Matematikte ters fonksiyonlar, birbirine dönüşen karşılıklı karşılık gelen ifadelerdir. Bunun ne anlama geldiğini anlamak için belirli bir örnek düşünmeye değer. Diyelim ki elimizde y=cos(x) var. Argümandan kosinüsü alırsak, y'nin değerini bulabiliriz. Açıkçası, bunun için x'e sahip olmanız gerekir. Ama ya oyuncuya başlangıçta verilirse? İşte meselenin özüne inen yer burasıdır. Problemi çözmek için ters fonksiyonun kullanılması gerekir. Bizim durumumuzda, bu ark kosinüsüdür.
Tüm dönüşümlerden sonra şunu elde ederiz: x=arccos(y).
Yani, verilen bir fonksiyonun tersini bulmak için, sadece ondan bir argüman ifade etmek yeterlidir. Ancak bu yalnızca sonuç tek bir değere sahipse işe yarar (bununla ilgili daha fazla bilgiyi daha sonra anlatacağız).
Genel anlamda, bu gerçek şu şekilde yazılabilir: f(x)=y, g(y)=x.
Tanım
f, alanı X kümesi olan bir fonksiyon olsun vedeğer aralığı Y kümesidir. O zaman, etki alanları zıt görevleri gerçekleştiren g varsa, o zaman f tersinirdir.
Ayrıca, bu durumda g benzersizdir, bu da bu özelliği karşılayan tam olarak bir işlev olduğu anlamına gelir (ne daha fazla, ne daha az). Sonra ters fonksiyon olarak adlandırılır ve yazılı olarak şu şekilde gösterilir: g(x)=f -1(x).
Başka bir deyişle, ikili bir ilişki olarak görülebilirler. Tersine çevrilebilirlik yalnızca kümenin bir öğesi diğerinden bir değere karşılık geldiğinde gerçekleşir.
Her zaman bir ters fonksiyon yoktur. Bunu yapmak için, her y є Y elemanı en fazla bir x є X'e karşılık gelmelidir. O zaman f'ye birebir veya enjeksiyon denir. Eğer f -1 Y'ye aitse, bu kümenin her elemanı bir miktar x ∈ X'e karşılık gelmelidir. Bu özelliğe sahip fonksiyonlara surjections denir. Y'nin bir f görüntüsü olup olmadığı tanım gereği geçerlidir, ancak bu her zaman böyle değildir. Ters olması için, bir fonksiyonun hem enjeksiyon hem de tahmin olması gerekir. Bu tür ifadelere bijeksiyon denir.
Örnek: kare ve kök işlevleri
İşlev [0, ∞) üzerinde tanımlanır ve f (x)=x2 formülüyle verilir.
Öyleyse, dolaylı değildir, çünkü her olası Y sonucu (0 hariç) iki farklı X'e karşılık gelir - biri pozitif diğeri negatif, bu nedenle tersine çevrilemez. Bu durumda, alınan verilerle çelişen ilk verileri elde etmek imkansız olacaktır.teoriler. Enjektif olmayacak.
Tanım alanı koşullu olarak negatif olmayan değerlerle sınırlıysa, her şey eskisi gibi çalışır. O zaman bijective ve dolayısıyla tersine çevrilebilir. Buradaki ters fonksiyona pozitif denir.
Girişle ilgili not
F -1 (x) atamasının bir kişinin kafasını karıştırmasına izin verin, ancak hiçbir durumda şu şekilde kullanılmamalıdır: (f (x)) - 1 . Tamamen farklı bir matematiksel kavrama atıfta bulunur ve ters fonksiyonla ilgisi yoktur.
Genel bir kural olarak, bazı yazarlar sin-1 (x) gibi ifadeler kullanırlar.
Ancak, diğer matematikçiler bunun kafa karışıklığına neden olabileceğine inanıyor. Bu tür zorluklardan kaçınmak için, ters trigonometrik fonksiyonlar genellikle "yay" (Latin yayından) öneki ile gösterilir. Bizim durumumuzda, arksinüs hakkında konuşuyoruz. Diğer bazı işlevler için ara sıra "ar" veya "inv" önekini de görebilirsiniz.
