Matematiksel problemler birçok bilimde kullanılmaktadır. Bunlar sadece fizik, kimya, mühendislik ve ekonomiyi değil, aynı zamanda tıp, ekoloji ve diğer disiplinleri de içerir. Önemli ikilemlere çözüm bulmak için uzmanlaşılması gereken önemli bir kavram, bir fonksiyonun türevidir. Bunun fiziksel anlamını, konunun özünde deneyimsizlere göründüğü kadar açıklamak hiç de zor değil. Bunun sadece gerçek hayatta ve sıradan günlük durumlarda uygun örneklerini bulmak yeterlidir. Aslında, herhangi bir sürücü her gün hız göstergesine baktığında benzer bir görevle başa çıkar ve arabasının hızını sabit bir zamanın belirli bir anında belirler. Sonuçta, türevin fiziksel anlamının özü bu parametrede yatmaktadır.
Hız nasıl bulunur
Yoldaki bir kişinin hızını belirleyin, kat edilen mesafeyi ve seyahat süresini bilen herhangi bir beşinci sınıf öğrencisi kolayca yapabilir. Bunu yapmak için verilen değerlerden ilki ikinciye bölünür. Ancakher genç matematikçi şu anda bir fonksiyonun ve bir argümanın artışlarının oranını bulduğunu bilmiyor. Gerçekten de, hareketi y ekseni boyunca yolu ve apsis boyunca zamanı çizerek bir grafik şeklinde hayal edersek, tam olarak böyle olacaktır.
Ancak, yolun büyük bir bölümünde belirlediğimiz bir yayanın veya başka herhangi bir nesnenin hızı, hareketin tekdüze olduğunu göz önünde bulundurarak pekala değişebilir. Fizikte birçok hareket şekli vardır. Sadece sabit bir hızlanma ile değil, keyfi bir şekilde yavaşlama ve artırma ile gerçekleştirilebilir. Bu durumda hareketi tanımlayan çizginin artık düz bir çizgi olmayacağına dikkat edilmelidir. Grafiksel olarak, en karmaşık konfigürasyonları üstlenebilir. Ancak grafikteki herhangi bir nokta için her zaman doğrusal bir fonksiyonla temsil edilen bir teğet çizebiliriz.
Zamana bağlı olarak yer değiştirme değişimi parametresini netleştirmek için ölçülen segmentleri kıs altmak gerekir. Sonsuz derecede küçüldüklerinde hesaplanan hız anlık olacaktır. Bu deneyim, türevi tanımlamamıza yardımcı olur. Fiziksel anlamı da mantıksal olarak böyle bir akıl yürütmeden kaynaklanır.
Geometri açısından
Cismin hızı ne kadar büyükse, yer değiştirmenin zamana bağımlılığı grafiğinin ve dolayısıyla belirli bir noktada teğetin grafiğe eğim açısının o kadar dik olduğu bilinmektedir. Bu tür değişikliklerin bir göstergesi, x ekseni ile teğet çizgisi arasındaki açının tanjantı olabilir. Sadece türevin değerini belirler ve uzunlukların oranı ile hesaplanır. Bir noktadan x eksenine bırakılan bir dikin oluşturduğu bir dik üçgende bitişik bacağın karşısında.
Bu, birinci türevin geometrik anlamıdır. Fiziksel olan, bizim durumumuzda karşı bacağın değerinin kat edilen mesafe ve bitişik olanın zaman olduğu gerçeğinde ortaya çıkar. Onların oranı hızdır. Ve yine, her iki boşluk da sonsuz derecede küçük olma eğilimindeyken belirlenen anlık hızın, türev kavramının, fiziksel anlamını gösteren özü olduğu sonucuna varıyoruz. Bu örnekteki ikinci türev, cismin ivmesi olacaktır ve bu da hızdaki değişim oranını gösterir.
Fizikte türev bulma örnekleri
Türev, kelimenin tam anlamıyla hareketten bahsetmiyor olsak bile, herhangi bir fonksiyonun değişim oranının bir göstergesidir. Bunu açıkça göstermek için birkaç somut örnek alalım. Mevcut gücün zamana bağlı olarak aşağıdaki yasaya göre değiştiğini varsayalım: I=0, 4t2. İşlemin 8. saniyesi sonunda bu parametrenin değişme hızının değerinin bulunması gerekmektedir. Denklemden de anlaşılacağı gibi, istenen değerin kendisinin sürekli arttığına dikkat edin.
