Geometri, uzaydaki yapıları ve aralarındaki ilişkiyi inceleyen bir matematik dalıdır. Sırasıyla bölümlerden oluşur ve bunlardan biri stereometridir. Uzayda bulunan hacimsel figürlerin özelliklerinin incelenmesini sağlar: bir küp, bir piramit, bir top, bir koni, bir silindir, vb.
Koni, Öklid uzayında, konik bir yüzeyi ve üreteçlerinin uçlarının üzerinde uzandığı bir düzlemi sınırlayan bir cisimdir. Oluşumu, dik açılı bir üçgenin bacaklarının herhangi birinin etrafında dönmesi sürecinde meydana gelir, bu nedenle devrim cisimlerine aittir.
Koni bileşenleri
Aşağıdaki koni türleri ayırt edilir: eğik (veya eğik) ve düz. Eğik, ekseni tabanının merkeziyle dik açıyla kesişmeyen şeydir. Bu nedenle, böyle bir konideki yükseklik, gövdenin tepesinden düzlemine indirilen bir segment olduğu için eksenle çakışmaz.90°'de taban.
Ekseni tabanına dik olan koniye düz koni denir. Böyle bir geometrik gövdedeki eksen ve yükseklik, içindeki tepe noktasının taban çapının merkezinin üzerinde yer alması nedeniyle çakışmaktadır.
Koni aşağıdaki öğelerden oluşur:
- Temeli olan daire.
- Yan.
- Taban düzleminde yer almayan, koninin tepesi olarak adlandırılan bir nokta.
- Geometrik gövdenin tabanının ve üst kısmının çemberinin noktalarını birleştiren segmentler.
Bütün bu segmentler koninin generatrisleridir. Geometrik gövdenin tabanına eğimlidirler ve bir dik koni durumunda, tepe noktası taban çemberinin noktalarından eşit uzaklıkta olduğu için çıkıntıları eşittir. Böylece, düzenli (düz) bir konide, jeneratörlerin eşit olduğu, yani aynı uzunluğa sahip oldukları ve eksen (veya yükseklik) ve taban ile aynı açıları oluşturduğu sonucuna varabiliriz.
Eğik (veya eğik) bir dönüş gövdesinde tepe noktası taban düzleminin merkezine göre yer değiştirdiğinden, böyle bir gövdedeki jeneratörlerin her biri farklı bir mesafede olduğundan farklı uzunluklara ve çıkıntılara sahiptir. taban çemberinin herhangi iki noktasından Ayrıca aralarındaki açılar ve koninin yüksekliği de farklı olacaktır.
Sağ konideki jeneratörlerin uzunluğu
Daha önce yazıldığı gibi, düz bir geometrik dönüş gövdesindeki yükseklik, taban düzlemine diktir. Böylece, tabanın generatrisi, yüksekliği ve yarıçapı koni içinde bir dik üçgen oluşturur.
Yani, tabanın yarıçapını ve yüksekliği bilerek, Pisagor teoremindeki formülü kullanarak, taban yarıçapının karelerinin toplamına eşit olacak olan generatrisin uzunluğunu hesaplayabilirsiniz ve yükseklik:
l2 =r2+ h2 veya l=√r 2 + h2
burada l bir generatrix;
r – yarıçap;
h – yükseklik.
Eğik bir koni içinde üretken
Eğik veya eğik bir konide jeneratörlerin aynı uzunlukta olmamasına bağlı olarak, ek yapılar ve hesaplamalar olmadan bunları hesaplamak mümkün olmayacaktır.
Öncelikle tabanın yüksekliğini, eksen uzunluğunu ve yarıçapını bilmeniz gerekir.
Bu verilere sahip olarak, Pisagor teoremindeki formülü kullanarak yarıçapın eksen ile yükseklik arasında kalan kısmını hesaplayabilirsiniz:
r1=√k2 - h2
nerede r1 yarıçapın eksen ile yükseklik arasındaki kısmıdır;
k – aks uzunluğu;
h – yükseklik.
Yarıçapı (r) ve eksen ile yükseklik (r1) arasında kalan kısmını toplamanın bir sonucu olarak, sağın tam tarafını öğrenebilirsiniz. koninin generatrisi, yüksekliği ve çapı tarafından oluşturulan üçgen:
R=r + r1
burada R, tabanın yüksekliği, generatrisi ve çapının bir kısmından oluşan üçgenin ayağıdır;
r – taban yarıçapı;
r1 – yarıçapın eksen ile yükseklik arasındaki kısmı.
Pisagor teoremindeki aynı formülü kullanarak, koninin generatrisinin uzunluğunu bulabilirsiniz:
l=√h2+ R2
veya, R'yi ayrı ayrı hesaplamadan, iki formülü tek bir formülde birleştirin:
l=√h2 + (r + r1)2.
Düz veya eğik bir koni olmasına ve ne tür girdi verisine rağmen, generatrisin uzunluğunu bulmak için kullanılan tüm yöntemler her zaman tek bir sonuca iner - Pisagor teoreminin kullanımı.
