Bence diferansiyel denklemler gibi muhteşem bir matematiksel aracın tarihiyle başlamalıyız. Tüm diferansiyel ve integral hesaplar gibi, bu denklemler de 17. yüzyılın sonunda Newton tarafından icat edildi. Bu keşfini o kadar önemli buldu ki, bugün şuna benzer bir şekilde tercüme edilebilecek mesajı bile şifreledi: "Bütün doğa yasaları diferansiyel denklemlerle tanımlanır." Bu bir abartı gibi görünebilir, ancak bu doğru. Herhangi bir fizik, kimya, biyoloji kanunu bu denklemlerle tanımlanabilir.
Matematikçiler Euler ve Lagrange, diferansiyel denklemler teorisinin geliştirilmesine ve yaratılmasına büyük katkıda bulundular. Zaten 18. yüzyılda, üniversitelerin üst düzey derslerinde şu anda okuduklarını keşfettiler ve geliştirdiler.
Henri Poincare sayesinde diferansiyel denklemlerin çalışmasında yeni bir dönüm noktası başladı. Karmaşık bir değişkenin fonksiyonları teorisi ile birlikte, topolojinin temeline - uzay bilimi ve onun teorisine - önemli bir katkı yapan "niteliksel bir diferansiyel denklemler teorisi" yarattı.özellikler.
Diferansiyel denklemler nelerdir?
Birçok insan tek bir "diferansiyel denklem" ifadesinden korkar. Ancak bu yazımızda aslında adından da anlaşılacağı kadar karmaşık olmayan bu çok kullanışlı matematiksel aparatın tüm özünü detaylandıracağız. Birinci mertebeden diferansiyel denklemler hakkında konuşmaya başlamak için, öncelikle bu tanımla doğal olarak ilgili olan temel kavramlarla tanışmalısınız. Ve diferansiyelle başlayacağız.
Farklı
Birçoğu bu kavramı okuldan bilir. Ancak, ona daha yakından bakalım. Bir fonksiyonun grafiğini hayal edin. Onu öyle bir büyütebiliriz ki, herhangi bir parçası düz bir çizgi şeklini alacaktır. Üzerinde birbirine sonsuz derecede yakın iki nokta alıyoruz. Koordinatları (x veya y) arasındaki fark sonsuz küçük bir değer olacaktır. Buna diferansiyel denir ve dy (y'den fark) ve dx (x'ten fark) işaretleri ile gösterilir. Diferansiyelin sonlu bir değer olmadığını anlamak çok önemlidir ve bu onun anlamı ve ana işlevidir.
Ve şimdi, diferansiyel denklem kavramını açıklamada bizim için yararlı olacak bir sonraki öğeyi düşünmemiz gerekiyor. Bu türevdir.
Türev
Muhtemelen hepimiz okulda ve bu kavramı duyduk. Türev, bir fonksiyonun büyüme veya azalma oranı olarak adlandırılır. Ancak bu tanımdançok şey belirsizleşir. Türevi diferansiyeller cinsinden açıklamaya çalışalım. Birbirinden minimum uzaklıkta olan iki noktası olan bir fonksiyonun sonsuz küçük bir parçasına geri dönelim. Ancak bu mesafe için bile fonksiyon bir miktar değişmeyi başarıyor. Ve bu değişikliği açıklamak için, diferansiyellerin oranı olarak yazılabilecek bir türev buldular: f(x)'=df/dx.
Şimdi türevin temel özelliklerini göz önünde bulundurmaya değer. Sadece üç tane var:
- Toplamın veya farkın türevi, türevlerin toplamı veya farkı olarak temsil edilebilir: (a+b)'=a'+b' ve (a-b)'=a'-b'.
- İkinci özellik çarpma ile ilgilidir. Bir ürünün türevi, bir fonksiyonun ürünleri ile diğerinin türevinin toplamıdır: (ab)'=a'b+ab'.
- Farkın türevi şu eşitlikle yazılabilir: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
Bütün bu özellikler birinci mertebeden diferansiyel denklemlere çözüm bulmak için faydalı olacaktır.
Kısmi türevler de vardır. Diyelim ki x ve y değişkenlerine bağlı bir z fonksiyonumuz var. Bu fonksiyonun, örneğin x'e göre kısmi türevini hesaplamak için, y değişkenini bir sabit olarak almamız ve basitçe türev almamız gerekir.
