Matrisler ve determinantlar on sekizinci ve on dokuzuncu yüzyıllarda keşfedildi. Başlangıçta, gelişimleri geometrik nesnelerin dönüşümü ve lineer denklem sistemlerinin çözümü ile ilgiliydi. Tarihsel olarak, erken vurgu determinant üzerindeydi. Modern lineer cebir işleme yöntemlerinde önce matrisler dikkate alınır. Bu soruyu bir süre düşünmekte fayda var.
Bu bilgi alanından cevaplar
Matrisler, birçok sorunu çözmek için teorik ve pratik olarak yararlı bir yol sağlar, örneğin:
- doğrusal denklem sistemleri;
- katıların dengesi (fizikte);
- graf teorisi;
- Leontief'in ekonomik modeli;
- ormancılık;
- bilgisayar grafikleri ve tomografi;
- genetik;
- kriptografi;
- elektrik ağları;
- fraktal.
Aslında, "aptallar" için matris cebirinin basitleştirilmiş bir tanımı vardır. Şu şekilde ifade edilir: Bu, içinde bulunduğu bilimsel bir bilgi alanıdır.söz konusu değerler incelenir, analiz edilir ve tamamen keşfedilir. Cebirin bu bölümünde, incelenen matrisler üzerinde çeşitli işlemler incelenir.
Matrislerle nasıl çalışılır
Bu değerler, aynı boyutlara sahipse ve birinin her elemanı diğerinin karşılık gelen elemanına eşitse eşit kabul edilir. Bir matrisi herhangi bir sabitle çarpmak mümkündür. Bu verilene skaler çarpma denir. Örnek: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Aynı büyüklükteki matrisler girişler ile toplanıp çıkartılabilir ve uyumlu büyüklükteki değerler çarpılabilir. Örnek: iki A ve B ekleyin: A=[21−10]B=[1423]. Bu mümkündür, çünkü A ve B'nin her ikisi de iki satırlı ve aynı sayıda sütunlu matrislerdir. A'daki her öğeyi B'deki karşılık gelen öğeye eklemek gerekir: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Matrisler cebirde aynı şekilde çıkarılır.
Matris çarpımı biraz farklı çalışır. Dahası, birçok vaka ve seçenek olduğu gibi çözümler de olabilir. Apq ve Bmn matrisini çarparsak, Ap×q+Bm×n=[AB]p×n çarpımı olur. AB'nin gth satırındaki ve hth sütunundaki giriş, g A ve h B'deki karşılık gelen girişlerin çarpımının toplamıdır. İki matrisi çarpmak, yalnızca birincideki sütunların ve ikincideki satırların sayısı varsa mümkündür. eşittir. Örnek: dikkate alınan A ve B için koşulu yerine getirin: A=[1−130]B=[2−11214]. Bu mümkündür, çünkü ilk matris 2 sütun ve ikincisi 2 satır içerir. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Matrisler hakkında temel bilgiler
Söz konusu değerler, değişkenler ve sabitler gibi bilgileri düzenler ve bunları genellikle C olarak adlandırılan satır ve sütunlarda saklar. Matristeki her bir pozisyona eleman denir. Örnek: C=[1234]. İki satır ve iki sütundan oluşur. 4. öğe 2. satır ve 2. sütundadır. Bir matrisi genellikle boyutlarına göre adlandırabilirsiniz, Cmk adlı matrisin m satırı ve k sütunu vardır.
Genişletilmiş matrisler
Düşünceler, birçok farklı uygulama alanında ortaya çıkan inanılmaz derecede faydalı şeylerdir. Matrisler başlangıçta lineer denklem sistemlerine dayanıyordu. Aşağıdaki eşitsizlik yapısı göz önüne alındığında, aşağıdaki tamamlayıcı matrisin dikkate alınması gerekir:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Tüm eksi işaretleri dahil olmak üzere katsayıları yazın ve değerleri yanıtlayın. Negatif bir sayıya sahip eleman, "1" e eşit olacaktır. Yani, (doğrusal) bir denklem sistemi verildiğinde, onunla bir matrisi (parantez içindeki sayılar ızgarası) ilişkilendirmek mümkündür. Sadece lineer sistemin katsayılarını içerendir. Buna "genişletilmiş matris" denir. Her denklemin sol tarafındaki katsayıları içeren ızgara, her denklemin sağ tarafındaki yanıtlarla "dolduruldu".
