Aritmetik ilerleme konusu 9. sınıf okullarda cebir genel dersinde işlenir. Bu konu, sayı serilerinin matematiğinin daha derinlemesine incelenmesi için önemlidir. Bu makalede, aritmetik ilerleme, farkı ve okul çocuklarının karşılaşabileceği tipik görevlerle tanışacağız.
Cebirsel ilerleme kavramı
Sayısal ilerleme, bazı matematiksel yasalar uygulanırsa, sonraki her öğenin bir öncekinden elde edilebileceği bir sayı dizisidir. İki basit ilerleme türü vardır: cebirsel olarak da adlandırılan geometrik ve aritmetik. Üzerinde daha ayrıntılı duralım.
Bir rasyonel sayı hayal edelim, onu a1 sembolü ile gösterelim, burada indeks, incelenen serideki sıra numarasını gösterir. a1 'a başka bir sayı ekleyelim, onu d olarak gösterelim. sonra ikincibir dizinin bir elemanı şu şekilde yansıtılabilir: a2=a1+d. Şimdi tekrar d ekleyin, şunu elde ederiz: a3=a2+d. Bu matematiksel işleme devam ederek, aritmetik ilerleme olarak adlandırılacak bir dizi sayı elde edebilirsiniz.
Yukarıdan da anlaşılacağı gibi, bu dizinin n'inci elemanını bulmak için şu formülü kullanmalısınız: a =a1+ (n -1)d. Aslında, ifadede n=1 yerine koyarsak, a1=a1 elde ederiz, eğer n=2 ise, formül şu anlama gelir: a2=a1 + 1d vb.
Örneğin, bir aritmetik ilerlemenin farkı 5 ve a1=1 ise, bu, söz konusu türün sayı serisinin şöyle göründüğü anlamına gelir: 1, 6, 11, 16, 21, … Gördüğünüz gibi, terimlerinin her biri bir öncekinden 5 ile büyüktür.
Aritmetik ilerleme farkı için formüller
İlgilenilen sayı dizisinin yukarıdaki tanımından, onu belirlemek için iki sayıyı bilmeniz gerekir: a1 ve d. İkincisi, bu ilerlemenin farkı olarak adlandırılır. Tüm serinin davranışını benzersiz bir şekilde belirler. Gerçekten de, d pozitif ise, o zaman sayı serisi sürekli artacaktır, aksine, negatif d durumunda, dizilerdeki sayılar sadece modulo artarken, n sayısı arttıkça mutlak değerleri azalacaktır.
Aritmetik ilerlemenin farkı nedir? Bu değeri hesaplamak için kullanılan iki ana formülü göz önünde bulundurun:
- d=an+1-a , bu formül doğrudan söz konusu sayı serisinin tanımından gelir.
- d=(-a1+a)/(n-1), bu ifade verilen formülden d ifade edilerek elde edilir makalenin önceki paragrafında. n=1 ise bu ifadenin belirsiz (0/0) olacağına dikkat edin. Bunun nedeni, farkını belirlemek için serinin en az 2 elemanını bilmek gerektiği gerçeğidir.
Bu iki temel formül, ilerleme farkını bulma problemini çözmek için kullanılır. Ancak bilmeniz gereken başka bir formül daha var.
İlk öğelerin toplamı
Cebirsel ilerlemenin herhangi bir sayıdaki üyesinin toplamını belirlemek için kullanılabilecek formül, tarihsel kanıtlara göre ilk olarak 18. yüzyılın matematiğinin "prensi" Carl Gauss tarafından elde edildi. Bir Alman bilim adamı, henüz bir köy okulunun ilkokul sınıflarında bir çocukken, 1'den 100'e kadar olan bir diziye doğal sayıları eklemek için, önce ilk öğeyi ve son öğeyi toplamanız gerektiğini fark etti (sonuçta elde edilen değer eşit olacaktır). sondan bir önceki ve ikinci, sondan bir önceki ve üçüncü öğelerin toplamına vb.) ve sonra bu sayı bu miktarların sayısıyla, yani 50 ile çarpılmalıdır.
