Günümüz dünyasında, giderek daha fazla çeşitli araba ve alet kullanıyoruz. Ve sadece kelimenin tam anlamıyla insanlık dışı bir güç uygulamak gerektiğinde değil: yükü hareket ettirin, bir yüksekliğe kaldırın, uzun ve derin bir hendek kazın, vb. Bugün arabalar robotlar tarafından monte edilir, yiyecekler çok pişiriciler tarafından hazırlanır ve temel aritmetik hesaplamalar yapılır. hesap makineleri tarafından gerçekleştirilir. Gittikçe daha sık "Boole cebiri" ifadesini duyuyoruz. Belki de robotları yaratmada insanın rolünü ve makinelerin sadece matematiksel değil, aynı zamanda mantıksal problemleri de çözme yeteneğini anlamanın zamanı geldi.
Mantık
Yunancadan çevrilen mantık, verilen koşullar arasında ilişkiler oluşturan ve öncüllere ve varsayımlara dayalı sonuçlar çıkarmanıza olanak tanıyan düzenli bir düşünme sistemidir. Oldukça sık birbirimize soruyoruz: "Mantıklı mı?" Alınan cevap, varsayımlarımızı doğrular veya düşünce dizisini eleştirir. Ama süreç durmuyor: Akıl yürütmeye devam ediyoruz.
Bazen koşulların sayısı (giriş) o kadar fazladır ve aralarındaki ilişkiler o kadar karmaşık ve karmaşıktır ki insan beyni her şeyi aynı anda "sindiremez". Neler olduğunu anlamak bir aydan (hafta, yıl) fazla sürebilir. Ancakmodern yaşam bize karar vermemiz için böyle zaman aralıkları vermiyor. Ve bilgisayarların yardımına başvuruyoruz. Ve bu, kendi yasaları ve özellikleriyle mantığın cebirinin ortaya çıktığı yerdir. Tüm ilk verileri indirerek, bilgisayarın tüm ilişkileri tanımasını, çelişkileri ortadan kaldırmasını ve tatmin edici bir çözüm bulmasını sağlıyoruz.
Matematik ve Mantık
Ünlü Gottfried Wilhelm Leibniz, sorunları yalnızca dar bir bilim insanı çevresi tarafından anlaşılabilir olan "matematiksel mantık" kavramını formüle etti. Bu yön özel bir ilgi uyandırmadı ve 19. yüzyılın ortalarına kadar matematiksel mantığı çok az kişi biliyordu.
Bilim camiasına olan büyük ilgi, İngiliz George Boole'un kesinlikle hiçbir pratik uygulaması olmayan bir matematik dalı yaratma niyetini duyurduğu bir anlaşmazlığa neden oldu. Tarihten hatırladığımız gibi, o dönemde endüstriyel üretim aktif olarak gelişiyordu, her türlü yardımcı makine ve takım tezgahı geliştiriliyordu, yani tüm bilimsel keşiflerin pratik bir odağı vardı.
İleriye baktığımızda, Boole cebrinin modern dünyada matematiğin en çok kullanılan kısmı olduğunu varsayalım. Yani Bull argümanını kaybetti.
George Buhl
Yazarın kişiliği özel bir ilgiyi hak ediyor. Geçmişte insanların bizden önce büyüdüğü düşünülse bile, J. Buhl'un 16 yaşında bir köy okulunda öğretmenlik yaptığını ve 20 yaşında Lincoln'de kendi okulunu açtığını unutmamak elde değil. Matematikçi beş yabancı dilde akıcıydı ve boş zamanlarında eserler okurdu. Newton ve Lagrange. Ve tüm bunlar basit bir işçinin oğluyla ilgili!
1839'da Boole bilimsel makalelerini ilk olarak Cambridge Mathematical Journal'a sundu. Bilim adamı 24 yaşında. Boole'un çalışmaları Kraliyet Cemiyeti üyeleriyle o kadar ilgiliydi ki, 1844'te matematiksel analizin gelişimine yaptığı katkılardan dolayı bir madalya aldı. Matematiksel mantığın unsurlarını tanımlayan birkaç yayınlanmış çalışma, genç matematikçinin Cork County College'da profesörlük görevini üstlenmesine izin verdi. Buhl'un kendisinin eğitim almadığını hatırlayın.
