Okulda bile, her birimiz denklemleri ve elbette denklem sistemlerini inceledik. Ancak pek çok insan onları çözmenin birkaç yolu olduğunu bilmiyor. Bugün, ikiden fazla eşitlikten oluşan bir lineer cebirsel denklem sistemini çözmek için tüm yöntemleri ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.
Tarih
Bugün denklemleri ve sistemlerini çözme sanatının eski Babil ve Mısır'dan geldiği bilinmektedir. Bununla birlikte, eşitlikler, 1556'da İngiliz matematikçi Record tarafından tanıtılan "=" eşittir işaretinin ortaya çıkmasından sonra olağan formlarında ortaya çıktı. Bu arada, bu işaret bir nedenden dolayı seçildi: iki paralel eşit parça anlamına geliyor. Gerçekten de daha iyi bir eşitlik örneği yok.
Bilinmeyenlerin ve derecelerin işaretlerinin modern harf tanımlarının kurucusu Fransız matematikçi Francois Viet'tir. Ancak, tanımları bugününkinden önemli ölçüde farklıydı. Örneğin, bilinmeyen bir sayının karesini Q (lat. "quadratus") harfiyle ve küpü C harfiyle (lat. "cubus") gösterdi. Bu atamalar şimdi uygunsuz görünüyor, ancak daha sonralineer cebirsel denklem sistemlerini yazmanın en anlaşılır yoluydu.
Ancak, o zamanki çözüm yöntemlerinin dezavantajı, matematikçilerin yalnızca pozitif kökleri dikkate almasıydı. Belki de bu, negatif değerlerin pratik bir kullanımının olmamasından kaynaklanmaktadır. Öyle ya da böyle, 16. yüzyılda negatif kökleri ilk düşünenler İtalyan matematikçiler Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano ve Rafael Bombelli'ydi. Ve modern görünüm, ikinci dereceden denklemleri (disriminant aracılığıyla) çözmenin ana yöntemi, Descartes ve Newton'un çalışmaları sayesinde yalnızca 17. yüzyılda yaratıldı.
18. yüzyılın ortalarında, İsviçreli matematikçi Gabriel Cramer lineer denklem sistemlerini çözmeyi kolaylaştırmanın yeni bir yolunu buldu. Bu yöntem daha sonra onun adını aldı ve bu güne kadar kullanıyoruz. Ancak Cramer yönteminden biraz sonra bahsedeceğiz, ancak şimdilik lineer denklemleri ve bunları sistemden ayrı çözme yöntemlerini tartışacağız.
Doğrusal denklemler
Doğrusal denklemler, değişken(ler) içeren en basit eşitliklerdir. Cebirsel olarak sınıflandırılırlar. Lineer denklemler genel olarak şu şekilde yazılır: 2+…a x =b. Sistemleri ve matrisleri daha fazla derlerken bu formdaki temsillerine ihtiyacımız olacak.
Lineer cebirsel denklem sistemleri
Bu terimin tanımı şudur: ortak bilinmeyenleri ve ortak bir çözümü olan bir denklemler kümesidir. Kural olarak, okulda her şeye sistemler karar verirdi.iki hatta üç denklemle. Ancak dört veya daha fazla bileşenli sistemler var. Önce bunları nasıl yazacağımızı bulalım, böylece daha sonra çözmek için uygun olurlar. İlk olarak, tüm değişkenler uygun indeks: 1, 2, 3 vb. ile x olarak yazılırsa, lineer cebirsel denklem sistemleri daha iyi görünecektir. İkinci olarak, tüm denklemler kanonik forma indirgenmelidir: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
Bütün bu adımlardan sonra lineer denklem sistemlerine nasıl çözüm bulacağımızı konuşmaya başlayabiliriz. Matrisler bunun için çok faydalı olacaktır.
Matrisler
Bir matris, satırlar ve sütunlardan oluşan bir tablodur ve öğeleri kesişimlerinde bulunur. Bunlar belirli değerler veya değişkenler olabilir. Çoğu zaman, öğeleri belirtmek için alt simgeler altlarına yerleştirilir (örneğin, a11 veya a23). İlk dizin satır numarası ve ikincisi sütun numarası anlamına gelir. Matrislerde ve diğer herhangi bir matematiksel öğede çeşitli işlemler gerçekleştirebilirsiniz. Böylece:
1) Aynı boyuttaki tabloları çıkarın ve ekleyin.
2) Bir matrisi bir sayı veya vektörle çarpın.
3) Devir: Matris satırlarını sütunlara ve sütunları satırlara dönüştürün.
4) Birinin satır sayısı diğerinin sütun sayısına eşitse matrisleri çarpın.
Gelecekte bize faydalı olacakları için tüm bu teknikleri daha ayrıntılı olarak ele alacağız. Matrisleri çıkarmak ve eklemek çok kolaydır. Böyleaynı boyutta matrisler aldığımızda, bir tablonun her bir elemanı diğerinin her bir elemanına karşılık gelir. Böylece bu iki elemanı topluyoruz (çıkarıyoruz) (matrislerinde aynı yerde olmaları önemlidir). Bir matrisi bir sayı veya vektörle çarparken, matrisin her bir öğesini o sayı (veya vektör) ile çarpmanız yeterlidir. Transpozisyon çok ilginç bir süreç. Bazen gerçek hayatta, örneğin bir tabletin veya telefonun yönünü değiştirirken görmek çok ilginç. Masaüstündeki simgeler bir matristir ve konumu değiştirdiğinizde yer değiştirir ve genişler, ancak yüksekliği azalır.
