Planimetri, düzlem şekillerin özelliklerini inceleyen bir geometri dalıdır. Bunlar sadece iyi bilinen üçgenleri, kareleri, dikdörtgenleri değil, aynı zamanda düz çizgileri ve açıları da içerir. Planimetride, daire içindeki açılar gibi kavramlar da vardır: merkezi ve yazılı. Ama ne anlama geliyorlar?
Merkez açı nedir?
Merkez açının ne olduğunu anlamak için bir daire tanımlamanız gerekir. Çember, verilen bir noktadan (dairenin merkezi) eşit uzaklıkta bulunan tüm noktaların toplamıdır.
Onu bir daireden ayırt etmek çok önemlidir. Bir dairenin kapalı bir çizgi olduğu ve bir dairenin onunla sınırlanmış bir düzlemin parçası olduğu unutulmamalıdır. Bir daireye çokgen veya açı yazılabilir.
Merkez açı, köşesi dairenin merkeziyle çakışan ve kenarları daireyi iki noktada kesen bir açıdır. Açının kesişme noktalarıyla sınırladığı yaya, verilen açının dayandığı yay denir.
Örnek 1'i düşünün.
Resimde AOB açısı merkezdir, çünkü açının tepe noktası ve dairenin merkezi bir O noktasıdır. C noktasını içermeyen AB yayının üzerindedir.
Çizgili bir açı, merkezdekinden nasıl farklıdır?
Ancak, merkezi açıların yanı sıra yazıtlı açılar da vardır. Onların farkı nedir? Tıpkı merkezdeki gibi, bir daireye çizilen açı da belli bir yaya dayanır. Ancak tepe noktası dairenin merkeziyle çakışmaz, onun üzerinde bulunur.
Şu örneği ele alalım.
Açı ACB'ye O noktası merkezli bir daire içinde çizilen açı denir. C noktası daireye aittir, yani onun üzerinde bulunur. Açı AB yayına dayanıyor.
Merkez açı nedir
Geometrideki problemlerle başarılı bir şekilde başa çıkmak için, yazılı ve merkezi açıları ayırt edebilmek yeterli değildir. Kural olarak, bunları çözmek için bir dairedeki merkez açıyı tam olarak nasıl bulacağınızı bilmeniz ve değerini derece cinsinden hesaplayabilmeniz gerekir.
Yani merkez açı, üzerinde durduğu yayın derece ölçüsüne eşittir.
Resimde, AOB açısı AB yayının üzerinde 66°'ye eşittir. Yani AOB açısı da 66°'ye eşittir.
Böylece, eşit yaylara dayalı merkez açılar eşittir.
Şekilde, DC arkı AB arkına eşittir. Yani AOB açısı DOC açısına eşittir.
Belirtilmiş bir açı nasıl bulunur
Çerçevede yazılı olan açı merkez açıya eşitmiş gibi görünebilir,hangi aynı yaya dayanır. Ancak, bu büyük bir hatadır. Hatta sadece çizime bakıp bu açıları birbiriyle kıyasladığınızda bile derece ölçülerinin farklı değerlere sahip olacağını görebilirsiniz. Peki çemberde yazılı açı nedir?
Yaylı bir açının derece ölçüsü, üzerinde durduğu yayın yarısı veya aynı yaya dayanıyorsa merkez açının yarısıdır.
Bir örnek düşünelim. ACB açısı, 66°'ye eşit bir yayı temel alır.
Yani DIA açısı=66°: 2=33°
Bu teoremin bazı sonuçlarını ele alalım.
- Çizgili açılar, eğer aynı yaya, kirişe veya eşit yaya dayanıyorlarsa eşittir.
- Belirtilen açılar aynı kirişe dayanıyorsa, ancak köşeleri bunun karşı taraflarındaysa, bu durumda her iki açı da yaylara dayalı olduğundan, bu tür açıların derece ölçülerinin toplamı 180°'dir. toplam derece ölçüsü 360° (tam daire), 360°: 2=180°
- Belirtilen açı verilen dairenin çapına bağlıysa, derece ölçüsü 90°'dir, çünkü çap 180°'ye eşit bir yaya denk gelir, 180°: 2=90°
- Bir dairedeki merkezi ve yazılı açılar aynı yaya veya kirişe dayanıyorsa, bu durumda yazılı açı, merkezi açının yarısına eşittir.
Bu konudaki sorunlar nerede bulunabilir? Çeşitleri ve çözümleri
Çember ve özellikleri, geometrinin, özellikle planimetrinin en önemli bölümlerinden biri olduğu için, çemberdeki yazılı ve merkez açılar, geniş ve ayrıntılı bir konudur.okul müfredatında okudu. Özelliklerine ayrılan görevler, ana devlet sınavında (OGE) ve birleşik devlet sınavında (USE) bulunur. Kural olarak, bu problemleri çözmek için daire üzerindeki açıları derece cinsinden bulmalısınız.
Aynı yaya dayalı açılar
Bu tür bir problem belki de en kolay olanlardan biridir, çünkü onu çözmek için sadece iki basit özelliği bilmeniz gerekir: eğer her iki açı da yazılıysa ve aynı kirişe yaslanıyorsa, bunlardan biri eşitse, bunlar eşittir. merkezi, o zaman karşılık gelen yazılı açı, bunun yarısına eşittir. Ancak, bunları çözerken son derece dikkatli olunmalıdır: bazen bu özelliği fark etmek zordur ve öğrenciler bu kadar basit problemleri çözerken çıkmaza girerler. Bir örnek düşünün.
