Sembolik mantık, doğru akıl yürütme biçimlerini inceleyen bir bilim dalıdır. Felsefe, matematik ve bilgisayar bilimlerinde temel bir rol oynar. Felsefe ve matematik gibi mantığın da eski kökleri vardır. Doğru akıl yürütmenin doğasına ilişkin en eski incelemeler 2000 yılı aşkın bir süre önce yazılmıştır. Antik Yunanistan'ın en ünlü filozoflarından bazıları, 2.300 yıl önce alıkoymanın doğası hakkında yazdı. Antik Çinli düşünürler aynı zamanlarda mantıksal paradokslar hakkında yazıyorlardı. Kökleri çok eskilere gitse de mantık hala canlı bir çalışma alanıdır.
Matematiksel sembolik mantık
Ayrıca anlayabilmeniz ve akıl yürütebilmeniz gerekir, bu nedenle yaşamın çeşitli alanlarını analiz etmek ve teşhis etmek için özel bir ekipman olmadığında mantıklı sonuçlara özel dikkat gösterildi. Modern sembolik mantık, büyük Yunan filozofu ve tüm zamanların en etkili düşünürlerinden biri olan Aristoteles'in (MÖ 384-322) çalışmasından doğdu. Diğer başarılarşimdi önerme mantığı dediğimiz şeyin temellerini geliştiren Yunan Stoacı filozof Chrysippus tarafından.
Matematiksel veya sembolik mantık, yalnızca 19. yüzyılda aktif gelişme aldı. Boole, de Morgan, Schroeder'in çalışmaları, bilim adamlarının Aristoteles'in öğretilerini cebirselleştirdiği ve böylece önerme hesabı için temel oluşturduğu ortaya çıktı. Bunu, mantıkta uygulanmaya başlayan değişkenler ve niceleyiciler kavramlarının tanıtıldığı Frege ve Preece'nin çalışması izledi. Böylece yüklemlerin hesaplanması oluştu - konuyla ilgili ifadeler.
Mantık, gerçeğin doğrudan doğrulanması olmadığında, tartışılmaz gerçeklerin kanıtını ima etti. Mantıksal ifadelerin muhatabı doğruluğa ikna etmesi gerekiyordu.
Mantıksal formüller matematiksel ispat ilkesi üzerine inşa edilmiştir. Böylece muhatapları doğruluk ve güvenilirlik konusunda ikna ettiler.
Ancak, tüm argümanlar kelimelerle yazılmıştır. Mantıksal bir kesinti hesabı oluşturacak hiçbir resmi mekanizma yoktu. İnsanlar, bilim adamının matematiksel hesaplamaların arkasına saklanıp, tahminlerinin saçmalığını onların arkasına saklayıp saklamadığından şüphe etmeye başladılar, çünkü herkes argümanlarını farklı bir lehte sunabilir.
Anlamlılığın doğuşu: gerçeğin kanıtı olarak matematikte sağlam mantık
18. yüzyılın sonlarına doğru, matematiksel veya sembolik mantık, sonuçların doğruluğunu inceleme sürecini içeren bir bilim olarak ortaya çıktı. Mantıklı bir sonları ve bağlantıları olması gerekiyordu. Ama nasıl kanıtlayacaktıveya araştırma verilerini gerekçelendirin?
Büyük Alman filozof ve matematikçi Gottfried Leibniz, mantıksal argümanları resmileştirme ihtiyacını ilk fark edenlerden biriydi. Leibniz'in hayali buydu: tüm felsefi tartışmaları basit bir hesaplamaya indirgeyecek evrensel bir biçimsel bilim dili yaratmak, bu tür tartışmalarda akıl yürütmeyi bu dilde yeniden çalışmak. Matematiksel veya sembolik mantık, felsefi sorularda görevleri ve çözümleri kolaylaştıran formüller şeklinde ortaya çıktı. Evet ve bu bilim alanı daha önemli hale geldi, çünkü o zaman anlamsız felsefi gevezelik daha sonra matematiğin dayandığı taban oldu!
Günümüzde geleneksel mantık, basit ve gösterişsiz olan sembolik Aristotelesçidir. 19. yüzyılda bilim, Aristoteles'in mantıksal dizilerinin çok ünlü çözümlerinde tutarsızlıklara yol açan kümeler paradoksu ile karşı karşıya kaldı. Bu problemin çözülmesi gerekiyordu çünkü bilimde yüzeysel hatalar bile olamaz.
