Hesap, türevi, diferansiyelleri ve bunların bir fonksiyon çalışmasındaki kullanımlarını inceleyen bir kalkülüs dalıdır.
Görünüş Tarihi
Diferansiyel hesap, 17. yüzyılın ikinci yarısında, diferansiyeller hesabındaki temel hükümleri formüle eden ve entegrasyon ile farklılaşma arasındaki bağlantıyı fark eden Newton ve Leibniz'in çalışmaları sayesinde bağımsız bir disiplin olarak ortaya çıktı. O andan itibaren disiplin, integraller hesabı ile birlikte gelişti ve böylece matematiksel analizin temelini oluşturdu. Bu kalkülüslerin ortaya çıkışı matematik dünyasında yeni bir modern dönem açmış ve bilimde yeni disiplinlerin ortaya çıkmasına neden olmuştur. Aynı zamanda matematik bilimini doğa bilimleri ve teknolojide uygulama olasılığını da genişletti.
Temel kavramlar
Diferansiyel hesap, matematiğin temel kavramlarına dayanır. Bunlar: reel sayı, süreklilik, fonksiyon ve limittir. İntegral ve diferansiyel hesap sayesinde zamanla modern bir görünüm kazandılar.
Oluşturma süreci
Diferansiyel hesabın uygulamalı ve daha sonra bilimsel bir yöntem şeklinde oluşması, Nicholas of Cusa tarafından oluşturulan bir felsefi teorinin ortaya çıkmasından önce gerçekleşti. Eserleri, antik bilimin yargılarından evrimsel bir gelişme olarak kabul edilir. Filozofun kendisi bir matematikçi olmamasına rağmen, matematik biliminin gelişimine katkısı yadsınamaz. Kuzansky, o zamanın matematiğini şüpheye düşürerek, aritmetiği en doğru bilim alanı olarak görmekten ilk uzaklaşanlardan biriydi.
Eski matematikçiler, birimi evrensel bir ölçüt olarak kullanırken, filozof kesin sayı yerine yeni bir ölçü olarak sonsuzluğu önerdi. Bu bağlamda, matematik biliminde kesinliğin temsili tersine çevrilir. Ona göre bilimsel bilgi, rasyonel ve entelektüel olarak ikiye ayrılır. Bilim adamına göre ikincisi daha doğrudur, çünkü ilki yalnızca yaklaşık bir sonuç verir.
Fikir
Diferansiyel hesaptaki ana fikir ve kavram, belirli noktaların küçük komşuluklarındaki bir fonksiyonla ilgilidir. Bunu yapmak için, yerleşik noktaların küçük bir mahallesindeki davranışı bir polinomun veya doğrusal bir fonksiyonun davranışına yakın olan bir fonksiyonu incelemek için matematiksel bir aparat oluşturmak gerekir. Bu, türev ve diferansiyelin tanımına dayanmaktadır.
Türev kavramının ortaya çıkışına doğa bilimleri ve matematikten gelen çok sayıda problem neden oldu.bu da aynı türden limitlerin değerlerinin bulunmasına yol açtı.
Liseden başlayarak örnek olarak verilen temel problemlerden biri düz bir doğru boyunca hareket eden bir noktanın hızını belirlemek ve bu eğriye teğet bir doğru oluşturmaktır. Diferansiyel bununla ilgilidir, çünkü doğrusal fonksiyonun dikkate alınan noktasının küçük bir komşuluğunda fonksiyona yaklaşmak mümkündür.
Gerçek bir değişkenin bir fonksiyonunun türevi kavramıyla karşılaştırıldığında, diferansiyellerin tanımı basitçe genel nitelikte bir fonksiyona, özellikle de bir Öklid uzayının diğeri üzerindeki görüntüsüne geçer.
