Tipik bir geometrik problem, çizgiler arasındaki açıyı bulmaktır. Düzlemde doğruların denklemleri biliniyorsa çizilebilir ve açıölçer ile ölçülebilir. Ancak bu yöntem zahmetlidir ve her zaman mümkün değildir. Adlandırılmış açıyı bulmak için düz çizgiler çizmeye gerek yoktur, hesaplanabilir. Bu makale bunun nasıl yapıldığını cevaplayacaktır.
Düz bir doğru ve vektör denklemi
Herhangi bir düz çizgi, -∞ ile başlayan ve +∞ ile biten bir vektör olarak temsil edilebilir. Bu durumda vektör uzayda bir noktadan geçer. Böylece bir doğru üzerinde herhangi iki nokta arasında çizilebilecek tüm vektörler birbirine paralel olacaktır. Bu tanım, düz bir çizginin denklemini vektör biçiminde ayarlamanıza olanak tanır:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Burada (a; b; c) koordinatlarına sahip vektör (x0; y0 noktasından geçen bu doğru için kılavuzdur.; z0).α parametresi, belirtilen noktayı bu hat için başka herhangi bir noktaya aktarmanıza izin verir. Bu denklem sezgiseldir ve hem 3B uzayda hem de düzlemde çalışması kolaydır. Bir düzlem için, z koordinatlarını ve üçüncü yön vektör bileşenini içermez.
Bir vektör denkleminin kullanılması nedeniyle hesaplamalar yapmanın ve düz çizgilerin göreli konumunu incelemenin rahatlığı, yönlendirici vektörünün bilinmesinden kaynaklanmaktadır. Koordinatları, çizgiler arasındaki açıyı ve aralarındaki mesafeyi hesaplamak için kullanılır.
Düz bir çizgi için genel denklem
İki boyutlu durum için doğrunun vektör denklemini açıkça yazalım. Şuna benziyor:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
Şimdi her eşitlik için α parametresini hesaplıyoruz ve elde edilen eşitliklerin doğru kısımlarını eşitliyoruz:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
Parantezleri açıp tüm terimleri eşitliğin bir tarafına aktardığımızda:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, burada A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
Sonuçtaki ifadeye, iki boyutlu uzayda verilen bir düz çizginin genel denklemi denir (üç boyutluda bu denklem düz bir çizgiye değil, z eksenine paralel bir düzleme karşılık gelir).
Bu ifadede açıkça y'den x'e yazarsak, şu formu elde ederiz, bilinenher öğrenci:
y=kx + p, burada k=-A/B, p=-C/B
Bu doğrusal denklem, düzlemde benzersiz bir şekilde düz bir çizgi tanımlar. Bilinen denkleme göre çizmek çok kolay, bunun için sırasıyla x=0 ve y=0 koymalı, koordinat sisteminde karşılık gelen noktaları işaretlemeli ve elde edilen noktaları birleştiren düz bir çizgi çizmelisiniz.
Çizgiler arasındaki açının formülü
Düzlemde iki doğru kesişebilir veya birbirine paralel olabilir. Uzayda, bu seçeneklere eğik çizgilerin varlığı olasılığı eklenir. Bu tek boyutlu geometrik nesnelerin göreceli konumunun hangi versiyonu uygulanırsa uygulansın, aralarındaki açı her zaman aşağıdaki formülle belirlenebilir:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Where v1¯ ve v2¯ sırasıyla satır 1 ve 2 için kılavuz vektörlerdir. Pay, geniş açıları hariç tutmak ve yalnızca keskin açıları hesaba katmak için nokta çarpım modülüdür.
v1¯ ve v2¯ vektörleri iki veya üç koordinatla verilebilirken açının formülü φ değişmeden kalır.
Doğruların paralelliği ve dikliği
Yukarıdaki formül kullanılarak hesaplanan 2 doğru arasındaki açı 0o ise paralel oldukları söylenir. Çizgilerin paralel olup olmadığını belirlemek için açıyı hesaplayamazsınız.φ, bir yön vektörünün başka bir doğrunun benzer bir vektörü aracılığıyla temsil edilebileceğini göstermek yeterlidir, yani:
v1¯=qv2¯
Burada q bir gerçek sayıdır.
Doğruların denklemleri şu şekilde verilirse:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
o zaman sadece x'in katsayıları eşit olduğunda paralel olacaklardır, yani:
k1=k2
K katsayısının düz doğrunun yönlendirici vektörünün koordinatları cinsinden nasıl ifade edildiğini düşünürsek, bu gerçek kanıtlanabilir.
Doğrular arasındaki kesişim açısı 90o ise, o zaman bunlara dik denir. Doğruların dikliğini belirlemek için φ açısını hesaplamak da gerekli değildir, bunun için v1¯ ve v vektörlerinin sadece skaler çarpımını hesaplamak yeterlidir. 2¯. Sıfır olmalı.
Uzayda kesişen doğrular olması durumunda, φ açısının formülü de kullanılabilir. Bu durumda, sonuç doğru yorumlanmalıdır. Hesaplanan φ, kesişmeyen ve paralel olmayan doğruların yön vektörleri arasındaki açıyı gösterir.
Görev 1. Dik çizgiler
Doğru denklemlerinin şu şekilde olduğu bilinmektedir:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
Bu çizgilerin olup olmadığını belirlemek gereklidir.dik.
Yukarıda belirtildiği gibi, soruyu cevaplamak için, (1; 2) ve (-4; 2) koordinatlarına karşılık gelen kılavuzların vektörlerinin skaler çarpımını hesaplamak yeterlidir. Bizde:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
0 elde ettiğimize göre, bu, dikkate alınan doğruların dik açıyla kesiştiği, yani dik oldukları anlamına gelir.
Görev 2. Çizgi kesişim açısı
Düz çizgiler için iki denklemin aşağıdaki forma sahip olduğu bilinmektedir:
y=2x - 1;
y=-x + 3
Çizgiler arasındaki açıyı bulmak gerekiyor.
x'in katsayıları farklı değerlere sahip olduğu için bu doğrular paralel değildir. Kesiştikleri zaman oluşan açıyı bulmak için denklemlerin her birini bir vektör formuna çeviriyoruz.
İlk satır için şunu elde ederiz:
(x; y)=(x; 2x - 1)
Denklemin sağ tarafında, koordinatları x'e bağlı olan bir vektörümüz var. Bunu iki vektörün toplamı olarak gösterelim ve birincinin koordinatları x değişkenini içerecek ve ikincinin koordinatları yalnızca sayılardan oluşacak:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
x keyfi değerler aldığından, α parametresi ile değiştirilebilir. İlk satır için vektör denklemi şöyle olur:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
Aynı işlemleri doğrunun ikinci denklemiyle yapıyoruz, şunu elde ediyoruz:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
Orijinal denklemleri vektör biçiminde yeniden yazdık. Şimdi, çizgilerin yönlendirici vektörlerinin koordinatlarını değiştirerek, kesişme açısı için formülü kullanabilirsiniz:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
Böylece, incelenen çizgiler 71.565o veya 1.249 radyan açıyla kesişir.
Bu sorun farklı şekilde çözülebilirdi. Bunu yapmak için, her düz çizginin iki keyfi noktasını almak, bunlardan doğrudan vektörler oluşturmak ve ardından φ için formülü kullanmak gerekiyordu.