Lewis Carroll formalitesi - sembolik mantık ve dönüşüm adımları
Formal mantık artık derse dahil edilen bir konu. Bununla birlikte, görünüşünü, başlangıçta yaratılmış olan sembolik olana borçludur. Sembolik mantık, sıradan dilden ziyade semboller ve değişkenler kullanarak mantıksal ifadeleri temsil etme yöntemidir. Bu, Rusça gibi ortak dillere eşlik eden belirsizliği ortadan kaldırır ve işleri kolaylaştırır.
Birçok sembolik mantık sistemi vardır, örneğin:
- Klasik önerme.
- Birinci dereceden mantık.
- Modal.
Lewis Carroll tarafından anlaşılan sembolik mantık, sorulan sorudaki doğru ve yanlış ifadeleri belirtmek zorunda kalacaktı. Her birinin ayrı karakterleri olabilir veya belirli karakterlerin kullanımını hariç tutabilir. Mantıksal sonuç zincirini kapatan bazı ifade örnekleri:
- Benimle özdeş olan tüm insanlar var olan varlıklardır.
- Batman ile aynı olan tüm kahramanlar var olan yaratıklardır.
- Yani (Batman ve ben hiç aynı yerde görülmediğimiz için), benimle özdeş olan tüm insanlar Batman ile aynı kahramanlardır.
Bu geçerli bir kıyas formu değil, ancak aşağıdakiyle aynı yapıdır:
- Bütün köpekler memelidir.
- Bütün kediler memelidir.
- İşte bu yüzden bütün köpekler kedidir.
Mantıkta yukarıdaki sembolik formun geçerli olmadığı açık olmalıdır. Ancak mantıkta adalet şu ifadeyle tanımlanır: Eğer öncül doğru olsaydı, sonuç doğru olurdu. Bu açıkça doğru değil. Aynı şekle sahip olan kahraman örneği için de aynısı geçerli olacaktır. Geçerlilik, tümdengelimli bir argüman geçerli olamayacağından, yalnızca sonuçlarını kesin olarak kanıtlamayı amaçlayan tümdengelimli argümanlar için geçerlidir. Bu "düzeltmeler", veri hatasının bir sonucu olduğunda istatistikte de uygulanır ve modern sembolik mantık şu şekildedir:basitleştirilmiş verilerin formalitesi bu konuların çoğunda yardımcı olur.
Modern mantıkta tümevarım
Tümevarımsal bir argüman, yalnızca sonucunu yüksek olasılık veya çürütme ile göstermek içindir. Tümevarımsal argümanlar ya güçlüdür ya da zayıftır.
Tümevarımsal bir argüman olarak, süper kahraman Batman örneği basitçe zayıftır. Batman'in var olduğu şüpheli, bu nedenle ifadelerden biri zaten yüksek olasılıkla yanlış. Onu bir başkasıyla aynı yerde hiç görmemiş olsanız da, bu ifadeyi delil olarak kabul etmeniz çok saçma. Mantığın özünü anlamak için şunu hayal edin:
- Gine yerlisi ile hiç aynı yerde görülmedin.
- Sizin ve Gineli'nin aynı kişi olmanız inanılmaz.
- Şimdi bir Afrikalıyla aynı yerde hiç karşılaşmadığınızı hayal edin. Sen ve bir Afrikalının aynı kişi olmanız mantıklı değil. Ama Gineli ve Afrikalının yolları kesişti, yani aynı anda ikisi birden olamazsın. Afrikalı veya Gineli olduğunuza dair kanıtlar önemli ölçüde azaldı.
Bu bakış açısından, sembolik mantık fikrinin kendisi matematikle a priori bir ilişki anlamına gelmez. Mantığı bir sembol olarak tanımak için gereken tek şey, mantıksal işlemleri temsil etmek için sembollerin kapsamlı kullanımıdır.
Carroll'un Mantıksal Teorisi: Matematik Felsefesinde Dolaşma veya Minimalizm
Carroll bazı alışılmadık yollar öğrendibu da onu meslektaşlarının karşılaştığı oldukça zor sorunları çözmeye zorladı. Bu, çalışması sonucunda aldığı mantıksal gösterim ve sistemlerin karmaşıklığı nedeniyle önemli ilerleme kaydetmesini engelledi. Carroll'un simgesel mantığının varlık nedeni, eleme sorunudur. Verilen terimler arasındaki ilişkiye ilişkin bir dizi öncülden çıkarılacak sonuç nasıl bulunur? "Orta terimleri" ortadan kaldırma.
Ondokuzuncu yüzyılın ortalarında, bu temel mantık sorununu çözmek için sembolik, şematik, hatta mekanik aygıtlar icat edildi. Ancak, Carroll'un bu tür "mantıksal dizileri" (kendi adlandırdığı gibi) işleme yöntemleri her zaman doğru çözümü vermedi. Daha sonra, filozof, Mind: The Logical Paradox (1894) ve To the Tortoise Said to Achilles'e (1895) yansıyan hipotezler üzerine iki makale yayınladı.
