Silindir, okul geometri dersinde (kesit katı geometri) üzerinde çalışılan basit üç boyutlu şekillerden biridir. Bu durumda, genellikle bir silindirin hacmini ve kütlesini hesaplamanın yanı sıra yüzey alanını belirlemede sorunlar ortaya çıkar. İşaretli soruların cevapları bu yazıda verilmiştir.
Silindir nedir?
Silindirin kütlesi ve hacmi nedir sorusunun cevabına geçmeden önce bu uzamsal figürün ne olduğunu düşünmekte fayda var. Hemen belirtmek gerekir ki, silindir üç boyutlu bir nesnedir. Yani, uzayda, bir Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemindeki eksenlerin her biri boyunca üç parametresini ölçebilirsiniz. Aslında, bir silindirin boyutlarını açık bir şekilde belirlemek için sadece iki parametresini bilmek yeterlidir.
Silindir, iki daire ve silindirik bir yüzeyden oluşan üç boyutlu bir şekildir. Bu nesneyi daha açık bir şekilde temsil etmek için, bir dikdörtgen almak ve onu dönme ekseni olacak olan herhangi bir kenarı etrafında döndürmeye başlamak yeterlidir. Bu durumda, dönen dikdörtgen şekli tanımlayacaktır.döndürme - silindir.
İki yuvarlak yüzeye silindirin tabanı denir, belirli bir yarıçap ile karakterize edilirler. Bazlar arasındaki mesafeye yükseklik denir. İki taban, silindirik bir yüzeyle birbirine bağlanır. Her iki çemberin merkezinden geçen doğruya silindirin ekseni denir.
Hacim ve yüzey alanı
Yukarıdan da görebileceğiniz gibi, silindir iki parametreyle tanımlanır: h yüksekliği ve r tabanının yarıçapı. Bu parametreleri bilerek, dikkate alınan vücudun diğer tüm özelliklerini hesaplamak mümkündür. Başlıcaları aşağıdadır:
- Üslerin alanı. Bu değer şu formülle hesaplanır: S1=2pir2, burada pi pi eşittir 3, 14. Basamak 2 formülde görünür çünkü silindir iki özdeş tabana sahiptir.
- Silindirik yüzey alanı. Şu şekilde hesaplanabilir: S2=2pirh. Bu formülü anlamak kolaydır: silindirik bir yüzey bir tabandan diğerine dikey olarak kesilir ve genişletilirse, yüksekliği silindirin yüksekliğine eşit olacak ve genişliği aşağıdakilere karşılık gelecek bir dikdörtgen elde edilecektir. üç boyutlu şeklin tabanının çevresi. Ortaya çıkan dikdörtgenin alanı, h ve 2pir'ye eşit olan kenarlarının çarpımı olduğundan yukarıdaki formül elde edilir.
- Silindir yüzey alanı. S1 ve S2 alanlarının toplamına eşittir, şunu elde ederiz: S3=S 1 + S2=2pir2 + 2pir h=2pi r(r+h).
- Hacim. Bu değeri bulmak kolaydır, sadece bir tabanın alanını şeklin yüksekliği ile çarpmanız yeterlidir: V=(S1/2)h=pir 2 h.
Silindirin kütlesini belirleme
Son olarak, doğrudan makalenin konusuna gitmeye değer. Bir silindirin kütlesi nasıl belirlenir? Bunu yapmak için, hacmini, yukarıda sunulan hesaplama formülünü bilmeniz gerekir. Ve içerdiği maddenin yoğunluğu. Kütle basit bir formülle belirlenir: m=ρV, burada ρ, söz konusu nesneyi oluşturan malzemenin yoğunluğudur.
Yoğunluk kavramı, uzayın birim hacmindeki bir maddenin kütlesini karakterize eder. Örneğin. Demirin ahşaptan daha yüksek bir yoğunluğa sahip olduğu bilinmektedir. Bu, eşit hacimlerde demir ve ahşap madde olması durumunda, birincisinin ikincisinden çok daha büyük bir kütleye sahip olacağı anlamına gelir (yaklaşık 16 kat).
Bakır silindirin kütlesini hesaplama
Basit bir problem düşünün. Bakırdan yapılmış bir silindirin kütlesini bulmak gerekir. Kesinlik için, silindirin çapı 20 cm ve yüksekliği 10 cm olsun.
Problemi çözmeye başlamadan önce kaynak verilerle ilgilenmelisiniz. Silindirin yarıçapı çapının yarısına eşittir, yani r=20/2=10 cm, yüksekliği ise h=10 cm'dir. Problemde ele alınan silindir bakırdan yapıldığından, referans verileri, bu malzemenin yoğunluk değerini yazıyoruz: ρ=8, 96 g/cm3 (20 °C sıcaklık için).
Artık sorunu çözmeye başlayabilirsiniz. Önce hacmi hesaplayalım: V=pir2h=3, 14(10)210=3140 cm3. O zaman silindirin kütlesi: m=ρV=8,963140=28134 gram veya yaklaşık 28 kilogram olacaktır.
İlgili formüllerde kullanımları sırasında birimlerin boyutlarına dikkat etmelisiniz. Yani problemde tüm parametreler santimetre ve gram olarak sunuldu.
Homojen ve içi boş silindirler
Yukarıda elde edilen sonuçtan, nispeten küçük boyutlu (10 cm) bir bakır silindirin büyük bir kütleye (28 kg) sahip olduğu görülebilir. Bu sadece ağır malzemeden yapılmış olmasından değil, homojen olmasından da kaynaklanmaktadır. Bu gerçeği anlamak önemlidir, çünkü kütleyi hesaplamak için yukarıdaki formül ancak silindir tamamen (dış ve iç) aynı malzemeden yapılmışsa, yani homojen ise kullanılabilir.
Uygulamada, genellikle içi boş silindirler kullanılır (örneğin, su için silindirik variller). Yani, bir tür malzemeden ince tabakalardan yapılmışlardır, ancak içleri boştur. İçi boş bir silindir için, kütleyi hesaplamak için belirtilen formül kullanılamaz.
İçi boş bir silindirin kütlesini hesaplama
İçeri boş bir bakır silindirin kütlesinin ne olacağını hesaplamak ilginçtir. Örneğin sadece d=2 mm kalınlığında ince bir bakır levhadan yapılsın.
Bu sorunu çözmek için, nesnenin yapıldığı bakırın hacmini bulmanız gerekir. Silindirin hacmi değil. çünkü kalınlıklevha, silindirin boyutlarına göre küçüktür (d=2 mm ve r=10 cm), daha sonra nesnenin yapıldığı bakırın hacmi, silindirin tüm yüzey alanı ile çarpılarak bulunabilir. bakır levhanın kalınlığını elde ederiz: V=dS 3=d2pir(r+h). Önceki problemdeki verileri değiştirerek şunu elde ederiz: V=0.223, 1410(10+10)=251.2 cm3. İçi boş bir silindirin kütlesi, üretimi için gerekli olan elde edilen bakır hacminin bakır yoğunluğu ile çarpılmasıyla elde edilebilir: m \u003d 251.28.96 \u003d 2251 g veya 2.3 kg. Yani, düşünülen içi boş silindir homojen olandan 12 (28, 1/2, 3) kat daha hafiftir.
