Matematiksel analizin temel bölümlerinden biri integral hesabıdır. İlkinin belirsiz integral olduğu en geniş nesne alanını kapsar. Bunu, lisede bile yüksek matematiğin tanımladığı artan sayıda bakış açısı ve fırsatı ortaya çıkaran bir anahtar olarak konumlandırmaya değer.
Görünüm
İlk bakışta, integral son derece modern ve alakalı görünüyor, ancak pratikte MÖ 1800 gibi erken bir tarihte ortaya çıktığı ortaya çıkıyor. Mısır resmi olarak anavatan olarak kabul edilir, çünkü varlığına dair daha önceki kanıtlar bize ulaşmamıştır. Bilgi eksikliği nedeniyle, tüm bu zaman boyunca sadece bir fenomen olarak konumlandı. O zamanların halkları arasında bilimin gelişme düzeyini bir kez daha doğruladı. Son olarak, antik Yunan matematikçilerinin MÖ 4. yüzyıla kadar uzanan eserleri bulundu. Özü eğrisel bir figürün hacmini veya alanını bulmak olan belirsiz bir integralin kullanıldığı bir yöntemi tanımladılar (üç boyutluve sırasıyla iki boyutlu düzlemler). Hesaplama ilkesi, hacimlerinin (alanlarının) zaten bilinmesi koşuluyla, orijinal şekli sonsuz küçük bileşenlere bölmeye dayanıyordu. Zamanla, yöntem büyüdü, Arşimet bunu bir parabolün alanını bulmak için kullandı. Benzer hesaplamalar aynı zamanda antik Çin'deki bilim adamları tarafından da yapıldı ve bilimdeki Yunan meslektaşlarından tamamen bağımsızdılar.
Geliştirme
MS 11. yüzyıldaki bir sonraki atılım, toplamları hesaplamak için integrale dayalı formüller türeten, zaten bilinenlerin sınırlarını zorlayan Arap bilim adamı "evrensel" Ebu Ali el-Basri'nin çalışmasıydı. satırlar ve birinciden dördüncüye güçlerin toplamları, bunun için bildiğimiz matematiksel tümevarım yöntemini uygular.
Modern zamanların zihinleri, eski Mısırlıların, belki de elleri dışında herhangi bir özel cihaz olmadan nasıl harika mimari anıtlar yarattığına hayran kalıyor, ancak o zamanın bilim adamlarının zihninin gücü de daha az bir mucize değil mi? Günümüze kıyasla, ömürleri neredeyse ilkel görünüyor, ancak belirsiz integrallerin çözümü her yerde türetildi ve pratikte daha fazla gelişme için kullanıldı.
Bir sonraki adım, İtalyan matematikçi Cavalieri'nin Pierre Fermat tarafından ele geçirilen bölünmezler yöntemini geliştirdiği 16. yüzyılda gerçekleşti. Şu anda bilinen modern integral hesabının temelini atan bu iki kişilikti. Daha önce var olan farklılaşma ve entegrasyon kavramlarını birbirine bağladılar.özerk birimler olarak kabul edilir. Genel olarak, o zamanların matematiği parçalandı, sonuçların parçacıkları sınırlı bir kapsama sahip olarak kendi başlarına var oldular. Birleştirme ve ortak bir zemin arayışı yolu, modern matematiksel analizin büyüme ve gelişme fırsatı bulması sayesinde o zamanlar tek doğru yoldu.
Entegral gösterimi de dahil olmak üzere her şey zamanla değişti. Genel olarak, bilim adamları bunu kesinlikle belirttiler, örneğin Newton, integrallenebilir bir işlev yerleştirdiği veya basitçe yanına koyduğu kare bir simge kullandı.
Bu tutarsızlık, tüm matematiksel analiz teorisi için bir dönüm noktası olan bilim adamı Gottfried Leibniz'in bize çok tanıdık olan sembolü tanıttığı 17. yüzyıla kadar devam etti. Uzatılmış "S", ters türevlerin toplamını ifade ettiği için gerçekten de Latin alfabesinin bu harfine dayanmaktadır. İntegral adını 15 yıl sonra Jacob Bernoulli sayesinde aldı.
Resmi tanım
Belirsiz integral doğrudan terstürevin tanımına bağlıdır, o yüzden önce onu ele alalım.
Ters türev, türevin tersi olan bir fonksiyondur, pratikte ilkel olarak da adlandırılır. Aksi takdirde: bir d fonksiyonunun ters türevi, türevi v V'=v'ye eşit olan bir D fonksiyonudur. Ters türev arayışı belirsiz integralin hesaplanmasıdır ve bu işlemin kendisine integrasyon denir.
Örnek:
Function s(y)=y3 ve bunun ters türevi S(y)=(y4/4).