Türev
Noktanın, anın belirli bir başlangıcından itibaren sayılan x'i aldığımız süre için Oy ekseni yönünde hareket etmesine izin verin. Böyle bir hareket, hareket ettirilen noktanın koordinatının her x momentine atanan y=f(x) fonksiyonu ile tanımlanabilir. Mekanikte bu fonksiyona hareket kanunu denir. Hareketin, özellikle düzensizliğin ana özelliği, anlık hızdır. Bir nokta, mekanik yasasına göre Oy ekseni boyunca hareket ettiğinde, rastgele bir x anında, f (x) koordinatını alır. Δx'in zamanın artışını gösterdiği x + Δx zaman anında, koordinatı f(x + Δx) olacaktır. Fonksiyonun artışı olarak adlandırılan Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) formülü bu şekilde oluşturulur. Zaman içindeki noktanın x'ten x + Δx'e kat ettiği yolu temsil eder.
Bunun ortaya çıkması nedeniylezamandaki hız, türev tanıtıldı. Rastgele bir fonksiyonda, sabit bir noktadaki türev (var olduğu varsayılarak) limit olarak adlandırılır. Belirli sembollerle belirtilebilir:
f’(x), y’, ı, df/dx, dy/dx, Df(x).
Türevi hesaplama işlemine türev alma denir.
Birkaç değişkenli bir fonksiyonun diferansiyel hesabı
Bu hesap yöntemi, birkaç değişkenli bir fonksiyon incelenirken kullanılır. İki değişken x ve y varlığında, A noktasında x'e göre kısmi türev, bu fonksiyonun sabit y ile x'e göre türevi olarak adlandırılır.
Şu karakterlerle temsil edilebilir:
f’(x)(x, y), u’(x), ∂u/∂x veya ∂f(x, y)’/∂x.
Gerekli Beceriler
Başarılı bir şekilde çalışmak ve yayılmaları çözebilmek için entegrasyon ve farklılaşma becerileri gereklidir. Diferansiyel denklemleri anlamayı kolaylaştırmak için türev ve belirsiz integral konusunu iyi anlamalısınız. Ayrıca, örtük olarak verilen bir fonksiyonun türevinin nasıl bulunacağını öğrenmek de zarar vermez. Bunun nedeni, integral ve türev alma sürecinde sıklıkla kullanılması gerekeceği gerçeğidir.
Diferansiyel denklem türleri
Birinci mertebeden diferansiyel denklemlerle ilgili hemen hemen tüm test kağıtlarında 3 tür denklem vardır: homojen, ayrılabilir değişkenli, doğrusal homojen olmayan.
Ayrıca daha nadir denklem çeşitleri de vardır: toplam diferansiyelli, Bernoulli denklemleri ve diğerleri.
Kararla ilgili temel bilgiler
Önce, okul dersinden cebirsel denklemleri hatırlamalısın. Değişkenler ve sayılar içerirler. Sıradan bir denklemi çözmek için, belirli bir koşulu sağlayan bir dizi sayı bulmanız gerekir. Kural olarak, bu tür denklemlerin bir kökü vardı ve doğruluğu kontrol etmek için yalnızca bu değeri bilinmeyenle değiştirmek gerekiyordu.
Diferansiyel denklem buna benzer. Genel olarak, böyle bir birinci dereceden denklem şunları içerir:
- Bağımsız değişken.
- İlk fonksiyonun türevi.
- Bir işlev veya bağımlı değişken.
Bazı durumlarda, x veya y bilinmeyenlerinden biri eksik olabilir, ancak bu o kadar önemli değildir, çünkü birinci türevin varlığı, daha yüksek mertebeden türevler olmadan, çözüm ve diferansiyel için gereklidir. hesaplamanın doğru olması.
Bir diferansiyel denklemi çözmek, verilen ifadeyle eşleşen tüm fonksiyonların kümesini bulmak demektir. Böyle bir fonksiyon kümesine genellikle DE'nin genel çözümü denir.
İntegral hesap
İntegral hesabı, integral kavramını, özelliklerini ve hesaplama yöntemlerini inceleyen matematiksel analiz bölümlerinden biridir.
Genellikle, integralin hesaplanması, eğrisel bir şeklin alanı hesaplanırken gerçekleşir. Bu alan, belirli bir şekilde yazılı bir çokgenin alanının, yan tarafında kademeli bir artışla eğilim gösterdiği sınır anlamına gelirken, bu kenarlar daha önce belirtilen herhangi bir keyfi değerden daha az yapılabilir.küçük değer.