Fikir
İlke olarak, Boole cebri çok basittir. Matematik açısından sadece iki kelimeyle tanımlanabilen ifadeler (mantıksal ifadeler) vardır: “doğru” veya “yanlış”. Örneğin, ilkbaharda ağaçlar çiçek açar - doğru, yazın kar yağar - bir yalan. Bu matematiğin güzelliği, yalnızca sayıları kullanmaya kesin olarak gerek olmamasıdır. Kesin anlamı olan herhangi bir ifade, yargı cebiri için oldukça uygundur.
Böylece, mantık cebiri kelimenin tam anlamıyla her yerde kullanılabilir: talimatların planlanmasında ve yazılmasında, olaylarla ilgili çelişkili bilgilerin analiz edilmesinde ve eylemlerin sırasının belirlenmesinde. En önemli şey, ifadenin doğruluğunu veya yanlışlığını nasıl belirlediğimizin tamamen önemsiz olduğunu anlamaktır. Bu "nasıllar" ve "nedenler" soyutlanmalıdır. Yalnızca gerçeğin ifadesi önemlidir: doğru-yanlış.
Tabii ki, programlama için, mantık cebirinin işlevleri önemlidir, bunlara karşılık gelen komutlar tarafından yazılır.işaretler ve semboller. Ve onları öğrenmek, yeni bir yabancı dile hakim olmak demektir. Hiçbir şey imkansız değildir.
Temel kavramlar ve tanımlar
Derinliğe girmeden terminolojiye geçelim. Boole cebri şu varsayımda bulunur:
- ifadeler;
- mantıksal işlemler;
- işlevler ve yasalar.
İfadeler, belirsiz bir şekilde yorumlanamayan herhangi bir olumlu ifadedir. Sayılar (5 > 3) olarak yazılırlar veya tanıdık sözcüklerle formüle edilirler (fil en büyük memelidir). Aynı zamanda, “zürafanın boynu yoktur” ifadesinin de var olma hakkı vardır, sadece Boole cebri onu “yanlış” olarak tanımlayacaktır.
Tüm ifadeler açık olmalıdır, ancak bunlar basit ve bileşik olabilir. İkincisi mantıksal bağlaçlar kullanır. Yani, yargı cebrinde, mantıksal işlemlerle temel ifadeler eklenerek bileşik ifadeler oluşturulur.
Boole cebir işlemleri
Yargılar cebirindeki işlemlerin mantıklı olduğunu zaten hatırlıyoruz. Sayı cebirinin sayıları eklemek, çıkarmak veya karşılaştırmak için aritmetiği kullanması gibi, matematiksel mantığın öğeleri de karmaşık ifadeler yapmanıza, olumsuzlamanıza veya nihai sonucu hesaplamanıza olanak tanır.
Biçimselleştirme ve basitlik için mantıksal işlemler, aritmetikte bize tanıdık gelen formüllerle yazılır. Boole cebrinin özellikleri, denklem yazmayı ve bilinmeyenleri hesaplamayı mümkün kılar. Mantıksal işlemler genellikle bir doğruluk tablosu kullanılarak yazılır. Sütunlarıhesaplamanın öğelerini ve bunlar üzerinde gerçekleştirilen işlemi tanımlar ve çizgiler hesaplamanın sonucunu gösterir.
Temel mantıksal işlemler
Boole cebrindeki en yaygın işlemler olumsuzlama (NOT) ve mantıksal AND ve OR'dir. Yargı cebrindeki hemen hemen tüm eylemler bu şekilde tanımlanabilir. Üç işlemin her birini daha ayrıntılı olarak inceleyelim.
Olumsuzluk (değil) yalnızca bir öğeye (işlenen) uygulanır. Bu nedenle, olumsuzlama işlemine birli denir. "A değil" kavramını yazmak için şu sembolleri kullanın: ¬A, A¯¯¯ veya !A. Tablo biçiminde şöyle görünür:
Olumsuzluk işlevi şu ifadeyle tanımlanır: A doğruysa, B yanlıştır. Örneğin, Ay Dünya'nın etrafında döner - doğru; Dünya ayın etrafında dönüyor - yanlış.