Bunu çözmek için, daha önce fiziksel anlamı düşünülen birinci türevi bulmanız gerekir. Burada dI/dt=0.8t. Ardından, t \u003d 8'de buluyoruz, mevcut gücün değişme hızının 6.4 A / c olduğunu alıyoruz. Burada kabul edilir kiakım sırasıyla amper ve zaman cinsinden ölçülür.
Her şey değişir
Maddeden oluşan görünür çevreleyen dünya, içinde meydana gelen çeşitli süreçlerin hareket halinde olması nedeniyle sürekli değişime uğrar. Bunları tanımlamak için çeşitli parametreler kullanılabilir. Bağımlılıkla birleştirilirlerse, değişimlerini açıkça gösteren bir fonksiyon olarak matematiksel olarak yazılırlar. Ve hareketin olduğu yerde (hangi biçimde ifade edilirse edilsin), şu anda fiziksel anlamını düşündüğümüz bir türev de vardır.
Bu vesileyle, aşağıdaki örnek. Vücut sıcaklığının T=0, 2 t 2 yasasına göre değiştiğini varsayalım. 10. saniyenin sonunda ısınma hızını bulmalısınız. Sorun, önceki durumda açıklanana benzer bir şekilde çözülür. Yani, türevi buluyoruz ve t \u003d 10 değerini yerine koyuyoruz, T \u003d 0, 4 t \u003d 4 alıyoruz. Bu, son cevabın saniyede 4 derece olduğu, yani ısıtma işlemi olduğu anlamına gelir. ve derece cinsinden ölçülen sıcaklık değişimi tam olarak böyle bir hızda gerçekleşir.
Pratik sorunları çözme
Elbette, gerçek hayatta her şey teorik problemlerden çok daha karmaşıktır. Uygulamada, miktarların değeri genellikle deney sırasında belirlenir. Bu durumda, ölçümler sırasında belirli bir hata ile okuma veren cihazlar kullanılır. Bu nedenle, hesaplamalarda, parametrelerin yaklaşık değerleri ile ilgilenmek ve uygunsuz sayıları yuvarlamaya başvurmak gerekir,diğer basitleştirmeler gibi. Bunu dikkate alarak, doğada meydana gelen en karmaşık süreçlerin yalnızca bir tür matematiksel modeli oldukları için türevin fiziksel anlamı ile ilgili problemlere tekrar geçeceğiz.
Volkan Patlaması
Bir yanardağın patladığını düşünelim. Ne kadar tehlikeli olabilir? Bu soruyu cevaplamak için birçok faktörü göz önünde bulundurmak gerekir. Onlardan birini barındırmaya çalışacağız.
"Ateşli canavar"ın ağzından taşlar dikey olarak yukarı doğru fırlatılır, çıkış anından itibaren 120 m/s'lik bir başlangıç hızına sahiptir. Maksimum yüksekliğe ne kadar ulaşabileceklerini hesaplamak gerekir.
İstenen değeri bulmak için metre cinsinden ölçülen H yüksekliğinin diğer değerlere bağımlılığı için bir denklem oluşturacağız. Bunlar ilk hız ve zamanı içerir. Hızlanma değeri bilinen olarak kabul edilir ve yaklaşık olarak 10 m/s2'ye eşittir.
Kısmi türev
Şimdi bir fonksiyonun türevinin fiziksel anlamını biraz farklı bir açıdan ele alalım, çünkü denklemin kendisi bir değil birkaç değişken içerebilir. Örneğin, bir önceki problemde, yanardağın ağzından atılan taşların yüksekliğinin bağımlılığı sadece zaman özelliklerindeki değişimle değil, aynı zamanda başlangıç hızının değeriyle de belirlendi. İkincisi sabit, sabit bir değer olarak kabul edildi. Ancak tamamen farklı koşullara sahip diğer görevlerde her şey farklı olabilir. Eğer kompleksin üzerinde bulunduğu miktarlarfonksiyonu, birkaç, hesaplamalar aşağıdaki formüllere göre yapılır.