İntegral
Diğer önemli bir kavram da integraldir. Aslında, bu türevin tam tersidir. Birkaç tür integral vardır, ancak en basit diferansiyel denklemleri çözmek için en önemsiz belirsiz integrallere ihtiyacımız var.
Peki integral nedir? Diyelim ki biraz bağımlılığımız var fx'ten. Ondan integrali alırız ve türevi orijinal fonksiyona eşit olan F (x) (genellikle ters türev olarak adlandırılır) fonksiyonunu alırız. Böylece F(x)'=f(x). Bundan ayrıca türevin integralinin orijinal fonksiyona eşit olduğu sonucu çıkar.
Diferansiyel denklemleri çözerken, çözümü bulmak için onları çok sık almanız gerekeceğinden, integralin anlamını ve işlevini anlamak çok önemlidir.
Denklemler yapılarına göre farklıdır. Bir sonraki bölümde, birinci mertebeden diferansiyel denklem türlerini ele alacağız ve sonra bunları nasıl çözeceğimizi öğreneceğiz.
Diferansiyel denklem sınıfları
"Diffury", içlerinde yer alan türevlerin sırasına göre bölünür. Böylece birinci, ikinci, üçüncü ve daha fazla düzen vardır. Ayrıca birkaç sınıfa ayrılabilirler: adi ve kısmi türevler.
Bu yazıda birinci mertebeden adi diferansiyel denklemleri ele alacağız. Ayrıca aşağıdaki bölümlerde örnekleri ve bunları çözmenin yollarını tartışacağız. Sadece ODE'leri ele alacağız, çünkü bunlar en yaygın denklem türleridir. Sıradan alt türlere ayrılır: ayrılabilir değişkenlerle, homojen ve heterojen. Ardından, birbirlerinden nasıl farklı olduklarını öğrenecek ve bunları nasıl çözeceğinizi öğreneceksiniz.
Ayrıca, bu denklemler birleştirilebilir, böylece birinci dereceden bir diferansiyel denklem sistemi elde ederiz. Ayrıca bu tür sistemleri ele alacağız ve nasıl çözüleceğini öğreneceğiz.
Neden sadece ilk siparişi düşünüyoruz? Çünkü basit bir tane ile başlamanız ve diferansiyel ile ilgili her şeyi açıklamanız gerekiyor.denklemler, bir makalede basitçe imkansızdır.
Ayrılabilir değişken denklemler
Bunlar belki de en basit birinci mertebeden diferansiyel denklemlerdir. Bunlar, şu şekilde yazılabilen örnekleri içerir: y'=f(x)f(y). Bu denklemi çözmek için, türevi diferansiyellerin oranı olarak gösteren bir formüle ihtiyacımız var: y'=dy/dx. Bunu kullanarak şu denklemi elde ederiz: dy/dx=f(x)f(y). Şimdi standart örnekleri çözme yöntemine dönebiliriz: değişkenleri parçalara ayıracağız yani y değişkeni olan her şeyi dy'nin bulunduğu kısma aktaracağız ve aynısını x değişkeni için de yapacağız. Her iki parçanın integralleri alınarak çözülen dy/f(y)=f(x)dx biçiminde bir denklem elde ederiz. İntegrali aldıktan sonra ayarlanması gereken sabiti unutmayın.
Herhangi bir "farklılığın" çözümü, x'in y'ye bağımlılığının bir fonksiyonudur (bizim durumumuzda) veya sayısal bir koşul varsa, cevap bir sayı biçimindedir. Özel bir örnek kullanarak çözümün tüm seyrini analiz edelim:
y'=2ysin(x)
Değişkenleri farklı yönlerde hareket ettirin:
dy/y=2sin(x)dx
Şimdi integral alıyoruz. Hepsi özel bir integral tablosunda bulunabilir. Ve şunu elde ederiz:
ln(y)=-2cos(x) + C
Gerekirse "y"yi "x"in bir fonksiyonu olarak ifade edebiliriz. Şimdi herhangi bir koşul verilmezse diferansiyel denklemimizin çözüldüğünü söyleyebiliriz. Bir koşul verilebilir, örneğin, y(n/2)=e. Sonra basitçe bu değişkenlerin değerini çözümde yerine koyarız vesabitin değerini bulunuz. Örneğimizde, 1'e eşittir.