Sorun 1
O noktasında merkezli bir daire verildiğinde. AOB açısı 54°'dir. DIA açısının derece ölçüsünü bulun.
Bu görev tek adımda çözülür. Bunun cevabını çabucak bulmak için ihtiyacınız olan tek şey, her iki köşenin de üzerinde durduğu yayın ortak bir yay olduğunu fark etmektir. Bunu görünce zaten tanıdık olan özelliği uygulayabilirsiniz. ACB açısı, AOB açısının yarısıdır. Yani
1) AOB=54°: 2=27°.
Cevap: 54°.
Aynı çemberin farklı yaylarına dayalı açılar
Bazen gerekli açının dayandığı yayın boyutu, sorunun koşullarında doğrudan belirtilmez. Bunu hesaplamak için bu açıların büyüklüğünü analiz etmeniz ve bunları dairenin bilinen özellikleriyle karşılaştırmanız gerekir.
Problem 2
O merkezli bir dairede, AOC açısı120° ve AOB açısı 30°'dir. SİZ köşeyi bulun.
İlk olarak, bu sorunu ikizkenar üçgenlerin özelliklerini kullanarak çözmenin mümkün olduğunu söylemekte fayda var, ancak bu daha fazla matematiksel işlem gerektirecektir. Bu nedenle, burada bir dairedeki merkezi ve yazılı açıların özelliklerini kullanarak çözümü analiz edeceğiz.
Öyleyse, AOC açısı AC yayına dayanır ve merkezidir, bu da AC yayının AOC açısına eşit olduğu anlamına gelir.
AC=120°
Aynı şekilde, AOB açısı AB yayına dayanıyor.
AB=30°.
Bunu ve tüm dairenin (360°) derece ölçüsünü bilerek, BC yayının büyüklüğünü kolayca bulabilirsiniz.
BC=360° - AC - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
CAB açısının tepe noktası, A noktası çemberin üzerindedir. Bu nedenle, CAB açısı yazılıdır ve CB yayının yarısına eşittir.
CAB açısı=210°: 2=110°
Cevap: 110°
Yay oranlarına dayalı problemler
Bazı problemler açılarla ilgili hiç veri içermez, bu nedenle sadece bilinen teoremlere ve bir dairenin özelliklerine dayalı olarak aranmaları gerekir.
Problem 1
Verilen dairenin yarıçapına eşit bir kiriş tarafından desteklenen bir daireye çizilen açıyı bulun.
Segmentin uçlarını dairenin merkezine bağlayan çizgiler zihinsel olarak çizerseniz, bir üçgen elde edersiniz. İnceledikten sonra, bu çizgilerin dairenin yarıçapları olduğunu görebilirsiniz, bu da üçgenin tüm kenarlarının eşit olduğu anlamına gelir. Bir eşkenar üçgenin tüm açılarının olduğunu biliyoruz.60°'ye eşittir. Bu nedenle, üçgenin tepe noktasını içeren AB yayı 60°'ye eşittir. Buradan, istenen açının dayandığı AB yayını buluruz.
AB=360° - 60°=300°
Açı ABC=300°: 2=150°
Cevap: 150°
Problem 2
O noktasında ortalanmış bir çemberde, yaylar 3:7 ile ilişkilidir. Daha küçük yazılı açıyı bulun.
Çözüm için, bir parçayı X olarak gösteriyoruz, sonra bir yay 3X'e ve ikincisi sırasıyla 7X'e eşittir. Bir dairenin derece ölçüsünün 360° olduğunu bildiğimize göre bir denklem yazabiliriz.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
Koşullara göre daha küçük bir açı bulmanız gerekiyor. Açıktır ki, açının değeri üzerinde durduğu yay ile doğru orantılıysa, gerekli (daha küçük) açı 3X'e eşit bir yaya karşılık gelir.
Yani daha küçük açı (36°3): 2=108°: 2=54°
Cevap: 54°
Problem 3
O noktası merkezli bir dairede, AOB açısı 60°'dir ve küçük yayın uzunluğu 50'dir. Daha büyük yayın uzunluğunu hesaplayın.
Daha büyük bir yayın uzunluğunu hesaplamak için, bir orantı yapmanız gerekir - küçük yayın büyük olanla nasıl bir ilişkisi var. Bunu yapmak için, her iki yayın da derece olarak büyüklüğünü hesaplıyoruz. Daha küçük yay, üzerinde duran açıya eşittir. Derece ölçüsü 60°'dir. Daha büyük yay, dairenin derece ölçüsü (diğer verilerden bağımsız olarak 360°'ye eşittir) ile daha küçük yay arasındaki farka eşittir.
Büyük yay 360° - 60°=300°'dir.
300°: 60°=5 olduğundan, büyük yay küçük olanın 5 katıdır.
Büyük yay=505=250
Cevap: 250
Elbette başkaları da varbenzer problemlerin çözümüne yönelik yaklaşımlar vardır, ancak hepsi bir şekilde merkezi ve yazılı açıların, üçgenlerin ve dairelerin özelliklerine dayanmaktadır. Bunları başarılı bir şekilde çözmek için, çizimi dikkatlice incelemeniz ve onu problemin verileriyle karşılaştırmanız ve teorik bilginizi pratikte uygulayabilmeniz gerekir.
