Her öğrenci yuvarlak bir koni duymuştur ve bu üç boyutlu figürün neye benzediğini hayal eder. Bu makale bir koninin gelişimini tanımlar, özelliklerini tanımlayan formüller sağlar ve bir pusula, iletki ve cetvel kullanarak nasıl oluşturulacağını açıklar.
Geometride dairesel koni
Bu şeklin geometrik bir tanımını verelim. Yuvarlak koni, belirli bir dairenin tüm noktalarını uzayda tek bir nokta ile birleştiren düz doğru parçalarından oluşan bir yüzeydir. Bu tek nokta, dairenin içinde bulunduğu düzleme ait olmamalıdır. Daire yerine daire alırsak, bu yöntem de bir koniye yol açar.
Daireye şeklin tabanı denir, çevresi ise doğrultudur. Noktayı directrix ile birleştiren segmentlere generatrisler veya jeneratörler denir ve bunların kesiştiği nokta koninin tepe noktasıdır.
Yuvarlak koni düz ve eğik olabilir. Her iki şekil de aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Aralarındaki fark şudur: Koninin tepesinden gelen dik açı tam olarak dairenin merkezine düşerse, koni düz olacaktır. Onun için, şeklin yüksekliği olarak adlandırılan dik, ekseninin bir parçasıdır. Eğik bir koni durumunda, yükseklik ve eksen bir dar açı oluşturur.
Şeklin basitliği ve simetrisi nedeniyle, yalnızca yuvarlak tabanlı bir dik koninin özelliklerini daha fazla ele alacağız.
Döndürmeyi kullanarak şekil alma
Bir koninin yüzeyinin gelişimini ele almadan önce, bu uzamsal şeklin döndürme kullanılarak nasıl elde edilebileceğini bilmek faydalıdır.
Diyelim ki kenarları a, b, c olan bir dik üçgenimiz var. İlk ikisi bacaklar, c hipotenüs. A ayağına bir üçgen koyalım ve onu b ayağı etrafında döndürmeye başlayalım. Hipotenüs c daha sonra konik bir yüzeyi tanımlayacaktır. Bu basit koni tekniği aşağıdaki şemada gösterilmiştir.
Açıkçası, a ayağı şeklin tabanının yarıçapı olacak, b ayağı yüksekliği olacak ve hipotenüs c yuvarlak bir sağ koninin generatrisine karşılık gelecek.
Koninin gelişiminin görünümü
Tahmin edebileceğiniz gibi, koni iki tür yüzeyden oluşur. Bunlardan biri düz tabanlı bir dairedir. Yarıçapının r olduğunu varsayalım. İkinci yüzey yanaldır ve konik olarak adlandırılır. Jeneratörü g'ye eşit olsun.
Elimizde kağıt koni varsa, makas alıp tabanını ondan kesebiliriz. Daha sonra konik yüzey kesilmelidir.herhangi bir generatrix boyunca ve uçağa konuşlandırın. Bu şekilde koninin yan yüzeyinin bir gelişimini elde ettik. Orijinal koni ile birlikte iki yüzey aşağıdaki şemada gösterilmektedir.
Temel daire sağ altta gösterilmiştir. Katlanmamış konik yüzey ortada gösterilmiştir. Yarıçapı g cinsinin uzunluğuna eşit olan dairenin bazı dairesel sektörlerine karşılık geldiği ortaya çıktı.
Açı ve alan taraması
Şimdi bilinen g ve r parametrelerini kullanarak koninin alanını ve açısını hesaplamamıza izin veren formüller elde ediyoruz.
Açıkçası, şekilde yukarıda gösterilen dairesel sektörün yayı, tabanın çevresine eşit bir uzunluğa sahiptir, yani:
l=2pir.
Yarıçapı g olan dairenin tamamı inşa edilmiş olsaydı, uzunluğu şöyle olurdu:
L=2pig.
L uzunluğu 2pi radyana karşılık geldiğinden, yayın l'nin üzerinde bulunduğu açı, karşılık gelen orandan belirlenebilir:
L==>2pi;
l==> φ.
O zaman bilinmeyen açı φ şuna eşit olacaktır:
φ=2pil/L.
l ve L uzunlukları için ifadeleri değiştirerek, koninin yan yüzeyinin gelişme açısı formülüne ulaşırız:
φ=2pir/g.
Buradaki φ açısı radyan cinsinden ifade edilir.
Dairesel bir sektörün Sbalanını belirlemek için, bulunan φ değerini kullanacağız. Sadece alanlar için bir orantı daha yapıyoruz. Bizde:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
Nereden Sb ifade edilir ve ardından φ açısının değerini değiştirin. Şunu elde ederiz:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
Konik bir yüzeyin alanı için oldukça kompakt bir formül elde ettik. Sb değeri üç faktörün çarpımına eşittir: pi, şeklin yarıçapı ve onun generatrisi.
O zaman şeklin tüm yüzeyinin alanı Sb ve So toplamına eşit olacaktır (dairesel taban alanı). Şu formülü elde ederiz:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Kağıt üzerinde bir koni taraması yapmak
Bu görevi tamamlamak için bir parça kağıda, kurşun kaleme, iletkiye, cetvele ve pusulaya ihtiyacınız olacak.
Öncelikle kenarları 3 cm, 4 cm ve 5 cm olan dik açılı bir üçgen çizelim.3 cm'lik bacak etrafındaki dönüşü istenilen koniyi verecektir. Şekilde r=3 cm, h=4 cm, g=5 cm vardır.
Süpürme oluşturmak, bir pusula ile yarıçapı r olan bir daire çizerek başlayacak. Uzunluğu 6pi cm'ye eşit olacak, şimdi yanında başka bir daire çizeceğiz, ancak yarıçapı g. Uzunluğu 10pi cm'ye karşılık gelecek, şimdi dairesel bir sektörü büyük bir daireden kesmemiz gerekiyor. φ açısı:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Şimdi bu açıyı bir iletki ile g yarıçaplı bir daire üzerinde bir kenara ayırıyoruz ve dairesel sektörü sınırlayacak iki yarıçap çiziyoruz.
YaniBöylece, belirtilen yarıçap, yükseklik ve generatrix parametreleriyle bir koni geliştirmesi oluşturduk.
Geometrik bir problem çözme örneği
Yuvarlak düz bir koni verilir. Yanal süpürme açısının 120o olduğu bilinmektedir. Koninin h yüksekliğinin 10 cm olduğu biliniyorsa, bu şeklin yarıçapını ve generatrisini bulmak gerekir.
Yuvarlak bir koninin bir dik üçgenin dönme şekli olduğunu hatırlarsak, görev zor değil. Bu üçgenden yükseklik, yarıçap ve generatrix arasında açık bir ilişki izler. Karşılık gelen formülü yazalım:
g2=h2+ r2.
Çözerken kullanılacak ikinci ifade açının formülüdür φ:
φ=2pir/g.
Böylece, iki bilinmeyen niceliği (r ve g) ilişkilendiren iki denklemimiz var.
İkinci formüldeki g'yi ifade edin ve sonucu birinciyle değiştirin, şunu elde ederiz:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Açı φ=120o radyan cinsinden 2pi/3'tür. Bu değeri yerine koyarsak, r ve g için son formülleri elde ederiz:
r=h /√8;
g=3s /√8.
Yükseklik değerini yerine koymak ve problem sorusunun cevabını almak için kalır: r ≈ 3.54 cm, g ≈ 10.61 cm.
