Klasik mekanikte cisimlerin doğrusal hareketi Newton yasaları kullanılarak açıklanırsa, mekanik sistemlerin dairesel yörüngeler boyunca hareketinin özellikleri, moment denklemi adı verilen özel bir ifade kullanılarak hesaplanır. Hangi anlardan bahsediyoruz ve bu denklemin anlamı nedir? Bu ve diğer sorular makalede açıklanmaktadır.
Güç anı
Herkes, vücuda etki eden ve ona ivme kazandıran Newton kuvvetinin gayet iyi farkındadır. Belirli bir dönme eksenine sabitlenmiş bir cisme böyle bir kuvvet uygulandığında, bu özelliğe genellikle kuvvet momenti denir. Kuvvet denkleminin momenti şu şekilde yazılabilir:
M¯=L¯F¯
Bu ifadeyi açıklayan resim aşağıda gösterilmiştir.
Burada, F¯ kuvvetinin Φ açısıyla L¯ vektörüne yönlendirildiğini görebilirsiniz. L¯ vektörünün kendisinin dönme ekseninden (okla gösterilen) uygulama noktasına yönlendirildiği varsayılır. F¯.
Yukarıdaki formül iki vektörün çarpımıdır, dolayısıyla M¯ de yönlüdür. M¯ kuvvet momenti nereye dönecek? Bu, sağ el kuralıyla belirlenebilir (dört parmak, L¯ vektörünün sonundan F¯'nin sonuna kadar olan yörünge boyunca yönlendirilir ve sol başparmak M¯ yönünü gösterir).
Yukarıdaki şekilde, kuvvet momentinin skaler formdaki ifadesi şu şekilde olacaktır:
M=LFsin(Φ)
Şuraya yakından bakarsanız, Lsin(Φ)=d olduğunu görebilirsiniz, o zaman şu formüle sahibiz:
M=dF
d değeri, sisteme uygulanan F'nin etkinliğini yansıttığı için kuvvet momentinin hesaplanmasında önemli bir özelliktir. Bu değere kuvvet kaldıracı denir.
M'nin fiziksel anlamı, kuvvetin sistemi döndürme yeteneğinde yatar. Kapıyı kulpundan açarak, menteşelerin yanına iterek veya kısa ve uzun bir anahtarla somunu sökmeye çalışan herkes bu yeteneği hissedebilir.
Sistemin dengesi
Kuvvet momenti kavramı, birden fazla kuvvetin etki ettiği ve bir ekseni veya dönme noktası olan bir sistemin dengesi düşünüldüğünde çok kullanışlıdır. Bu gibi durumlarda şu formülü uygulayın:
∑iMi¯=0
Yani, kendisine uygulanan kuvvetlerin tüm momentlerinin toplamı sıfırsa sistem dengede olacaktır. Bu formülde anın üzerinde bir vektör işareti olduğuna dikkat edin, yani çözerken bunun işaretini dikkate almayı unutmamak gerekir.miktarları. Genel olarak kabul edilen kural, sistemi saat yönünün tersine döndüren etki eden kuvvetin pozitif bir Mi¯ oluşturmasıdır.
Bu tür sorunların çarpıcı bir örneği, Arşimet'in kaldıraçlarının dengesiyle ilgili sorunlardır.
Momentum anı
Bu, dairesel hareketin bir diğer önemli özelliğidir. Fizikte, momentum ve kaldıracın ürünü olarak tanımlanır. Momentum denklemi şuna benzer:
T¯=r¯p¯
Burada p¯ momentum vektörüdür, r¯ dönen malzeme noktasını eksene bağlayan vektördür.
Aşağıdaki şekil bu ifadeyi göstermektedir.
Burada ω, moment denkleminde daha ileride görünecek olan açısal hızdır. T¯ vektörünün yönünün M¯ ile aynı kuralla bulunduğuna dikkat edin. Yukarıdaki şekilde, yönünde T¯ açısal hız vektörü ω¯ ile çakışacaktır.
