı geçişlidir: eğer c ≦ d, d ≦ f ise, o zaman R'den herhangi bir c, d, f için c ≦ f.
- R alanında, sıra ve toplama ilişkilidir: eğer c ≦ d ise, o zaman R'den herhangi bir c, d, f için c + f ≦ d + f.
- R alanında, sıra ve çarpma ilişkilidir: eğer 0 ≦ c, 0 ≦ d ise, o zaman herhangi bir c için 0 ≦ c x d, R'den d.
- Hem negatif hem de pozitif reel sayılar süreklidir, yani, R'den herhangi bir c, d için, R'den bir f vardır, öyle ki c ≦ f ≦ d.
R alanındaki modül
Gerçek sayılar modülü içerir.
|f| olarak gösterilir R'den herhangi bir f için |f|=f ise 0 ≦ f ve |f|=-f ise 0 > f. Modülü geometrik bir nicelik olarak kabul edersek, o zaman kat edilen mesafedir - sıfırı eksiye veya ileriye artıya "geçmiş olmanızın" bir önemi yoktur.
Karmaşık ve gerçek sayılar. Benzerlikler ve farklılıklar nelerdir?
Genel olarak, karmaşık ve gerçek sayılar bir ve aynıdır, bunun dışındakaresi -1 olan hayali birim i. R ve C alanlarının öğeleri aşağıdaki formülle gösterilebilir:
c=d + f x i, burada d, f R alanına aittir ve i sanal birimdir
Bu durumda R'den c'yi elde etmek için f, sıfıra eşit olarak ayarlanır, yani sayının yalnızca gerçek kısmı kalır. Karmaşık sayılar alanı, gerçek sayılar alanıyla aynı özelliklere sahip olduğundan, f=0 ise f x i=0 olur.
Örneğin, R alanındaki pratik farklılıklarla ilgili olarak, diskriminant negatifse ikinci dereceden denklem çözülmezken, C alanı sanal birim i'nin tanıtılması nedeniyle böyle bir kısıtlama getirmez.
Sonuçlar
Matematiğin dayandığı aksiyomların ve varsayımların "tuğlaları" değişmez. Bilgideki artış ve yeni teorilerin tanıtılması nedeniyle, bazılarının üzerine, gelecekte bir sonraki adımın temeli olabilecek aşağıdaki "tuğlalar" yerleştirilmiştir. Örneğin, doğal sayılar, gerçek alan R'nin bir alt kümesi olmalarına rağmen alakalarını kaybetmezler. Dünyanın insan bilgisinin başladığı tüm temel aritmetiğin temeli onlara dayanır.
Pratik bir bakış açısından, gerçek sayılar düz bir çizgi gibi görünür. Üzerinde yönü seçebilir, başlangıç noktasını ve adımı belirleyebilirsiniz. Düz bir doğru, rasyonel olup olmadığına bakılmaksızın, her biri tek bir gerçek sayıya karşılık gelen sonsuz sayıda noktadan oluşur. Hem genel olarak matematiğin hem de genel olarak matematiksel analizin üzerine inşa edildiği bir kavramdan bahsettiğimiz açıklamadan açıkça görülmektedir.özel.