İncelenen fonksiyonun tüm ters türevlerinin kümesi belirsiz integraldir, şu şekilde gösterilir: ∫v(x)dx.
V(x)'in orijinal fonksiyonun sadece bir antitürevi olması nedeniyle, ifade şu şekilde gerçekleşir: ∫v(x)dx=V(x) + C, burada C bir sabittir. Rasgele bir sabit, türevi sıfıra eşit olduğu için herhangi bir sabittir.
Özellikler
Belirsiz integralin sahip olduğu özellikler, türevlerin ana tanımına ve özelliklerine dayanmaktadır.
Önemli noktalara bakalım:
- terstürevin türevinin integrali, terstürevin kendisi artı keyfi bir sabit С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- fonksiyon integralinin türevi orijinal fonksiyondur (∫v(x)dx)'=v(x);
- sabit, ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx integral işaretinin altından alınır, burada k isteğe bağlıdır;
- toplamdan alınan integral aynı şekilde ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy integrallerinin toplamına eşittir.
Son iki özellikten belirsiz integralin lineer olduğu sonucuna varabiliriz. Bunun sayesinde elimizde: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
Birleştirmek için belirsiz integralleri çözme örneklerini düşünün.
∫(3sinx + 4cosx)dx integralini bulmak gerekiyor:
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C
Örnekten şu sonuca varabiliriz:belirsiz integralleri nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz? Sadece tüm ilkelleri bulun! Ancak aramanın ilkeleri aşağıda ele alınacaktır.
Yöntemler ve örnekler
Entegrali çözmek için aşağıdaki yöntemlere başvurabilirsiniz:
- hazırlanan tabloyu kullanın;
- parçalara göre entegre edin;
- değişkeni değiştirerek entegre edin;
- diferansiyel işaretinin altına getirmek.
Tablolar
En kolay ve en keyifli yol. Şu anda, matematiksel analiz, belirsiz integrallerin temel formüllerinin yazıldığı oldukça kapsamlı tablolara sahiptir. Yani sizden önce geliştirilmiş şablonlar var ve sizin için sadece onları kullanmak kalıyor. Çözümü olan hemen hemen her örneği çıkarabileceğiniz ana tablo konumlarının bir listesi:
- ∫0dy=C, burada C bir sabittir;
- ∫dy=y + C, burada C bir sabittir;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, burada C bir sabittir ve n - tek olmayan sayı;
- ∫(1/y)dy=ln|y| + C, burada C bir sabittir;
- ∫eydy=ey + C, burada C bir sabittir;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, burada C bir sabittir;
- ∫cosydy=siny + C, burada C bir sabittir;
- ∫sinydy=-rahat + C, burada C bir sabittir;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, burada C bir sabittir;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, burada C bir sabittir;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, burada C bir sabittir;
- ∫chydy=utangaç + C, burada C -sabit;
- ∫shydy=chy + C, burada C bir sabittir.
Gerekirse birkaç adım atın, integrali tablo haline getirin ve zaferin tadını çıkarın. Örnek: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
Çözüme göre, tablo örneği için, integralin 5 çarpanından yoksun olduğu açıktır. Genel ifadenin değişmemesi için paralel olarak 1/5 ile çarparak toplarız.
Parçalarla entegrasyon
İki işlevi göz önünde bulundurun - z(y) ve x(y). Tüm tanım alanı boyunca sürekli olarak türevlenebilir olmalıdırlar. Farklılaşma özelliklerinden birine göre, elimizde: d(xz)=xdz + zdx. Denklemin her iki bölümünü de entegre ederek şunu elde ederiz: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
Sonuçtaki eşitliği yeniden yazarak, integral alma yöntemini parçalara göre açıklayan bir formül elde ederiz: ∫zdx=zx - ∫xdz.
Neden gerekli? Mesele şu ki, bazı örnekler basitleştirilebilir, koşullu olarak konuşursak, ikincisi tablo biçimine yakınsa ∫zdx'i ∫xdz'ye indirger. Ayrıca, bu formül bir kereden fazla uygulanarak optimal sonuçlar elde edilebilir.
Belirsiz integraller bu şekilde nasıl çözülür:
hesaplama ihtiyacı ∫(s + 1)e2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
∫lnsds hesaplamanız gerekiyor
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Değişken ikame
Belirsiz integralleri çözme ilkesi, daha karmaşık olmasına rağmen önceki ikisinden daha az talep görüyor. Yöntem şu şekildedir: V(x), bir v(x) fonksiyonunun integrali olsun. Örnekteki integralin kendisinin karmaşık olması durumunda, kafanın karışması ve yanlış çözüm yoluna gitme olasılığı yüksektir. Bunu önlemek için, x değişkeninden z'ye geçiş uygulanır, burada genel ifade görsel olarak basitleştirilirken z'nin x'e bağımlılığı korunur.