Matris çarpımı gibi bir işleme bir kez daha bakalım. Bize faydası olmayacak olsa da, yine de bilmek faydalı olacaktır. İki matrisi ancak bir tablodaki sütun sayısı diğerindeki satır sayısına eşitse çarpabilirsiniz. Şimdi bir matrisin bir satırının öğelerini ve diğerinin karşılık gelen sütununun öğelerini alalım. Bunları birbiriyle çarparız ve sonra toplarız (örneğin, a11 ve a12 ile b öğelerinin çarpımıdır) 12ve b22 şuna eşit olacaktır: a11b12 + a 12 b22). Böylece tablonun bir elemanı elde edilir ve benzer bir yöntemle doldurulur.
Artık lineer denklem sisteminin nasıl çözüldüğüne bakmaya başlayabiliriz.
Gauss yöntemi
Bu konu okulda bile geçmeye başlar. "İki lineer denklem sistemi" kavramını iyi biliyoruz ve bunları nasıl çözeceğimizi biliyoruz. Peki ya denklem sayısı ikiden fazlaysa? Gauss yöntemi bu konuda bize yardımcı olacaktır.
Tabii ki, sistemden bir matris yaparsanız bu yöntemi kullanmak uygundur. Ama onu dönüştüremez ve en saf haliyle çözemezsiniz.
Peki bu yöntem lineer Gauss denklemleri sistemini nasıl çözüyor? Bu arada bu yöntem adının kendisinden alınmasına rağmen çok eski zamanlarda keşfedilmiştir. Gauss aşağıdakileri önerir: sonunda tüm kümeyi kademeli bir forma indirgemek için denklemlerle işlemler yapmak. Yani, ilk denklemden son denkleme doğru yukarıdan aşağıya (doğru yerleştirilmişse) bir bilinmeyenin azalması gerekir. Başka bir deyişle, diyelim ki üç denklem elde ettiğimizden emin olmalıyız: ilk - üç bilinmeyende, ikinci - iki, üçüncü - bir. Sonra son denklemden ilk bilinmeyeni buluruz, değerini ikinci veya birinci denklemde yerine koyarız ve sonra kalan iki değişkeni buluruz.
Cramer yöntemi
Bu yöntemde uzmanlaşmak için, toplama, matris çıkarma becerilerinde ustalaşmak çok önemlidir ve ayrıca belirleyicileri bulabilmeniz gerekir. Bu nedenle, tüm bunları zayıf bir şekilde yapıyorsanız veya nasıl yapılacağını hiç bilmiyorsanız, öğrenmek ve pratik yapmak zorunda kalacaksınız.
Bu yöntemin özü nedir ve lineer Cramer denklemleri sistemi elde edilecek şekilde nasıl yapılır? Her şey çok basit. Bir lineer cebirsel denklemler sisteminin sayısal (neredeyse her zaman) katsayılarından bir matris oluşturmamız gerekir. Bunu yapmak için, bilinmeyenlerin önündeki sayıları alın ve bunları sırayla düzenleyin.sisteme kaydedildikleri sıraya göre tablo. Sayının önünde bir "-" işareti varsa, negatif bir katsayı yazarız. Bu nedenle, ilk matrisi, eşittir işaretlerinden sonraki sayıları dahil etmeden, bilinmeyenlerin katsayılarından derledik (doğal olarak, denklem sadece sayı sağda olduğunda ve tüm bilinmeyenler ile kanonik forma indirgenmelidir). soldaki katsayılar). Ardından, her değişken için bir tane olmak üzere birkaç matris daha oluşturmanız gerekir. Bunu yapmak için, birinci matristeki katsayılı her sütunu, eşittir işaretinden sonra bir sayı sütunuyla değiştiririz. Böylece birkaç matris elde ederiz ve sonra onların determinantlarını buluruz.
Belirleyicileri bulduktan sonra mesele küçük. Bir başlangıç matrisimiz var ve farklı değişkenlere karşılık gelen birkaç sonuç matrisi var. Sistemin çözümlerini elde etmek için, ortaya çıkan tablonun determinantını ilk tablonun determinantına böleriz. Ortaya çıkan sayı, değişkenlerden birinin değeridir. Benzer şekilde, tüm bilinmeyenleri buluruz.
Diğer yöntemler
Doğrusal denklem sistemlerinin çözümünü elde etmek için birkaç yöntem daha vardır. Örneğin, ikinci dereceden bir denklem sistemine çözüm bulmak için kullanılan ve aynı zamanda matrislerin kullanımıyla da ilişkili olan Gauss-Jordan yöntemi. Lineer cebirsel denklemler sistemini çözmek için bir Jacobi yöntemi de vardır. Bir bilgisayara adapte edilmesi en kolay olanıdır ve bilgi işlemde kullanılır.
Zor vakalar
Karmaşıklık genellikle denklem sayısı değişken sayısından az olduğunda ortaya çıkar. O zaman kesin olarak söyleyebiliriz ki, ya sistem tutarsızdır (yani kökleri yoktur) ya da çözümlerinin sayısı sonsuzdur. İkinci durumumuz varsa, lineer denklem sisteminin genel çözümünü yazmamız gerekir. En az bir değişken içerecektir.
Sonuç
İşte sona geliyoruz. Özetlemek gerekirse: bir sistemin ve matrisin ne olduğunu analiz ettik, bir lineer denklem sistemine genel bir çözüm bulmayı öğrendik. Ayrıca diğer seçenekler de değerlendirildi. Lineer denklem sisteminin nasıl çözüldüğünü öğrendik: Gauss yöntemi ve Cramer yöntemi. Zor vakalardan ve çözüm bulmanın diğer yollarından bahsettik.
Aslında bu konu çok daha kapsamlıdır ve daha iyi anlamak istiyorsanız daha özel literatür okumanızı tavsiye ederiz.