Birinci dereceden homojen diferansiyel denklemler
Şimdi daha zor kısma geliyoruz. Birinci mertebeden homojen diferansiyel denklemler genel olarak aşağıdaki gibi yazılabilir: y'=z(x, y). İki değişkenin doğru fonksiyonunun homojen olduğuna ve iki bağımlılığa bölünemeyeceğine dikkat edilmelidir: x üzerinde z ve y üzerinde z. Denklemin homojen olup olmadığını kontrol etmek oldukça basittir: x=kx ve y=ky ikamelerini yaparız. Şimdi tüm k'leri iptal ediyoruz. Tüm bu harfler az altılırsa, denklem homojendir ve güvenle çözmeye devam edebilirsiniz. İleriye baktığımızda şunu söyleyelim: Bu örnekleri çözmenin mantığı da çok basit.
Bir ikame yapmamız gerekiyor: y=t(x)x, burada t, aynı zamanda x'e bağlı bir fonksiyondur. Sonra türevi ifade edebiliriz: y'=t'(x)x+t. Tüm bunları orijinal denklemimizde yerine koyarak ve basitleştirerek, ayrılabilir değişkenler t ve x ile bir örnek elde ederiz. Bunu çözeriz ve t(x) bağımlılığını elde ederiz. Bunu elde ettiğimizde, y=t(x)x'i önceki değiştirmemizin yerine koyarız. Sonra y'nin x'e bağımlılığını elde ederiz.
Daha açık hale getirmek için bir örneğe bakalım: xy'=y-xey/x.
Değiştirme ile kontrol edildiğinde her şey azalır. Yani denklem gerçekten homojen. Şimdi bahsettiğimiz başka bir ikame yapıyoruz: y=t(x)x ve y'=t'(x)x+t(x). Sadeleştirmeden sonra şu denklemi elde ederiz: t'(x)x=-et. Elde edilen örneği ayrılmış değişkenlerle çözeriz ve şunu elde ederiz: e-t=ln(Cx). Sadece t'yi y/x ile değiştirmemiz gerekiyor (sonuçta, eğer y=tx ise, o zaman t=y/x) ve şunu elde ederiz:cevap: e-y/x=ln(xC).
Birinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
Başka bir büyük konunun zamanı geldi. Birinci mertebeden homojen olmayan diferansiyel denklemleri analiz edeceğiz. Önceki ikisinden nasıl farklılar? Anlayalım. Birinci mertebeden lineer diferansiyel denklemler genel olarak şu şekilde yazılabilir: y' + g(x)y=z(x). z(x) ve g(x)'in sabit olabileceğini açıklamaya değer.
Ve şimdi bir örnek: y' - yx=x2.
Bunu çözmenin iki yolu var ve her ikisini de sırayla ele alacağız. Birincisi, keyfi sabitlerin varyasyon yöntemidir.
Denklemi bu şekilde çözmek için, önce sağ tarafı sıfıra eşitlemeli ve elde edilen denklemi çözmelisiniz, bu denklemi hareket ettirdikten sonra parçaları hareket ettirdikten sonra şu şekli alacaktır:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1ex2/2.
Şimdi C1 sabitini bulmamız gereken v(x) işleviyle değiştirmemiz gerekiyor.
y=vex2/2.
Türevi değiştirelim:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
Ve bu ifadeleri orijinal denklemde değiştirin:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
Sol tarafta iki terimin birbirini iptal ettiğini görebilirsiniz. Bazı örneklerde bu olmadıysa, yanlış bir şey yaptınız. Devam et:
v'ex2/2 =x2.
Şimdi değişkenleri ayırmamız gereken olağan denklemi çözüyoruz:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
Entegrali çıkarmak için, burada parçalara göre integral almamız gerekiyor. Ancak, bu makalemizin konusu değil. İlgileniyorsanız, bu tür eylemleri kendiniz nasıl gerçekleştireceğinizi öğrenebilirsiniz. Zor değil ve yeterli beceri ve dikkatle fazla zaman almaz.
Homojen olmayan denklemleri çözmenin ikinci yöntemine dönelim: Bernoulli yöntemi. Hangi yaklaşımın daha hızlı ve kolay olduğu size kalmış.