Bu makaleler, on dokuzuncu ve yirminci yüzyılın mantıkçıları (Pearce, Russell, Ryle, Prior, Quine, vb.) tarafından geniş çapta tartışıldı. İlk makale genellikle maddi çıkarım paradokslarının iyi bir örneği olarak alıntılanırken, ikincisi çıkarsama paradoksu olarak bilinen şeye yol açar.
Mantıkta sembollerin sadeliği
Mantığın sembolik dili, uzun belirsiz cümlelerin yerine geçer. Kullanışlı, çünkü Rusça'da farklı koşullar hakkında aynı şeyi söyleyebilirsiniz, bu da kafanızı karıştırmayı mümkün kılar ve matematikte semboller her anlamın kimliğinin yerini alacaktır.
- Öncelikle, verimlilik için kısalık önemlidir. Sembolik mantık, işaretler ve adlandırmalar olmadan yapamaz, aksi takdirde gerçek anlam hakkı olmadan yalnızca felsefi olarak kalır.
- İkincisi, semboller mantıksal doğruları görmeyi ve formüle etmeyi kolaylaştırır. 1. ve 2. maddeler, mantıksal formüllerin "cebirsel" manipülasyonunu teşvik eder.
- Üçüncüsü, mantık mantıksal gerçekleri ifade ettiğinde, sembolik formülasyon mantığın yapısını incelemeyi teşvik eder. Bu, önceki noktayla ilgilidir. Böylece sembolik mantık, matematiksel mantık konusunun bir dalı olan mantığın matematiksel çalışmasına uygundur.
- Dördüncüsü, cevabı tekrarlarken, sembollerin kullanılması, sıradan dilin belirsizliğini (örneğin, çoklu anlamları) önlemeye yardımcı olur. Ayrıca anlamın benzersiz olmasını sağlamaya yardımcı olur.
Son olarak, mantığın sembolik dili, Frege tarafından ortaya atılan yüklem hesabı için izin verir. Yıllar geçtikçe, yüklem hesabının sembolik gösterimi iyileştirildi ve matematik ve mantıkta iyi gösterim önemli olduğundan daha verimli hale getirildi.
Aristoteles'in antikite ontolojisi
Bilim adamları yorumlarında Slinin'in yöntemlerini kullanmaya başladıklarında düşünürün çalışmalarıyla ilgilenmeye başladılar. Kitap, klasik ve modal mantık teorilerini sunar. Kavramın önemli bir kısmı, önerme mantığı formülünün sembolik mantığında CNF'ye indirgenmesiydi. Kıs altma, değişkenlerin birleşimi veya ayrılması anlamına gelir.
Slinin Ya. A., formüllerin tekrar tekrar indirgenmesini gerektiren karmaşık olumsuzlamaların bir alt formüle dönüşmesi gerektiğini önerdi. Böylece bazı değerleri daha minimal değerlere dönüştürdü ve sorunları kıs altılmış bir versiyonda çözdü. Olumsuzluklarla çalışmak, de Morgan'ın formüllerine indirgendi. De Morgan'ın adını taşıyan yasalar, ifadeleri ve formülleri alternatif ve genellikle daha uygun olanlara dönüştürmeyi mümkün kılan bir çift ilgili teoremdir. Kanunlar aşağıdaki gibidir:
- Bir ayrımın olumsuzlanması (veya tutarsızlığı), alternatiflerin olumsuzlanmasının birleşimine eşittir – p veya q, p'ye eşit değildir ve q'ya da eşit değildir veya sembolik olarak ~ (p ⊦ q) ≡ ~p ~q.
- Bağlaçların olumsuzlanması, orijinal bağlaçların olumsuzlanmasının ayrılmasına eşittir, yani değil (p ve q), p'ye eşit değildir veya değil q veya sembolik olarak ~ (p q) ≡ ~p ⊦ ~q.
Bu ilk veriler sayesinde birçok matematikçi karmaşık mantıksal problemleri çözmek için formüller uygulamaya başladı. Birçok kişi, fonksiyonların kesişme alanının çalışıldığı bir ders kursu olduğunu bilir. Ve matris yorumu da mantık formüllerine dayanmaktadır. Cebirsel bağlantıda mantığın özü nedir? Bu, sayılar bilimini ve felsefeyi "ruhsuz" ve kârlı olmayan bir muhakeme alanı olarak aynı kaseye koyabileceğiniz zaman doğrusal bir fonksiyondur. E. Kant bir matematikçi ve filozof olarak aksini düşünse de. Aksi ispatlanana kadar felsefenin hiçbir şey olmadığını belirtti. Ve kanıtlar bilimsel olarak sağlam olmalıdır. Ve böylece felsefe sayesinde önem kazanmaya başladı.sayıların ve hesaplamaların gerçek doğasıyla eşleştirme.
