Karekök içeren sayısal ifadelerle çalışma yeteneği, OGE ve USE'den bir dizi problemin başarılı bir şekilde çözülmesi için gereklidir. Bu sınavlarda kök çıkarmanın ne olduğu ve pratikte nasıl yapıldığına dair temel bir anlayış genellikle yeterlidir.
Tanım
X sayısının n'inci kökü, eşitliğin doğru olduğu bir x sayısıdır: xn =X.
Köklü bir ifadenin değerini bulmak, X ve n verilen x'i bulmak demektir.
Kare kökü veya X'in ikinci kökü - eşitliğin sağlandığı x sayısı: x2 =X.
Tanım: ∛Х. Burada 3 kökün derecesi, X ise kök ifadesidir. '√' işaretine genellikle radikal denir.
Kökün üzerindeki sayı dereceyi göstermiyorsa, varsayılan derece 2'dir.
Çift dereceli bir okul kursunda, olumsuz kökler ve radikal ifadeler genellikle dikkate alınmaz. Örneğin, yok√-2 ve √4 ifadesi için doğru cevap 2'dir, ancak (-2)2 da 4'e eşittir.
Köklerin rasyonelliği ve mantıksızlığı
Kökle yapılabilecek en basit görev, bir ifadenin değerini bulmak veya onu rasyonellik açısından test etmektir.
Örneğin, √25 değerlerini hesaplayın; ∛8; ∛-125:
- √25=5 çünkü 52 =25;
- ∛8=2 çünkü 23 =8;
- ∛ - 125=-5 (-5)3'ten beri =-125.
Verilen örneklerdeki cevaplar rasyonel sayılardır.
Sabit sabitler ve değişkenler içermeyen ifadelerle çalışırken, her zaman doğal bir güce yükseltme işleminin tersini kullanarak böyle bir kontrolün yapılması önerilir. x üzeri n'inci kuvveti bulmak, x'in n faktörünün çarpımını hesaplamaya eşdeğerdir.
Değeri irrasyonel olan, yani sonsuz periyodik olmayan bir kesir olarak yazılmış, kökü olan birçok ifade vardır.
Tanım olarak, rasyoneller ortak bir kesir olarak ifade edilebilenlerdir ve irrasyonellerin tümü diğer gerçek sayılardır.
Bunlar √24, √0, 1, √101'i içerir.
Problemli kitap şöyle diyorsa: Kökü 2, 3, 5, 6, 7, vb. olan ifadenin değerini, yani kareler tablosunda yer almayan doğal sayılardan bulun, o zaman doğru cevap √ 2 olabilir (aksi belirtilmedikçe).
Değerlendirme
Sorunlardaaçık bir cevap, kökü olan bir ifadenin değerini bulmak ve rasyonel bir sayı olarak yazmak mümkün değilse, sonuç radikal olarak bırakılmalıdır.
Bazı ödevler değerlendirme gerektirebilir. Örneğin, 6 ile √37'yi karşılaştırın. Çözüm, her iki sayının karesini almayı ve sonuçları karşılaştırmayı gerektirir. İki sayıdan karesi büyük olan sayı büyüktür. Bu kural tüm pozitif sayılar için geçerlidir:
- 62 =36;
- 372 =37;
- 37 >36;
- anlamına gelir √37 > 6.
Aynı şekilde, birkaç sayının artan veya azalan düzende düzenlenmesi gereken problemler çözülür.
Örnek: 5, √6, √48, √√64'ü artan sırada düzenleyin.
Kareyi aldıktan sonra, elimizde: 25, 6, 48, √64. √64 ile karşılaştırmak için tüm sayıların karesini tekrar alabilirsiniz, ancak 8 rasyonel sayıya eşittir, 6 < 8 < 25 < 48, yani çözüm: 48.
İfadeyi sadeleştirme
Köklü bir ifadenin değerini bulmak imkansız olduğu için basitleştirilmesi gerekir. Aşağıdaki formül bu konuda yardımcı olur:
√ab=√a√b.
İki sayının çarpımının kökü, köklerinin çarpımına eşittir. Bu işlem ayrıca bir sayıyı çarpanlara ayırma yeteneğini de gerektirir.
İlk aşamada, işi hızlandırmak için elinizde bir asal sayılar ve kareler tablosunun olması önerilir. Bu tablolar sıkgelecekte kullanımı hatırlanacak.
Örneğin, √242 irrasyonel bir sayıdır, şu şekilde çevirebilirsiniz:
- 242=2 × 121;
- √242=√(2 × 121);
- √2 × √121=√2 × 11.
Genellikle sonuç 11√2 olarak yazılır (okuma: ikiden on bir kök).
Birinden doğal bir kök elde edilebilmesi için bir sayının hangi iki faktöre ayrıştırılması gerektiğini hemen görmek zorsa, asal çarpanlara tam ayrıştırmayı kullanabilirsiniz. Açılımda aynı asal sayı iki kez geçerse kök işaretinden çıkarılır. Çok sayıda faktör olduğunda, kökü birkaç adımda çıkarabilirsiniz.
Örnek: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). 2 sayısı açılımda 2 defa geçiyor (aslında ikiden fazla ama biz hala açılımdaki ilk iki olayla ilgileniyoruz).
Kök işaretinin altından çıkarıyoruz:
√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
Aynı işlemi tekrarlayın:
2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5).
Kalan radikal ifadede, 2 ve 3 bir kez meydana gelir, bu yüzden faktör 5'i çıkarmak için kalır:
2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√(2 × 3);
ve aritmetik işlemleri gerçekleştirin:
5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.
Yani, √2400=20√6.
elde ederiz.
Görev açıkça şunu belirtmiyorsa: "ifadenin değerini kareköklü bul", o zaman seçim,cevabın hangi biçimde bırakılacağı (radikalin altındaki kökün çıkarılıp çıkarılmayacağı) öğrencide kalır ve çözülmekte olan probleme bağlı olabilir.
İlk başta, görevlerin tasarımına, teknik araçlar kullanılmadan sözlü veya yazılı da dahil olmak üzere hesaplamalara yüksek gereksinimler getirilir.
Yalnızca irrasyonel sayısal ifadelerle çalışma kurallarına iyi bir şekilde hakim olduktan sonra, daha zor gerçek ifadelere geçmek ve irrasyonel denklemleri çözmek ve ifadenin altındaki olası değerlerin aralığını hesaplamak mantıklıdır. radikal.
Öğrenciler bu tür bir problemle matematikte Birleşik Devlet Sınavında ve ayrıca matematiksel analiz ve ilgili disiplinleri okurken uzmanlaşmış üniversitelerin ilk yılında karşılaşırlar.