Kayıtlar, yanimatrisin B değerleri orijinal sistemdeki x-, y- ve z değerlerine karşılık gelir. Düzgün düzenlenmişse, her şeyden önce kontrol edin. Bazen, incelenen veya çalışılan matriste yer tutucu olarak terimleri yeniden düzenlemeniz veya sıfırlar eklemeniz gerekir.
Aşağıdaki denklem sistemi göz önüne alındığında, ilgili artırılmış matrisi hemen yazabiliriz:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
Önce, sistemi şu şekilde yeniden düzenlediğinizden emin olun:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Ardından ilişkili matrisi şu şekilde yazmak mümkündür: [11000113-1012]. Genişletilmiş bir tane oluştururken, lineer denklemler sisteminde karşılık gelen noktanın boş olduğu herhangi bir kayıt için sıfır kullanmaya değer.
Matris Cebiri: İşlemlerin Özellikleri
Yalnızca katsayı değerlerinden eleman oluşturmak gerekirse, dikkate alınan değer şöyle görünecektir: [110011-101]. Buna "katsayı matrisi" denir.
Aşağıdaki genişletilmiş matris cebirini hesaba katarak, onu geliştirmek ve ilgili lineer sistemi eklemek gereklidir. Bununla birlikte, değişkenlerin iyi düzenlenmiş ve düzenli olmasını gerektirdiğini hatırlamak önemlidir. Ve genellikle üç değişken olduğunda, bu sırada x, y ve z kullanın. Bu nedenle, ilişkili lineer sistem şu şekilde olmalıdır:
x + 3y=4
2y - z=5
3x + z=-2.
Matris boyutu
Söz konusu öğeler genellikle performanslarıyla anılır. Cebirde bir matrisin boyutu şu şekilde verilir:ölçümler, çünkü oda farklı çağrılabilir. Ölçülen değer ölçüleri, genişlik ve uzunluk değil, satırlar ve sütunlardır. Örneğin, matris A:
[1234]
[2345]
[3456].
A'nın üç satırı ve dört sütunu olduğundan, A'nın boyutu 3 × 4'tür
→
↓
Çizgiler yana doğru gider. Sütunlar yukarı ve aşağı hareket eder. "Satır" ve "sütun" özelliklerdir ve birbirinin yerine kullanılamaz. Matris boyutları her zaman satır sayısı ve ardından sütun sayısı ile belirtilir. Bu kuralı takiben, aşağıdaki B:
[123]
[234] 2 × 3'tür. Bir matris sütunlarla aynı sayıda satıra sahipse, buna "kare" denir. Örneğin katsayı değerleri yukarıdan:
[110]
[011]
[-101] 3×3 kare bir matristir.
Matris gösterimi ve biçimlendirme
Biçimlendirme notu: Örneğin, bir matris yazmanız gerektiğinde, köşeli ayraç kullanmak önemlidir. Mutlak değer çubukları || bu bağlamda farklı bir yöne sahip oldukları için kullanılmaz. Parantezler veya kaşlı ayraçlar {} asla kullanılmaz. Veya başka bir gruplandırma sembolü veya hiç yok, çünkü bu sunumların hiçbir anlamı yok. Cebirde, bir matris her zaman köşeli parantez içindedir. Yalnızca doğru notasyon kullanılmalıdır, aksi takdirde yanıtlar bozuk olarak kabul edilebilir.
