Bu nedir - bir koni mi? Tanım, özellikler, formüller ve problem çözme örneği

2024 Yazar: Angel Austin | [email protected]. Son düzenleme: 2024-01-02 17:57

Bir koni, özellikleri ve özellikleri stereometri ile incelenen uzamsal dönme şekillerinden biridir. Bu yazıda, bu şekli tanımlayacağız ve bir koninin lineer parametrelerini yüzey alanı ve hacmi ile bağlayan temel formülleri ele alacağız.

Koni nedir?

Geometri açısından, uzayda belirli bir noktayı düz bir düz eğrinin tüm noktalarıyla birleştiren bir dizi düz parçadan oluşan bir uzaysal figürden bahsediyoruz. Bu eğri bir daire veya elips olabilir. Aşağıdaki şekil bir koniyi göstermektedir.

Sunulan şeklin hacmi yoktur, çünkü yüzeyinin duvarları çok küçük bir kalınlığa sahiptir. Bununla birlikte, bir madde ile doldurulursa ve yukarıdan bir eğri ile değil, örneğin bir daire gibi düz bir şekil ile sınırlandırılırsa, o zaman genellikle koni olarak da adlandırılan katı bir hacimsel gövde elde ederiz.

Bir koninin şekli genellikle hayatta bulunabilir. Yani, trafik katılımcılarının dikkatini çekmek için karayoluna konan bir dondurma külahı veya çizgili siyah ve turuncu trafik külahları var.

Koninin elemanları ve türleri

Koni çokyüzlü olmadığı için onu oluşturan öğelerin sayısı çokyüzlüler kadar büyük değildir. Geometride, genel bir koni aşağıdaki öğelerden oluşur:

• temel, sınırlayıcı eğrisi directrix veya generatrix olarak adlandırılır;
• kılavuz eğrisinin tepe noktalarını ve noktalarını birleştiren düz çizgi parçalarının (jenerikler) tüm noktalarının toplamı olan yan yüzeyin;
• jeneriklerin kesişme noktası olan köşe.

Köşenin taban düzleminde uzanmaması gerektiğine dikkat edin, çünkü bu durumda koni düz bir şekle dönüşüyor.

Üstten tabana dik bir doğru parçası çizersek şeklin yüksekliğini elde ederiz. Son taban geometrik merkezde kesişiyorsa, bu düz bir konidir. Dik, tabanın geometrik merkeziyle örtüşmüyorsa, şekil eğimli olacaktır.

Düz ve eğik koniler şekilde gösterilmiştir. Burada koninin tabanının yüksekliği ve yarıçapı sırasıyla h ve r ile gösterilir. Şeklin üst kısmı ile tabanın geometrik merkezini birleştiren çizgi koninin eksenidir. Şekilden, düz bir şekil için yüksekliğin bu eksen üzerinde olduğu ve eğimli bir şekil için yüksekliğin eksen ile bir açı oluşturduğu görülmektedir. Koninin ekseni a harfiyle gösterilir.

Yuvarlak tabanlı düz koni

Belki de bu koni, düşünülen şekiller sınıfının en yaygın olanıdır. Bir daire ve bir kenardan oluşuryüzeyler. Geometrik yöntemlerle elde etmek zor değil. Bunu yapmak için, bir dik üçgen alın ve onu bacaklardan birine denk gelen bir eksen etrafında döndürün. Açıkçası, bu bacak şeklin yüksekliği olacak ve üçgenin ikinci bacağının uzunluğu koninin tabanının yarıçapını oluşturuyor. Aşağıdaki şema, söz konusu döndürme rakamını elde etmek için açıklanan şemayı göstermektedir.

Gösterilen üçgen başka bir bacak etrafında döndürülebilir, bu da birinciden daha büyük taban yarıçapına ve daha düşük yüksekliğe sahip bir koni ile sonuçlanacaktır.

Yuvarlak bir düz koninin tüm parametrelerini açık bir şekilde belirlemek için, onun doğrusal özelliklerinden herhangi ikisini bilmek gerekir. Bunlar arasında yarıçap r, yükseklik h veya generatrix g'nin uzunluğu ayırt edilir. Tüm bu miktarlar, dikkate alınan dik açılı üçgenin kenarlarının uzunluklarıdır, bu nedenle Pisagor teoremi bağlantıları için geçerlidir:

g²=r²+ h^2.

Yüzey alanı

Herhangi bir üç boyutlu figürün yüzeyini incelerken, gelişimini bir düzlemde kullanmak uygundur. Koni bir istisna değildir. Yuvarlak bir koni için geliştirme aşağıda gösterilmiştir.

Figürün açılımının iki bölümden oluştuğunu görüyoruz:

1. Koninin tabanını oluşturan daire.
2. Şeklin konik yüzeyi olan dairenin sektörü.

Bir dairenin alanını bulmak kolaydır ve karşılık gelen formül her öğrenci tarafından bilinir. Döngüsel sektör hakkında konuşurken, şunu not ediyoruz:yarıçapı g olan bir dairenin parçasıdır (koninin generatrisinin uzunluğu). Bu sektörün yayının uzunluğu, tabanın çevresine eşittir. Bu parametreler, alanını açık bir şekilde belirlemeyi mümkün kılar. Karşılık gelen formül:

S=pir2+ pirg.

İfadedeki birinci ve ikinci terimler sırasıyla tabanın konisi ve alanın yan yüzeyidir.

G üretecinin uzunluğu bilinmiyorsa, ancak şeklin h yüksekliği verilmişse, formül şu şekilde yeniden yazılabilir:

S=pir²+ pir√(r²+ h^2).

Şeklin hacmi

Düz bir piramit alıp tabanının kenar sayısını sonsuzda arttırırsak, tabanın şekli bir daireye meyledecek ve piramidin yan yüzeyi konik yüzeye yaklaşacaktır. Bu düşünceler, bir koni için benzer bir değer hesaplarken bir piramidin hacmi formülünü kullanmamıza izin verir. Bir koninin hacmi şu formül kullanılarak bulunabilir:

V=1/3hS_o.

Bu formül, koninin tabanı ne olursa olsun, S_{o alanına sahip olduğundan her zaman doğrudur. Ayrıca formül eğik koni için de geçerlidir.}

Yuvarlak tabanlı düz bir şeklin özelliklerini incelediğimizden, hacmini belirlemek için aşağıdaki ifadeyi kullanabiliriz:

V=1/3hpir2.

Formül açık.

Yüzey alanı ve hacmi bulma sorunu

Yarıçapı 10 cm ve generatrisin uzunluğu 20 olan bir koni verilsinbu şekil için hacim ve yüzey alanını belirleme ihtiyacına bakın.

S alanını hesaplamak için hemen yukarıda yazılan formülü kullanabilirsiniz. Bizde:

S=pir²+ pirg=942 cm^2.

Hacimi belirlemek için şeklin h yüksekliğini bilmeniz gerekir. Koninin doğrusal parametreleri arasındaki ilişkiyi kullanarak hesaplıyoruz. Şunu elde ederiz:

h=√(g²- r²)=√(20²- 10^{2) ≈ 17, 32 cm.}

Artık V: formülünü kullanabilirsiniz

V=1/3hpir²=1/317, 323, 1410^{2 ≈ 1812, 83cm}3^.

Yuvarlak bir koninin hacminin, içinde yazılı olduğu silindirin üçte biri olduğuna dikkat edin.