Belirli bir örnek üzerinde belirtilen sonucu yansıtan formül, keyfi bir duruma genelleştirilebilir. Şu şekilde görünecektir: S =n/2(a +a1). Belirtilen değeri bulmak için d farkı bilgisinin gerekli olmadığına dikkat edin,ilerlemenin iki terimi biliniyorsa (a ve a1).
Örnek 1. a1 ve an
serisinin iki terimini bilerek farkı belirleyin
Makalede yukarıda bahsedilen formüllerin nasıl uygulanacağını gösterelim. Basit bir örnek verelim: aritmetik ilerlemenin farkı bilinmiyor, eğer a13=-5, 6 ve a1 ise neye eşit olacağını belirlemek gerekiyor. =-12, 1.
Sayısal dizinin iki elemanının değerlerini bildiğimiz ve bunlardan biri ilk sayı olduğu için, d farkını belirlemek için 2 numaralı formülü kullanabiliriz. Elimizde: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. Bu seri numarasına sahip üye olduğu için ifadede n=13 değerini kullandık. bilinen.
Sonuç olarak ortaya çıkan fark, problemin koşulunda verilen unsurların negatif bir değere sahip olmasına rağmen ilerlemenin arttığını gösterir. Görüldüğü gibi a13>a1, ancak |a13|<|a 1 |.
Örnek 2. Örnek 1
'deki ilerlemenin pozitif üyeleri
Yeni bir problemi çözmek için önceki örnekte elde edilen sonucu kullanalım. Şu şekilde formüle edilmiştir: Örnek 1'deki ilerlemenin öğeleri hangi sıra numarasından pozitif değerler almaya başlar?
Gösterildiği gibi, a1=-12, 1 ve d=0 olan ilerleme. 54167 artıyor, bu nedenle bazı sayıdan sayılar yalnızca pozitif almaya başlayacak değerler. Bu n sayısını belirlemek için basit bir eşitsizliği çözmek gerekir.matematiksel olarak şu şekilde yazılır: a >0 veya uygun formülü kullanarak eşitsizliği yeniden yazarız: a1 + (n-1)d>0. Bilinmeyen n'yi bulmak gerekiyor, onu ifade edelim: n>-1a1/d + 1. Şimdi farkın bilinen değerlerini ve ilk üyeyi yerine koymak kalıyor. diziden. Şunu elde ederiz: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 veya n>23, 338. n yalnızca tamsayı değerleri alabildiğinden, elde edilen eşitsizlikten, dizinin herhangi bir üyesinin 23'ten büyük bir sayı pozitif olacaktır.
Bu aritmetik ilerlemenin 23. ve 24. öğelerini hesaplamak için yukarıdaki formülü kullanarak cevabınızı kontrol edin. Elimizde: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (negatif sayı); a24=-12, 1 + 230, 54167=0,3584 (pozitif değer). Böylece elde edilen sonuç doğrudur: n=24'ten başlayarak, sayı serisinin tüm üyeleri sıfırdan büyük olacaktır.
Örnek 3. Kaç günlük sığacak?
İlginç bir problem verelim: Kesim sırasında aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi kesilmiş kütüklerin üst üste istiflenmesine karar verildi. Toplamda 10 satırın sığacağını bilerek bu şekilde kaç günlük istiflenebilir?
Günlükleri bu şekilde istiflemede ilginç bir şey fark edebilirsiniz: sonraki her satır bir öncekinden bir eksik günlük içerecektir, yani farkı d=1 olan bir cebirsel ilerleme vardır. Her satırdaki günlük sayısının bu ilerlemenin bir üyesi olduğunu varsayarsak,ve ayrıca a1=1 olduğu göz önüne alındığında (en üste yalnızca bir günlük sığacaktır), a10 sayısını buluruz. Elimizde: a10=1 + 1(10-1)=10. Yani yerde yatan 10. sırada 10 adet kütük olacak.
Bu "piramidal" yapının toplam miktarı Gauss formülü kullanılarak elde edilebilir. Şunu elde ederiz: S10=10/2(10+1)=55 günlük.