Daha önce de belirtildiği gibi, bir matrisin içerdiği değerlere kayıt denir. Hangi nedenle olursa olsun, söz konusu unsurlar genellikle yazılıdır. A veya B gibi büyük harfler ve girişler, karşılık gelen küçük harfler kullanılarak ancak alt simgelerle belirtilir. A matrisinde değerler genellikle "ai, j" olarak adlandırılır, burada i, A'nın satırı ve j, A'nın sütunudur. Örneğin, a3, 2=8. a1, 3 için giriş 3'tür.
Ondan az satır ve sütun içeren daha küçük matrisler için, alt simge virgül bazen kullanılmaz. Örneğin, "a1, 3=3", "a13=3" olarak yazılabilir. a213 belirsiz olacağından, bu büyük matrisler için çalışmayacaktır.
Matris türleri
Bazen kayıt yapılandırmalarına göre sınıflandırılır. Örneğin, köşegen üst-sol- alt-sağ "köşegen" altında tüm sıfır girişleri olan böyle bir matrise üst üçgen denir. Diğer şeylerin yanı sıra başka türler ve türler olabilir, ancak çok kullanışlı değiller. Genellikle üst üçgen şeklinde algılanır. Yalnızca yatay olarak sıfır olmayan üslü değerlere diyagonal değerler denir. Benzer türlerin, hepsinin 1 olduğu sıfır olmayan girişleri vardır, bu tür cevaplar özdeş olarak adlandırılır (söz konusu değerlerin nasıl çarpılacağı öğrenildiğinde ve anlaşıldığında netleşecek nedenlerden dolayı). Buna benzer birçok araştırma göstergesi var. 3 × 3 özdeşliği I3 ile gösterilir. Benzer şekilde, 4 × 4 özdeşliği I4'tür.
Matris Cebiri ve Lineer Uzaylar
Üçgen matrislerin kare olduğuna dikkat edin. Ancak köşegenler üçgendir. Bu itibarla onlarMeydan. Ve kimlikler köşegenler ve dolayısıyla üçgen ve kare olarak kabul edilir. Bir matrisin tanımlanması gerektiğinde, bu diğer tüm sınıflandırmaları içerdiğinden, genellikle kişinin kendi en spesifik sınıflandırmasını belirtir. Aşağıdaki araştırma seçeneklerini sınıflandırın:3 × 4 olarak. Bu durumda kare değildirler. Dolayısıyla değerler başka bir şey olamaz. Aşağıdaki sınıflandırma:3 × 3 olarak mümkündür. Ancak bir kare olarak kabul edilir ve bunda özel bir şey yoktur. Aşağıdaki verilerin sınıflandırılması:3 × 3 üst üçgen şeklindedir, ancak köşegen değildir. Doğru, incelenen değerlerde, bulunan ve belirtilen alanın üzerinde veya üzerinde ek sıfırlar olabilir. İncelenen sınıflandırma daha ileridir: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], burada köşegen olarak temsil edilir ve ayrıca girişlerin tümü 1'dir. O zaman bu 3 × 3 özdeşliktir., I3.
Benzer matrisler tanım gereği kare olduğundan, boyutlarını bulmak için yalnızca tek bir dizin kullanmanız gerekir. İki matrisin eşit olması için aynı parametreye sahip olmaları ve aynı yerlerde aynı girdilere sahip olmaları gerekir. Örneğin, dikkate alınan iki öğe olduğunu varsayalım: A=[1 3 0] [-2 0 0] ve B=[1 3] [-2 0]. Bu değerler boyut olarak farklı olduğu için aynı olamaz.
A ve B bile: A=[3 6] [2 5] [1 4] ve B=[1 2 3] [4 5 6] - hala aynı değiller aynı şey. A ve B'nin her biri var altı giriş ve aynı sayılara sahip, ancak bu matrisler için yeterli değil. A 3×2'dir ve B 2×3 matristir. 3×2 için A 2×3 değildir. A ve B'nin aynı miktarda veriye veya hatta kayıtlarla aynı sayılara sahip olması önemli değildir. A ve B aynı boyut ve şekilde değilse ancak benzer yerlerde aynı değerlere sahipse eşit değildirler.