Koni bölümü
Bir koninin eksenel bölümü, ekseni veya yüksekliği boyunca geçen bir düzlemdir. Bir dik konide, böyle bir bölüm, üçgenin yüksekliğinin vücudun yüksekliği, yanlarının jeneratörler ve tabanın tabanın çapı olduğu bir ikizkenar üçgendir. Bir eşkenar geometrik gövdede, eksenel bölüm bir eşkenar üçgendir, çünkü bu konide taban ve jeneratörlerin çapı eşittir.
Düz bir koninin eksenel bölümünün düzlemi, simetri düzlemidir. Bunun nedeni, tepesinin tabanının merkezinin üzerinde olmasıdır, yani eksenel bölümün düzlemi koniyi iki özdeş parçaya böler.
Eğimli bir cisimde yükseklik ve eksen eşleşmediğinden, eksen bölümünün düzlemi yüksekliği içermeyebilir. Böyle bir koni içinde bir dizi eksenel bölüm oluşturmak mümkünse, bunun için yalnızca bir koşulun gözetilmesi gerektiğinden - yalnızca eksenden geçmelidir, o zaman düzlemin yalnızca bir eksenel bölümü, yüksekliğine ait olacaktır. bu koni çizilebilir, çünkü koşul sayısı artar ve bilindiği gibi iki doğru (birlikte) ait olabilir.sadece bir uçak.
Bölüm alanı
Daha önce bahsedilen koninin eksenel bölümü bir üçgendir. Buna dayanarak, alanı bir üçgenin alanı formülü kullanılarak hesaplanabilir:
S=1/2dh veya S=1/22rh
S, kesit alanıdır;
d – taban çapı;
r – yarıçap;
h – yükseklik.
Eğik veya eğik bir konide, eksen boyunca olan bölüm de bir üçgendir, bu nedenle buradaki kesit alanı benzer şekilde hesaplanır.
Hacim
Koni, üç boyutlu uzayda üç boyutlu bir şekil olduğu için hacmini hesaplayabiliriz. Bir koninin hacmi, bu cismi bir hacim biriminde, yani m3 cinsinden karakterize eden bir sayıdır. Hesaplama, düz veya eğik (eğik) olmasına bağlı değildir, çünkü bu iki tür cisim için formüller farklı değildir.
Daha önce belirtildiği gibi, bir dik koni oluşumu, bir dik üçgenin bacaklarından biri boyunca dönmesi nedeniyle oluşur. Eğik veya eğik bir koni, yüksekliği gövdenin taban düzleminin merkezinden uzağa kaydırıldığından farklı şekilde oluşturulur. Ancak, yapıdaki bu tür farklılıklar, hacmini hesaplama yöntemini etkilemez.
Hacim hesaplama
Herhangi bir koninin hacminin formülü şuna benzer:
V=1/3πhr2
V, koninin hacmidir;
h – yükseklik;
r – yarıçap;
π - sabit 3, 14'e eşittir.
Bir koninin hacmini hesaplamak için cismin tabanının yüksekliği ve yarıçapı hakkında veriye sahip olmanız gerekir.
Bir cismin yüksekliğini hesaplamak için tabanın yarıçapını ve onun generatrisinin uzunluğunu bilmeniz gerekir. Yarıçap, yükseklik ve generatrix bir dik üçgende birleştirildiğinden, yükseklik Pisagor teoremindeki formül kullanılarak hesaplanabilir (a2+ b2=c 2 veya bizim durumumuzda h2+ r2=l2 , burada l - generatrix). Bu durumda yükseklik, hipotenüsün kareleri ile diğer ayağın kareleri arasındaki farkın karekökü çıkarılarak hesaplanacaktır:
a=√c2- b2
Yani, koninin yüksekliği, generatrisin uzunluğunun karesi ile taban yarıçapının karesi arasındaki farktan karekök çıkarıldıktan sonra elde edilen değere eşit olacaktır:
h=√l2 - r2
Bu yöntemi kullanarak yüksekliği hesaplayarak ve tabanının yarıçapını bilerek, koninin hacmini hesaplayabilirsiniz. Bu durumda, generatrix, hesaplamalarda yardımcı bir unsur olarak hizmet ettiği için önemli bir rol oynar.
Benzer şekilde, cismin yüksekliğini ve generatrisinin uzunluğunu biliyorsanız, generatrisin karesi ile yüksekliğin karesi arasındaki farkın karekökünü çıkararak tabanının yarıçapını bulabilirsiniz.:
r=√l2 - h2
Ardından, yukarıdaki formülü kullanarak koninin hacmini hesaplayın.
Eğimli koni hacmi
Bir koninin hacminin formülü, bir dönüş gövdesinin tüm türleri için aynı olduğundan, hesaplamasındaki fark yükseklik arayışıdır.
Eğimli bir koninin yüksekliğini bulmak için, giriş verileri generatrisin uzunluğunu, tabanın yarıçapını ve merkez arasındaki mesafeyi içermelidir.taban ve gövde yüksekliğinin taban düzlemi ile kesişimi. Bunu bilerek, taban çapının, dik açılı bir üçgenin tabanı olacak kısmını (yükseklik, genratris ve taban düzleminden oluşan) kolayca hesaplayabilirsiniz. Sonra yine Pisagor teoremini kullanarak koninin yüksekliğini ve ardından hacmini hesaplayın.