Rastgele bir geometrik şeklin alanını hesaplamadaki ana fikir, bir dikdörtgenin alanını hesaplamak, yani alanının uzunluk ve genişliğin ürününe eşit olduğunu kanıtlamaktır. Geometri söz konusu olduğunda, tüm yapılar bir cetvel ve bir pergel kullanılarak yapılır ve daha sonra uzunluğun genişliğe oranı rasyonel bir değerdir. Bir dik üçgenin alanını hesaplarken, aynı üçgeni yanına koyarsanız bir dikdörtgenin oluştuğunu belirleyebilirsiniz. Paralelkenarda alan, benzer, ancak biraz daha karmaşık bir yöntemle, bir dikdörtgen ve bir üçgen aracılığıyla hesaplanır. Çokgenlerde alan, içerdiği üçgenler aracılığıyla hesaplanır.
Rastgele bir eğrinin korunmasını belirlerken bu yöntem çalışmayacaktır. Tek karelere bölerseniz, doldurulmamış yerler olacaktır. Bu durumda, üstte ve altta dikdörtgenler olan iki kapak kullanılmaya çalışılır, sonuç olarak bunlar fonksiyonun grafiğini içerir ve içermez. Bu dikdörtgenlere bölme yöntemi burada önemini korumaktadır. Ayrıca, giderek daha küçük bölümler alırsak, o zaman yukarıdaki ve alttaki alan belirli bir değerde birleşmelidir.
Dikdörtgenlere bölme yöntemine geri dönmelidir. İki popüler yöntem vardır.
Riemann, Leibniz ve Newton tarafından oluşturulan integralin tanımını bir alt grafiğin alanı olarak resmileştirdi. Bu durumda, belirli sayıda dikey dikdörtgenden oluşan ve bölünerek elde edilen rakamlar düşünülmüştür.segment. Bölme azaldıkça, benzer bir şeklin alanının azaldığı bir sınır olduğunda, bu sınıra belirli bir aralıktaki bir fonksiyonun Riemann integrali denir.
İkinci yöntem, tanımlanan alanın integralin bölümlerine bölünmesi ve daha sonra bu bölümlerde elde edilen değerlerden integral toplamının derlenmesi gerçeğinden oluşan Lebesgue integralinin inşasıdır., değer aralığı aralıklara bölünür ve daha sonra bu integrallerin karşılık gelen ön görüntü ölçüleriyle toplanır.
Modern avantajlar
Diferansiyel ve integral hesabının incelenmesine yönelik ana kılavuzlardan biri Fikhtengolts tarafından yazılmıştır - "Diferansiyel ve integral hesabın kursu". Ders kitabı, birçok basımdan ve diğer dillere çevirilerden geçen matematiksel analiz çalışmaları için temel bir rehberdir. Üniversite öğrencileri için yaratılmıştır ve uzun süredir birçok eğitim kurumunda ana çalışma yardımcılarından biri olarak kullanılmaktadır. Teorik veriler ve pratik beceriler kazandırır. İlk kez 1948'de yayınlandı.
Fonksiyon araştırma algoritması
Diferansiyel hesap yöntemlerini kullanarak bir fonksiyonu araştırmak için, önceden verilen algoritmayı izlemelisiniz:
- Bir işlevin kapsamını bulun.
- Verilen denklemin köklerini bulun.
- Aşırıları hesaplayın. Bunu yapmak için türevi ve sıfıra eşit olduğu noktaları hesaplayın.
- Sonuçtaki değeri denklemde yerine koyun.
Diferansiyel denklem çeşitleri
birinci dereceden kontrol (aksi takdirde, diferansiyeltek değişkenli hesap) ve türleri:
- Ayrılabilir denklem: f(y)dy=g(x)dx.
- Tek değişkenli bir fonksiyonun en basit denklemleri veya diferansiyel hesabı, şu formüle sahiptir: y'=f(x).
- Doğrusal homojen olmayan birinci dereceden DE: y'+P(x)y=Q(x).
- Bernoulli diferansiyel denklemi: y'+P(x)y=Q(x)ya.
- Toplam diferansiyelli denklem: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.
