Okulda bile, tüm öğrenciler ana hükümleri nokta, düzlem, çizgi, hareket gibi geometrik öğelere dayanan birkaç aksiyom etrafında odaklanan "Öklid geometrisi" kavramıyla tanışırlar. Bunların hepsi birlikte uzun zamandır "Öklid uzayı" terimi altında bilinen şeyi oluşturur.
Tanımı vektörlerin skaler çarpımı kavramına dayanan Öklid uzayı, bir dizi gereksinimi karşılayan bir lineer (affine) uzayın özel bir halidir. İlk olarak, vektörlerin skaler çarpımı kesinlikle simetriktir, yani (x;y) koordinatlarına sahip vektör, (y;x) koordinatlarına sahip vektörle nicel olarak aynıdır, ancak yönü zıttır.
İkinci olarak, bir vektörün kendisiyle skaler çarpımı yapılırsa, bu işlemin sonucu pozitif olacaktır. Tek istisna, bu vektörün ilk ve son koordinatlarının sıfıra eşit olduğu durum olacaktır: bu durumda, kendisi ile çarpımı da sıfıra eşit olacaktır.
Üçüncü olarak, skaler çarpım dağıtıcıdır, yani koordinatlarından birini, vektörlerin skaler çarpımının nihai sonucunda herhangi bir değişiklik gerektirmeyen iki değerin toplamına ayrıştırmak mümkündür. Son olarak, dördüncüsü, vektörler aynı gerçek sayı ile çarpıldığında, skaler çarpımı da aynı faktör kadar artacaktır.
Eğer bu dört koşulun tümü karşılanırsa, bir Öklid uzayına sahip olduğumuzu güvenle söyleyebiliriz.
Pratik bir bakış açısından Öklid uzayı aşağıdaki özel örneklerle karakterize edilebilir:
- En basit durum, geometrinin temel yasalarına göre tanımlanmış bir skaler çarpımı olan bir vektör kümesinin varlığıdır.
- Öklid uzayı, vektörlerle, skaler toplamını veya çarpımını açıklayan belirli bir formüle sahip belirli bir sonlu gerçek sayılar kümesini kastediyorsak da elde edilecektir.
- Öklid uzayının özel bir durumu, her iki vektörün de skaler uzunluğunun sıfıra eşit olması durumunda elde edilen sözde sıfır uzayıdır.
Öklid uzayının bir takım belirli özellikleri vardır. İlk olarak, skaler çarpımın hem birinci hem de ikinci çarpanından skaler çarpanı parantezlerin dışına alınabilir, bundan çıkan sonuç hiçbir şekilde değişmeyecektir. İkincisi, skalerin ilk elemanının dağılabilirliği ile birlikteürün, ikinci elemanın dağılımı da etkilidir. Ek olarak, vektörlerin skaler toplamına ek olarak, vektör çıkarma durumunda dağılım da gerçekleşir. Son olarak, üçüncü olarak, bir vektör sıfırla skaler olarak çarpıldığında sonuç da sıfır olacaktır.
Dolayısıyla, Öklid uzayı, skaler ürün gibi bir kavramla karakterize edilen, vektörlerin birbirine göre karşılıklı düzenlenmesiyle ilgili problemlerin çözümünde kullanılan en önemli geometrik kavramdır.
