Düz prizma nedir? Özellikler ve formüller. Görev örneği

2024 Yazar: Angel Austin | [email protected]. Son düzenleme: 2023-12-17 05:44

Stereometri, üç boyutlu geometrik şekillerin özelliklerinin incelenmesidir. Geometri problemlerinde ortaya çıkan iyi bilinen hacimsel şekillerden biri düz prizmadır. Bu yazıda ne olduğunu ele alalım ve ayrıca üçgen tabanlı bir prizmayı ayrıntılı olarak açıklayalım.

Prizma ve çeşitleri

Bir prizma, bir çokgenin uzayda paralel ötelenmesi sonucu oluşan bir şekildir. Bu geometrik işlemin bir sonucu olarak, birkaç paralelkenar ve birbirine paralel iki özdeş çokgenden oluşan bir şekil oluşur. Paralelkenarlar prizmanın kenarlarıdır ve çokgenler onun tabanıdır.

Her prizmanın n+2 kenarı, 3n kenarı ve 2n köşesi vardır; burada n, çokgen tabanın köşe veya kenar sayısıdır. Resimde 7 kenarı, 10 köşesi ve 15 kenarı olan beşgen bir prizma gösterilmektedir.

Değerlendirilen şekil sınıfı, çeşitli prizma türleri ile temsil edilir. Bunları kısaca listeliyoruz:

• içbükey ve dışbükey;
• eğik ve düz;
• yanlış ve doğru.

Her şekil, listelenen üç sınıflandırma türünden birine aittir. Geometrik problemleri çözerken, düzenli ve düz prizmalar için hesaplamalar yapmak en kolay yoldur. İkincisi, makalenin aşağıdaki paragraflarında daha ayrıntılı olarak tartışılacaktır.

Düz prizma nedir?

Düz bir prizma, tüm kenarların 90° açılı dörtgenlerle temsil edildiği içbükey veya dışbükey, düzenli veya düzensiz bir prizmadır. Kenarların dörtgenlerinden en az biri dikdörtgen veya kare değilse, prizmaya eğik denir. Başka bir tanım da verilebilir: düz bir prizma, herhangi bir yan kenarın yüksekliğe eşit olduğu belirli bir sınıfın böyle bir şeklidir. Prizmanın h yüksekliğinin altında, tabanları arasındaki mesafe varsayılır.

Doğrudan prizma olduğu verilen tanımların ikisi de eşittir ve kendi kendine yeterlidir. Onlardan, tabanlardan herhangi biri ile her bir kenar arasındaki tüm dihedral açıların 90° olduğu sonucu çıkar.

Problemleri çözerken düz rakamlarla çalışmanın uygun olduğu yukarıda söylendi. Bunun nedeni, yüksekliğin yan nervürün uzunluğuyla eşleşmesidir. İkinci gerçek, bir şeklin hacmini ve yan yüzeyinin alanını hesaplama işlemini kolaylaştırır.

Doğrudan prizmanın hacmi

Hacim - herhangi bir uzamsal figürün doğasında bulunan ve alanın, dikkate alınan yüzeylerin arasında kalan kısmını sayısal olarak yansıtan bir değer.nesne. Bir prizmanın hacmi aşağıdaki genel formül kullanılarak hesaplanabilir:

V=S_oh.

Yani, yüksekliğin ve tabanın alanının çarpımı istenen V değerini verecektir. Düz bir prizmanın tabanları eşit olduğundan, o zaman alanı belirlemek için S_o herhangi birini alabilirsin.

Yukarıdaki formülü diğer türlerine kıyasla özellikle düz bir prizma için kullanmanın avantajı, yan kenarın uzunluğu ile çakıştığı için şeklin yüksekliğini bulmanın çok kolay olmasıdır.

Yan alan

Yalnızca incelenen sınıfın düz bir şeklinin hacmini değil, aynı zamanda yan yüzeyini de hesaplamak uygundur. Gerçekten de, herhangi bir tarafı ya bir dikdörtgen ya da bir karedir. Her öğrenci bu düz şekillerin alanını nasıl hesaplayacağını bilir, bunun için komşu kenarları birbiriyle çarpmak gerekir.

Prizmanın tabanının, kenarları a_i olan keyfi bir n-gon olduğunu varsayalım. Dizin i 1'den n'ye kadar çalışır. Bir dikdörtgenin alanı şu şekilde hesaplanır:

S_i=a_ih.

S_byan yüzeyin alanını S_i dikdörtgenlerin tüm alanlarını toplarsanız hesaplamak kolaydır. Bu durumda, S_bdüz prizma için son formülü elde ederiz:

S_b=h∑_i=1(a_i)=hP_o.

Bu nedenle, düz bir prizmanın yan yüzey alanını belirlemek için, yüksekliğini bir tabanın çevresiyle çarpmanız gerekir.

Üçgen prizma ile ilgili problem

Düz bir prizmanın verildiğini varsayalım. Taban bir dik üçgendir. Bu üçgenin bacakları 12 cm ve 8 cm'dir. Prizmanın yüksekliği 15 cm ise şeklin hacmini ve toplam alanını hesaplamak gerekir.

Önce düz bir prizmanın hacmini hesaplayalım. Tabanlarında bulunan üçgenin (dikdörtgen) bir alanı vardır:

S_o=a₁a₂/2=128/2=48cm².

Tahmin edebileceğiniz gibi, a₁ ve a₂ bu denklemde bacaklardır. Taban alanını ve yüksekliği bilerek (sorunun durumuna bakın), V için formülü kullanabilirsiniz:

V=S_oh=4815=720cm³.

Şeklin toplam alanı iki kısımdan oluşur: tabanların alanları ve yan yüzey. İki tabanın alanları:

S_2o=2S_o=482=96cm².

Yan yüzey alanını hesaplamak için bir dik üçgenin çevresini bilmeniz gerekir. Hipotenüsü a₃ Pisagor teoremi ile hesaplayın, elimizde:

a₃ =√(a₁²+ a₂ 2^)=√(122^{+ 8}2^{)=14,42 cm.}

O zaman sağ prizmanın tabanının üçgeninin çevresi:

P=a₁+ a₂+ a₃=12 + 8 + 14, 42=34, 42 cm.

Bir önceki paragrafta yazılan S_b formülünü uygulayarak,almak:

S_b=hP=1534, 42=516, 3 cm.

S_2o ve S_b alanlarını ekleyerek, çalışılan geometrik şeklin toplam yüzey alanını elde ederiz:

S=S_2o+ S_b=96 + 516, 3=612, 3cm^2.

Optikte, ışık yayan nesnelerin spektrumlarını incelemek için özel cam türlerinden yapılmış üçgen bir prizma kullanılır. Bu tür prizmalar, dağılma fenomeni nedeniyle ışığı bileşen frekanslarına ayrıştırabilir.