İkinci dereceden diferansiyel denklemler ve türleri:
- Sabit katsayılı lineer ikinci mertebeden homojen diferansiyel denklem: y +py'+qy=0 p, q R'ye aittir.
- Sabit katsayılı doğrusal homojen olmayan ikinci mertebeden diferansiyel denklem: y +py'+qy=f(x).
- Lineer homojen diferansiyel denklem: y +p(x)y'+q(x)y=0 ve homojen olmayan ikinci mertebeden denklem: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).
Yüksek mertebeden diferansiyel denklemler ve türleri:
- Sırasıyla indirgenebilen diferansiyel denklem: F(x, y(k), y(k+1),.., y(n)=0.
- Lineer yüksek mertebeden homojen denklem: y(n)+f(n-1)y(n- 1)+…+f1y'+f0y=0 ve homojen olmayan: y(n)+f(n-1)y(n-1)+…+f1 y'+f0y=f(x).
Diferansiyel denklemle problem çözme adımları
Uzaktan kumanda yardımı ile sadece matematiksel veya fiziksel sorular değil, aynı zamanda çeşitli problemler de çözülür.biyoloji, ekonomi, sosyoloji vb. Çok çeşitli konulara rağmen, bu tür problemleri çözerken tek bir mantıksal sıraya bağlı kalınmalıdır:
- Uzaktan kumandanın derlenmesi. Herhangi bir hata tamamen yanlış sonuçlara yol açacağından, maksimum hassasiyet gerektiren en zor adımlardan biri. Süreci etkileyen tüm faktörler dikkate alınmalı ve başlangıç koşulları belirlenmelidir. Ayrıca gerçeklere ve mantıklı sonuçlara dayanmalıdır.
- Formüle edilen denklemin çözümü. Bu işlem, yalnızca katı matematiksel hesaplamalar gerektirdiğinden ilk adımdan daha basittir.
- Sonuçların analizi ve değerlendirilmesi. Elde edilen çözüm, sonucun pratik ve teorik değerini belirlemek için değerlendirilmelidir.
Tıpta diferansiyel denklemlerin kullanımına bir örnek
Uzaktan kumandanın tıp alanında kullanımı, epidemiyolojik bir matematiksel model oluşturulurken ortaya çıkar. Aynı zamanda, bu denklemlerin tıbba yakın olan biyoloji ve kimyada da bulunduğunu unutmamak gerekir, çünkü insan vücudundaki çeşitli biyolojik popülasyonların ve kimyasal süreçlerin incelenmesi bunda önemli bir rol oynar.
Yukarıdaki salgın örneğinde, izole bir toplumda enfeksiyonun yayılmasını düşünebiliriz. Sakinler üç türe ayrılır:
- Enfekte, x(t) sayısı, her biri bulaşıcı (kuluçka süresi kısa) bireylerden, enfeksiyon taşıyıcılarından oluşur.
- İkinci tür şunları içerir:y(t) enfekte kişilerle temas yoluyla enfekte olabilen duyarlı kişiler.
- Üçüncü tür, bağışık olan veya hastalık nedeniyle ölen bağışık bireyler z(t) içerir.
Birey sayısı sabittir, doğumlar, doğal ölümler ve göçler hesaba katılmaz. Çekirdekte iki hipotez olacak.
Belirli bir zaman noktasında görülme yüzdesi x(t)y(t)'dir (vaka sayısının hasta ve duyarlı temsilciler arasındaki kesişme sayısıyla orantılı olduğu teorisine dayanır. yaklaşıklık x(t)y(t) ile orantılı olacaktır), bununla bağlantılı olarak, ax(t)y(t) formülü ile hesaplanan bir oranda vaka sayısı artar ve duyarlı sayısı azalır (> 0).
Bağışık hale gelen veya ölen bağışık bireylerin sayısı vaka sayısıyla orantılı bir oranda artıyor, bx(t) (b > 0).
Sonuç olarak, üç göstergeyi de hesaba katan bir denklem sistemi oluşturabilir ve buna dayalı sonuçlar çıkarabilirsiniz.