Mantıksal çarpma ve toplama
Mantıksal VE'ye bağlaç işlemi denir. Bu ne anlama geliyor? İlk olarak, iki işlenene uygulanabilir, yani And bir ikili işlemdir. İkincisi, yalnızca her iki işlenenin (hem A hem de B) doğruluğu durumunda ifadenin kendisi doğrudur. "Sabır ve çalışmak her şeyi ezer" atasözü, yalnızca her iki faktörün de bir kişinin zorluklarla başa çıkmasına yardımcı olacağını öne sürer.
Yazmak için kullanılan semboller: A∧B, A⋅B veya A&&B.
Bağlaç, aritmetikteki çarpma işlemine benzer. Bazen böyle derler - mantıksal çarpma. Tablonun elemanlarını satır satır çarparsak mantıksal muhakemeye benzer bir sonuç elde ederiz.
Ayırma, mantıksal bir VEYA işlemidir. Gerçeğin değerini alırifadelerden en az biri doğru olduğunda (A veya B). Şu şekilde yazılır: A∨B, A+B veya A||B. Bu işlemler için doğruluk tabloları:
Ayırma, aritmetik toplama gibidir. Mantıksal toplama işleminin yalnızca bir sınırlaması vardır: 1+1=1. Ancak dijital formatta matematiksel mantığın 0 ve 1 ile sınırlı olduğunu hatırlıyoruz (1'in doğru olduğu, 0'ın yanlış olduğu). Örneğin, “bir müzede bir başyapıt görebilir veya ilginç bir muhatapla tanışabilirsiniz” ifadesi, sanat eserlerini görebileceğiniz veya ilginç bir insanla tanışabileceğiniz anlamına gelir. Aynı zamanda, her iki olayın aynı anda meydana gelme olasılığı göz ardı edilmez.
İşlevler ve yasalar
Yani, Boole cebrinin hangi mantıksal işlemleri kullandığını zaten biliyoruz. Fonksiyonlar, matematiksel mantık öğelerinin tüm özelliklerini tanımlar ve karmaşık bileşik problem koşullarını basitleştirmenize izin verir. En anlaşılır ve basit özellik, türetilmiş işlemlerin reddedilmesi gibi görünmektedir. Türevler özel VEYA, ima ve denkliktir. Yalnızca temel işlemleri incelediğimizden, yalnızca bunların özelliklerini de dikkate alacağız.
İlişkililik, "ve A, ve B ve C" gibi ifadelerde işlenenlerin sırasının önemli olmadığı anlamına gelir. Formül şöyle yazılır:
(A∧B)∧V=A∧(B∧V)=A∧B∧V, (A∨B)∨C=A∨(B∨C)=A∨B∨C.
Gördüğünüz gibi, bu sadece birleşmenin değil, aynı zamanda ayrılmanın da özelliğidir.
Değişebilirlik sonucunbağlaç veya ayrılma, ilk olarak hangi öğenin dikkate alındığına bağlı değildir:
A∧B=B∧A; A∨B=B∨A.
Dağıtılabilirlik, karmaşık mantıksal ifadelerde parantezlerin genişletilmesine izin verir. Kurallar, cebirde çarpma ve toplamada parantez açmaya benzer:
A∧(B∨C)=A∧B∨A∧B; A∨B∧B=(A∨B)∧(A∨B).
İşlenenlerden biri olabilen bir ve sıfırın özellikleri de sıfır veya bir ile cebirsel çarpmaya ve bir ile toplamaya benzer:
A∧0=0, A∧1=A; A∨0=A, A∨1=1.
Idempotency bize, iki eşit işlenene göre, bir işlemin sonucunun benzer olduğu ortaya çıkarsa, akıl yürütme sürecini karmaşıklaştıran fazladan işlenenleri "atabileceğimizi" söyler. Hem bağlaç hem de ayırma bağımsız işlemlerdir.