Mantığın bilimde uygulanması ve gerçekliğin maddi dünyası
Filozoflar genellikle mantıksal akıl yürütme bilimini sadece bazı hırslı lisans sonrası projelere uygulamazlar (genellikle sosyal bilimlere, psikolojiye veya etik sınıflandırmaya ekleme yapmak gibi yüksek derecede uzmanlaşma ile). Felsefi bilimin gerçeği ve yanlışı hesaplama yöntemini "doğurması" paradoksaldır, ancak filozofların kendileri bunu kullanmazlar. Peki bu kadar net matematiksel kıyaslar kimler için yaratılmış ve dönüştürülmüştür?
- Programcılar ve mühendisler, bilgisayar programlarını ve hatta tasarım panolarını uygulamak için (orijinalinden çok da farklı olmayan) sembolik mantığı kullandılar.
- Bilgisayarlar söz konusu olduğunda, mantık, sayısız işlev çağrısını işlemek, matematiği ilerletmek ve matematik problemlerini çözmek için yeterince karmaşık hale geldi. Çoğu, matematiksel problem çözme ve olasılık bilgisine, mantıksal eleme, uzatma ve indirgenebilirlik kurallarıyla birleştirilmiş bilgilere dayanır.
- Bilgisayar dillerinin matematik bilgisinin sınırları içinde mantıklı çalışması ve hatta özel işlevleri yerine getirmesi kolay anlaşılamaz. Bilgisayar dilinin çoğu muhtemelen patentlidir veya yalnızca bilgisayarlar tarafından anlaşılır. Programcılar artık bilgisayarların mantık görevlerini yapmasına ve çözmesine izin veriyor.
Bu tür önkoşullar sırasında, birçok bilim insanı gelişmiş materyallerin bilim adına değil, bilim için yaratıldığını varsayar.medya ve teknolojinin kullanım kolaylığı. Belki yakında mantık ekonomi, ticaret ve hatta hem atom hem de dalga gibi davranan "iki yüzlü" kuantum alanlarına sızacaktır.
Modern matematiksel analiz uygulamasında kuantum mantığı
Kuantum mantığı (QL), kuantum mekaniğindeki (QM) ilginç olayları tanımlamaya izin verecek bir önerme yapısı oluşturma girişimi olarak geliştirildi. QL, klasik fiziğin söylemine uygun olmasına rağmen atom alemini temsil etmeye yetmeyen boolean yapının yerini aldı.
Klasik sistemlerle ilgili bir önerme dilinin matematiksel yapısı, birleştirme ve ayrılmayı temsil eden bir çift işlemle, kısmen dahil etme kümesi tarafından sıralanan bir kuvvetler kümesidir.
Bu cebir hem klasik hem de göreceli fenomenlerin söylemiyle tutarlıdır, ancak örneğin eşzamanlı doğruluk değerleri vermeyi yasaklayan bir teoriyle bağdaşmaz. QL'nin kurucu babalarının önerisi, klasik mantığın Boole yapısını, birleşme ve ayrılmanın dağıtım özelliklerini zayıflatacak daha zayıf bir yapıyla değiştirmek için oluşturuldu.
Yerleşik sembolik nüfuzun zayıflaması: kesin bir bilim olarak matematikte hakikate gerçekten ihtiyaç var mı
Gelişmesi sırasında, kuantum mantığı yalnızca geleneksel değil, aynı zamanda mekaniği mantıksal bir bakış açısıyla anlamaya çalışan modern araştırmaların çeşitli alanlarına da atıfta bulunmaya başladı. çokluKuantum mekaniği literatüründe tartışılan farklı stratejileri ve sorunları tanıtmak için kuantum yaklaşımları. Mümkün olduğunda, ilgili matematiği edinmeden veya tanıtmadan önce kavramların sezgisel bir şekilde anlaşılmasını sağlamak için gereksiz formüller elimine edilir.
Kuantum mekaniğinin yorumlanmasında çok yıllık bir soru, kuantum mekaniği fenomenleri için temelde klasik açıklamaların mevcut olup olmadığıdır. Kuantum mantığı, bu tartışmayı şekillendirmede ve iyileştirmede büyük bir rol oynamıştır, özellikle klasik açıklama ile ne demek istediğimiz konusunda oldukça kesin olmamızı sağlamıştır. Artık hangi teorilerin güvenilir kabul edilebileceğini ve hangilerinin matematiksel yargıların mantıksal sonucu olduğunu kesin olarak belirlemek mümkündür.