İncelenen alandaki benzer işlemler
Matris eşitliğinin bu özelliği bağımsız araştırma için görevlere dönüştürülebilir. Örneğin, iki matris verilmiş ve bunların eşit olduğu belirtilmiştir. Bu durumda değişkenlerin değerlerini keşfetmek ve cevaplar almak için bu eşitliği kullanmanız gerekecektir.
Cebirdeki matrislerin örnekleri ve çözümleri, özellikle eşitlikler söz konusu olduğunda değişebilir. Aşağıdaki matrisler göz önüne alındığında x ve y değerlerinin bulunması gerekmektedir. A ve B'nin eşit olması için aynı boyut ve şekilde olmaları gerekir. Aslında öyleler çünkü her biri 2×2 matris. Ve aynı yerlerde aynı değerlere sahip olmalıdırlar. O zaman a1, 1, b1, 1, a1, 2'ye eşit olmalıdır, b1, 2'ye eşit olmalıdır, vb. bunlar). Ancak, a1, 1=1, açıkça b1, 1=x'e eşit değildir. A'nın B ile aynı olması için girdinin a1, 1=b1, 1 olması gerekir, yani 1=x olabilir. Benzer şekilde, a2, 2=b2, 2, yani 4=y endeksleri. O zaman çözüm: x=1, y=4.matrisler eşittir, x, y ve z değerlerini bulmanız gerekir. A=B olması için katsayıların tüm girdileri eşit olmalıdır. Yani a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 vb. Özellikle:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
Seçilen matrislerden görebileceğiniz gibi: 1, 1-, 2, 2- ve 3, 1-elemanlı. Bu üç denklemi çözerek şu cevabı elde ederiz: x=4, y=-6 ve z=9. Matris cebiri ve matris işlemleri herkesin alıştığından farklıdır, ancak tekrarlanabilir değildir.
Bu alandaki ek bilgiler
Doğrusal matris cebiri, benzer denklem kümelerinin ve bunların dönüşüm özelliklerinin incelenmesidir. Bu bilgi alanı, uzaydaki dönüşleri analiz etmenize, en küçük kareleri yaklaşık olarak hesaplamanıza, ilgili diferansiyel denklemleri çözmenize, verilen üç noktadan geçen bir daire belirlemenize ve matematik, fizik ve teknolojideki diğer birçok sorunu çözmenize olanak tanır. Bir matrisin lineer cebiri gerçekten kullanılan kelimenin teknik anlamı değildir, yani bir f alanı üzerinde v vektör uzayı vb.
Matris ve determinant son derece kullanışlı lineer cebir araçlarıdır. Merkezi görevlerden biri, x için Ax=b matris denkleminin çözümüdür. Bu teorik olarak x=A-1 b tersi kullanılarak çözülebilse de. Gauss eleme gibi diğer yöntemler sayısal olarak daha güvenilirdir.
Doğrusal denklem kümelerinin çalışmasını tanımlamak için kullanılmasına ek olarak, belirtilenYukarıdaki terim aynı zamanda belirli bir cebir türünü tanımlamak için de kullanılır. Özellikle, bir F alanı üzerindeki L, dağıtım yasalarıyla birlikte dahili toplama ve çarpma için tüm olağan aksiyomları olan bir halka yapısına sahiptir. Bu nedenle ona bir halkadan daha fazla yapı kazandırır. Lineer matris cebiri, aynı zamanda, temel alan F'nin elemanları olan skalerlerle bir dış çarpma işlemini de kabul eder. Örneğin, bir F alanı üzerinde bir V vektör uzayından kendisine düşünülen tüm dönüşümlerin kümesi, F üzerinde oluşturulur. cebir, bir alan R gerçek sayıları üzerindeki tüm gerçek kare matrislerin kümesidir.