T¯'nin fiziksel anlamı, doğrusal hareket durumunda p¯'nin özellikleriyle aynıdır, yani açısal momentum, dönme hareketinin miktarını (depolanmış kinetik enerji) tanımlar.
Atalet momenti
Dönen bir nesnenin hareket denklemini formüle etmenin imkansız olduğu üçüncü önemli özellik, eylemsizlik momentidir. Fizikte, maddi bir noktanın açısal momentumu için formülün matematiksel dönüşümlerinin bir sonucu olarak ortaya çıkar. Hadi sana nasıl yapıldığını gösterelim.
Değeri hayal edelimT¯ aşağıdaki gibidir:
T¯=r¯mv¯, burada p¯=mv¯
Açısal ve doğrusal hızlar arasındaki ilişkiyi kullanarak bu ifadeyi şu şekilde yeniden yazabiliriz:
T¯=r¯mr¯ω¯, burada v¯=r¯ω¯
Son ifadeyi aşağıdaki gibi yazın:
T¯=r2mω¯
r2m değeri, ondan r uzaklıkta bir eksen etrafında dairesel bir hareket yapan m kütleli bir nokta için I eylemsizlik momentidir. Bu özel durum, keyfi şekle sahip bir cisim için genel eylemsizlik momenti denklemini sunmamızı sağlar:
I=∫m (r2dm)
I, anlamı dönen sistemin ataletinde yatan bir katkı miktarıdır. Ben ne kadar büyük olursa, vücudu döndürmek o kadar zor olur ve onu durdurmak için büyük çaba gerektirir.
Moment denklemi
Adı "an" kelimesiyle başlayan üç miktar düşündük. Bu, kasıtlı olarak yapıldı, çünkü hepsi 3-moment denklemi adı verilen tek bir ifadede birbirine bağlı. Hadi çıkaralım.
Açısal momentum T¯:
için ifadeyi düşünün
T¯=Benω¯
T¯ değerinin zamanla nasıl değiştiğini bulun, elimizde:
dT¯/dt=Idω¯/dt
Açısal hızın türevinin lineer hızın r'ye bölünmesinin türevine eşit olduğu ve I değerini genişlettiğimiz için şu ifadeye ulaşırız:
dT¯/dt=mr21/rdv¯/dt=rma¯, burada a¯=dv¯/dt doğrusal ivmedir.
Kütle ve ivmenin çarpımının, etkiyen dış kuvvet F¯'den başka bir şey olmadığına dikkat edin. Sonuç olarak şunu elde ederiz:
dT¯/dt=rF¯=M¯
İlginç bir sonuca vardık: açısal momentumdaki değişim, etki eden dış kuvvetin momentine eşittir. Bu ifade genellikle biraz farklı bir biçimde yazılır:
M¯=Iα¯, burada α¯=dω¯/dt - açısal ivme.
Bu eşitliğe moment denklemi denir. Sistemin parametrelerini ve bunun üzerindeki dış etkinin büyüklüğünü bilerek, dönen bir gövdenin herhangi bir özelliğini hesaplamanıza olanak tanır.
Korunum yasası T¯
Önceki paragrafta elde edilen sonuç, kuvvetlerin dış momenti sıfıra eşitse, açısal momentumun değişmeyeceğini gösterir. Bu durumda şu ifadeyi yazıyoruz:
T¯=sabit. veya I1ω1¯=I2ω2 ¯
Bu formüle T¯'nin korunumu yasası denir. Yani sistemdeki herhangi bir değişiklik toplam açısal momentumu değiştirmez.
Bu gerçek, artistik patinajcılar ve balerinler tarafından performansları sırasında kullanılır. Ayrıca uzayda hareket eden yapay bir uyduyu kendi ekseni etrafında döndürmek gerekirse kullanılır.