Ekonomi örneği
Diferansiyel hesap genellikle ekonomik analizde kullanılır. Ekonomik analizdeki ana görev, bir fonksiyon şeklinde yazılan ekonomiden niceliklerin incelenmesidir. Bu, vergi artışından hemen sonra gelirdeki değişiklikler, vergilerin getirilmesi, üretim maliyeti değiştiğinde şirket gelirindeki değişiklikler, emekli işçilerin ne oranda yeni ekipmanla değiştirilebileceği gibi sorunları çözerken kullanılır. Bu tür sorunları çözmek için gerekligiriş değişkenlerinden bir bağlantı işlevi oluşturun, bunlar daha sonra diferansiyel hesap kullanılarak incelenir.
Ekonomik alanda, genellikle en uygun göstergeleri bulmak gerekir: maksimum emek verimliliği, en yüksek gelir, en düşük maliyetler vb. Bu tür göstergelerin her biri, bir veya daha fazla argümanın bir işlevidir. Örneğin, üretim, emek ve sermaye girdilerinin bir fonksiyonu olarak görülebilir. Bu bağlamda, uygun bir değer bulmak, bir veya daha fazla değişkenden bir fonksiyonun maksimum veya minimumunu bulmaya indirgenebilir.
Bu tür problemler, ekonomik alanda çözümü diferansiyel hesabı gerektiren bir aşırı uç problemler sınıfı yaratır. Bir ekonomik göstergenin başka bir göstergenin fonksiyonu olarak en aza indirilmesi veya en üst düzeye çıkarılması gerektiğinde, maksimum noktasında, argümanın artışı sıfır olma eğilimindeyse, fonksiyonun artışının argümanlara oranı sıfıra eğilimli olacaktır. Aksi takdirde, böyle bir oran pozitif veya negatif bir değere yöneldiğinde, belirtilen nokta uygun değildir, çünkü argümanı artırarak veya az altarak bağımlı değeri gereken yönde değiştirebilirsiniz. Diferansiyel hesabın terminolojisinde bu, bir fonksiyonun maksimumu için gerekli koşulun türevinin sıfır değeri olduğu anlamına gelir.
Ekonomide, ekonomik göstergeler birçok faktörden oluştuğundan, genellikle birkaç değişkenli bir fonksiyonun ekstremumunu bulma sorunları vardır. Bunun gibi sorular iyidir.diferansiyel hesaplama yöntemlerini uygulayarak çeşitli değişkenlerin fonksiyonları teorisinde çalıştı. Bu tür problemler sadece maksimize edilmiş ve minimize edilmiş fonksiyonları değil, aynı zamanda kısıtlamaları da içerir. Bu tür sorular matematiksel programlama ile ilgilidir ve yine bu bilim dalına dayalı olarak özel olarak geliştirilmiş yöntemler yardımıyla çözülür.
İktisatta kullanılan diferansiyel hesap yöntemleri arasında önemli bir bölüm marjinal analizdir. Ekonomik alanda, bu terim, marjinal göstergelerinin analizine dayanarak yaratım, tüketim hacmini değiştirirken değişken göstergeleri ve sonuçları incelemek için bir dizi yöntemi ifade eder. Sınırlayıcı gösterge, birkaç değişkenli türev veya kısmi türevlerdir.
Birkaç değişkenin diferansiyel hesabı, matematiksel analiz alanında önemli bir konudur. Detaylı bir çalışma için yüksek öğrenim için çeşitli ders kitaplarını kullanabilirsiniz. En ünlülerinden biri Fikhtengolts tarafından yaratıldı - "Diferansiyel ve integral hesabın kursu". Adından da anlaşılacağı gibi, integrallerle çalışma becerileri, diferansiyel denklemleri çözmek için oldukça önemlidir. Tek değişkenli bir fonksiyonun diferansiyel hesabı gerçekleştiğinde, çözüm daha basit hale gelir. Yine de belirtmek gerekir ki, aynı temel kurallara tabidir. Bir fonksiyonu diferansiyel hesapla pratikte incelemek için, lisede verilen ve yenileri tanıtıldığında sadece biraz karmaşık olan mevcut algoritmayı takip etmek yeterlidir.değişkenler.