Matematiksel olarak şöyle görünür: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), burada x=y(z) bir ikamedir. Ve elbette, ters fonksiyon z=y-1(x) değişkenlerin bağımlılığını ve ilişkisini tam olarak tanımlar. Önemli not - belirsiz integralde bir değişkenin değiştirilmesi, onun sadece integralde değil, her yerde değiştirilmesini gerektirdiğinden, diferansiyel dx'in yerini mutlaka yeni bir diferansiyel dz alır.
Örnek:
bulması gereken ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds
İkame z=(s+1)/(s2+2s-5) uygulayın. Sonra dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. Sonuç olarak, hesaplanması çok kolay olan aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
entegrali bulmamız gerekiyor∫2sesdx
Çözmek için ifadeyi aşağıdaki biçimde yeniden yazıyoruz:
∫2sesds=∫(2e)sds.
a=2e ile ifade edin (bu adım argümanın yerine geçmez, hala s'dir), görünüşte karmaşık olan integralimizi basit bir tablo biçimine getiriyoruz:
∫(2e)sds=∫asds=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Diferansiyel işareti altına getirme
Genel olarak, bu belirsiz integral yöntemi, değişken değişim ilkesinin ikiz kardeşidir, ancak tasarım sürecinde farklılıklar vardır. Daha yakından bakalım.
Eğer ∫v(x)dx=V(x) + C ve y=z(x) ise, o zaman ∫v(y)dy=V(y) + C.
Bu durumda, aşağıdakiler gibi önemsiz integral dönüşümleri unutulmamalıdır:
- dx=d(x + a), burada a herhangi bir sabittir;
- dx=(1 / a)d(ax + b), burada a yine bir sabittir, ancak sıfıra eşit değildir;
- xdx=1/2d(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
Belirsiz integrali hesaplarken genel durumu ele alırsak, örnekler w'(x)dx=dw(x) genel formülü altında toplanabilir.
Örnekler:
bulma ihtiyacı ∫(2s + 3)2ds, ds=1/2d(2s + 3)
∫(2s + 3)2ds=1/2∫(2s + 3)2d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)2 + C;
∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
Çevrimiçi Yardım
Hatası tembellik veya acil ihtiyaç olabilecek bazı durumlarda, çevrimiçi ipuçlarını kullanabilir veya daha doğrusu belirsiz integral hesaplayıcıyı kullanabilirsiniz. İntegrallerin tüm görünür karmaşıklığına ve tartışılabilirliğine rağmen, çözümleri "eğer değilse …, o zaman …" ilkesine dayanan belirli bir algoritmaya tabidir.
Tabii ki, böyle bir hesap makinesi özellikle karmaşık örneklerde ustalaşmayacaktır, çünkü çözümün yapay olarak, süreçte belirli unsurları "zorla" tanıtarak bulunması gereken durumlar vardır, çünkü sonuç açık bir şekilde elde edilemez. yollar. Bu ifadenin tüm tartışmalarına rağmen, doğrudur, çünkü matematik prensipte soyut bir bilimdir ve olasılıkların sınırlarını genişletme ihtiyacını birincil görevi olarak görür. Aslında, pürüzsüz, alıştırma teorilerine göre ilerlemek ve gelişmek son derece zordur, bu yüzden verdiğimiz belirsiz integralleri çözme örneklerinin olasılıkların yüksekliği olduğunu varsaymamalısınız. Ama işin teknik tarafına geri dönelim. En azından hesaplamaları kontrol etmek için bizden önce her şeyin yazıldığı hizmetleri kullanabilirsiniz. Karmaşık bir ifadenin otomatik olarak hesaplanmasına ihtiyaç varsa, onlardan vazgeçilemez, daha ciddi yazılımlara başvurmanız gerekecektir. Öncelikle MatLab ortamına dikkat etmekte fayda var.
Uygulama
Belirsiz integrallerin çözümü ilk bakışta gerçeklikten tamamen kopuk görünüyor, çünkü bariz uygulama alanlarını görmek zor. Aslında, doğrudan hiçbir yerde kullanılamazlar, ancak pratikte kullanılan çözümlerin türetilmesi sürecinde gerekli bir ara unsur olarak kabul edilirler. Dolayısıyla entegrasyon, denklem çözme sürecine aktif olarak katıldığı için farklılaşmanın tersidir.
Sırasıyla, bu denklemler mekanik problemlerin çözümünde, yörüngelerin hesaplanmasında ve termal iletkenlik üzerinde - kısacası bugünü oluşturan ve geleceği şekillendiren her şey üzerinde doğrudan bir etkiye sahiptir. Yukarıda örneklerini incelediğimiz belirsiz integral, yalnızca ilk bakışta önemsizdir, çünkü giderek daha fazla yeni keşif yapmanın temelidir.