Sık türevin fiziksel anlamı, olağan durumda olduğu gibi belirlenmelidir. Bu, değişkenin parametresi arttıkça fonksiyonun belirli bir noktada değişme hızıdır. Diğer tüm bileşenler sabit olarak alınacak şekilde hesaplanır, yalnızca biri değişken olarak kabul edilir. Sonra her şey olağan kurallara göre gerçekleşir.
Birçok konuda vazgeçilmez danışman
Türevin fiziksel anlamını anlamak, bu tür bilgilerle cevabın bulunabileceği karmaşık ve karmaşık problemlerin çözümüne ilişkin örnekler vermek zor değildir. Arabanın hızına bağlı olarak yakıt tüketimini açıklayan bir fonksiyonumuz varsa, ikincisinin hangi parametrelerinde benzin tüketiminin en az olacağını hesaplayabiliriz.
Tıpta, bir doktor tarafından reçete edilen bir ilaca insan vücudunun nasıl tepki vereceğini tahmin edebilirsiniz. İlacın alınması çeşitli fizyolojik parametreleri etkiler. Bunlar, kan basıncındaki, kalp atış hızındaki, vücut sıcaklığındaki ve daha fazlasındaki değişiklikleri içerir. Hepsi alınan ilacın dozuna bağlıdır. Bu hesaplamalar, hem olumlu belirtilerde hem de hastanın vücudundaki değişiklikleri ölümcül şekilde etkileyebilecek istenmeyen kazalarda tedavinin seyrini tahmin etmeye yardımcı olur.
Şüphesiz, teknik anlamda türevin fiziksel anlamını anlamak önemlidir.özellikle elektrik mühendisliği, elektronik, tasarım ve inşaat alanlarındaki sorunlar.
Fren mesafesi
Bir sonraki sorunu düşünelim. Sabit hızla hareket eden otomobil, köprüye yaklaşan sürücü, 36 km/s'den daha yüksek bir hızla hareket etmeyi yasaklayan bir yol levhası fark ettiğinden, girişten 10 saniye önce yavaşlamak zorunda kaldı. Fren mesafesi S=26t - t2 formülüyle tanımlanabiliyorsa, sürücü kuralları ihlal etti mi?
Birinci türevi hesaplayarak hızın formülünü buluyoruz, v=28 – 2t elde ediyoruz. Ardından, t=10 değerini belirtilen ifadeyle değiştirin.
Bu değer saniye cinsinden ifade edildiğinden hız 8 m/s yani 28,8 km/s demektir. Bu, sürücünün zamanla yavaşlamaya başladığını ve trafik kurallarını ve dolayısıyla hız işaretinde belirtilen sınırı ihlal etmediğini anlamayı mümkün kılar.
Bu, türevin fiziksel anlamının önemini kanıtlar. Bu sorunu çözmenin bir örneği, bu kavramın yaşamın çeşitli alanlarında kullanımının genişliğini göstermektedir. Günlük durumlar dahil.
Ekonomide türev
19. yüzyıla kadar, ekonomistler, ister emek verimliliği isterse çıktı fiyatı olsun, çoğunlukla ortalamalar üzerinde çalıştılar. Ancak bir noktadan sonra, bu alanda etkili tahminler yapmak için sınırlayıcı değerler daha gerekli hale geldi. Bunlara marjinal fayda, gelir veya maliyet dahildir. Bunu anlamak, ekonomik araştırmalarda tamamen yeni bir aracın yaratılmasına ivme kazandırdı.yüz yıldan fazla bir süredir var olan ve gelişen.
Minimum ve maksimum gibi kavramların baskın olduğu bu tür hesaplamaları yapmak için, türevin geometrik ve fiziksel anlamını anlamak yeterlidir. Bu disiplinlerin teorik temellerinin yaratıcıları arasında, ABD Jevons, K. Menger ve diğerleri gibi önde gelen İngiliz ve Avusturyalı iktisatçılar sayılabilir. Tabii ki, ekonomik hesaplamalarda sınırlayıcı değerlerin kullanımı her zaman uygun değildir. Ve örneğin, üç aylık raporların mevcut şemaya uyması gerekmez, ancak yine de böyle bir teorinin uygulanması birçok durumda faydalı ve etkilidir.