B∧B=B; B∨B=B.
Absorpsiyon ayrıca denklemleri basitleştirmemizi sağlar. Absorpsiyon, bir işlenene sahip bir ifadeye aynı elemanla başka bir işlem uygulandığında, sonucun soğurma işleminden işlenen olduğunu belirtir.
A∧B∨B=B; (A∨B)∧B=B.
İşlemlerin sırası
İşlemlerin sırası önemsiz değildir. Aslında cebire gelince, Boole cebrinin kullandığı fonksiyonların bir önceliği vardır. Formüller, ancak işlemlerin önemi gözlemlenirse basitleştirilebilir. En önemliden en aza doğru sıraladığımızda şu sıralama elde edilir:
1. İnkar.
2. Bağlaç.
3. Ayrışma, özelVEYA.
4. Etki, denklik.
Gördüğünüz gibi, yalnızca olumsuzlama ve bağlaç eşit önceliğe sahip değildir. Ve ayırma ve XOR önceliği, ayrıca ima ve eşdeğerlik öncelikleri eşittir.
Çıkarma ve denklik fonksiyonları
Daha önce de söylediğimiz gibi, temel mantıksal işlemlere ek olarak, matematiksel mantık ve algoritma teorisi türevleri kullanır. En yaygın kullanılanları ima ve denkliktir.
İptal veya mantıksal sonuç, bir eylemin bir koşul, diğerinin ise onun uygulanmasının bir sonucu olduğu bir ifadedir. Başka bir deyişle, bu "if … o zaman" edatları olan bir cümledir. "Ata binmeyi seviyorsan, kızak taşımayı da sev." Yani, kayak yapmak için kızağı tepeye doğru sıkmanız gerekir. Dağdan aşağı inme arzusu yoksa, kızağı taşımak zorunda değilsiniz. Şu şekilde yazılır: A→B veya A⇒B.
Equivalence, sonuçtaki eylemin yalnızca her iki işlenen de doğru olduğunda gerçekleştiğini varsayar. Örneğin, güneş ufukta yükseldiğinde (ve yalnızca) gece gündüze dönüşür. Matematiksel mantık dilinde bu ifade şu şekilde yazılır: A≡B, A⇔B, A==B.
Boole cebirinin diğer yasaları
Yargıların cebiri gelişiyor ve ilgili birçok bilim insanı yeni yasalar formüle etti. İskoç matematikçi O. de Morgan'ın varsayımları en ünlüsü olarak kabul edilir. Yakın olumsuzlama, tümleyen ve çift olumsuzlama gibi özellikleri fark etti ve tanımladı.
Yakın olumsuzlama, parantezden önce olumsuzlama olmadığı anlamına gelir:değil (A veya B)=A değil veya B DEĞİL.
Bir işlenen olumsuzlandığında, değeri ne olursa olsun, bir tamamlayıcıdan söz edilir:
B∧¬B=0; B∨¬B=1.
Ve son olarak, çifte olumsuzlama kendini telafi eder. Onlar. ya olumsuzlama işlenenden önce kaybolur ya da yalnızca biri kalır.
Testler nasıl çözülür
Matematiksel mantık, verilen denklemlerin basitleştirilmesini ima eder. Tıpkı cebirde olduğu gibi, önce koşulu olabildiğince kolay hale getirmelisiniz (karmaşık girdilerden ve bunlarla yapılan işlemlerden kurtulun) ve ardından doğru cevabı aramaya başlayın.
Basitleştirmek için ne yapılabilir? Tüm türetilmiş işlemleri basit işlemlere dönüştürün. Ardından tüm parantezleri açın (veya tam tersi, bu öğeyi kıs altmak için parantezlerden çıkarın). Bir sonraki adım Boole cebrinin özelliklerini pratikte uygulamak olmalıdır (absorpsiyon, sıfır ve birin özellikleri vb.).
Sonuçta, denklem basit işlemlerle birleştirilen minimum sayıda bilinmeyenden oluşmalıdır. Bir çözüm bulmanın en kolay yolu, çok sayıda yakın negatif elde etmektir. Sonra cevap kendi kendine açılır.