Yani, denklemi bu yöntemle çözerken bir yer değiştirme yapmamız gerekiyor: y=kn. Burada k ve n bazı x bağımlı fonksiyonlardır. O zaman türev şöyle görünecektir: y'=k'n+kn'. Her iki ikameyi de denklemde yerine koyun:
k'n+kn'+xkn=x2.
Grup:
k'n+k(n'+xn)=x2.
Şimdi parantez içindekileri sıfıra eşitlememiz gerekiyor. Şimdi, elde edilen iki denklemi birleştirirseniz, çözmeniz gereken bir birinci mertebeden diferansiyel denklemler sistemi elde edersiniz:
n'+xn=0;
k'n=x2.
İlk eşitlik normal bir denklem gibi çözülür. Bunu yapmak için değişkenleri ayırmanız gerekir:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
Entegrali alın ve şunu elde edin: ln(n)=x2/2. O zaman, n:
ifade edersek
n=ex2/2.
Şimdi elde edilen eşitliği sistemin ikinci denkleminde yerine koyuyoruz:
k'ex2/2=x2.
Ve dönüştürerek, ilk yöntemdekiyle aynı eşitliği elde ederiz:
dk=x2/ex2/2.
Daha ileri adımlara da geçmeyeceğiz. Birinci mertebeden diferansiyel denklemlerin çözümünün ilk başta önemli zorluklara neden olduğunu söylemeye değer. Ancak konunun derinlerine indikçe konu daha da güzelleşmeye başlıyor.
Diferansiyel denklemler nerede kullanılır?
Diferansiyel denklemler, neredeyse tüm temel yasalar diferansiyel formda yazıldığı için fizikte çok aktif olarak kullanılmaktadır ve gördüğümüz formüller bu denklemlerin çözümüdür. Kimyada aynı nedenle kullanılırlar: temel yasalar onlardan türetilir. Biyolojide, avcı-av gibi sistemlerin davranışını modellemek için diferansiyel denklemler kullanılır. Ayrıca, örneğin bir mikroorganizma kolonisinin üreme modellerini oluşturmak için de kullanılabilirler.
Diferansiyel denklemler hayatta nasıl yardımcı olacak?
Bu sorunun cevabı basit: Olmaz. Bir bilim adamı veya mühendis değilseniz, sizin için yararlı olmaları pek olası değildir. Ancak genel gelişim için diferansiyel denklemin ne olduğunu ve nasıl çözüldüğünü bilmek zarar vermez. Ve sonra bir oğul ya da kız sorusu "diferansiyel denklem nedir?" kafanızı karıştırmayacak. Peki, bir bilim adamı veya mühendis iseniz, o zaman bu konunun herhangi bir bilimdeki önemini kendiniz anlarsınız. Ama en önemli şey, şimdi "birinci mertebeden diferansiyel denklem nasıl çözülür?" sorusudur. her zaman cevap verebilirsiniz. Katılıyorum, her zaman güzeldirinsanların anlamaktan bile korktukları şeyi anladığında.
Temel öğrenme problemleri
Bu konuyu anlamadaki temel sorun, fonksiyonları entegre etme ve ayırt etme konusundaki zayıf beceridir. Türev ve integral almada kötüyseniz, muhtemelen daha fazlasını öğrenmeli, farklı entegrasyon ve türev alma yöntemlerinde ustalaşmalı ve ancak o zaman makalede açıklanan materyali incelemeye başlamalısınız.
Bazıları dx'in transfer edilebileceğini öğrendiklerinde şaşırırlar, çünkü daha önce (okulda) dy/dx kesrinin bölünemez olduğu belirtilmişti. Burada türevle ilgili literatürü okumanız ve denklemleri çözerken manipüle edilebilecek sonsuz küçük miktarların oranı olduğunu anlamanız gerekir.
Birçoğu, birinci mertebeden diferansiyel denklemlerin çözümünün genellikle alınamayan bir fonksiyon veya integral olduğunu hemen fark etmez ve bu yanılgı onlara çok fazla sorun verir.
Daha iyi anlamak için başka neler incelenebilir?
Örneğin matematiksel olmayan uzmanlık öğrencileri için matematik gibi özel ders kitaplarıyla diferansiyel matematik dünyasına daha fazla dalmaya başlamak en iyisidir. Ardından daha özel literatüre geçebilirsiniz.
Diferansiyel denklemlere ek olarak, integral denklemlerin de olduğu söylenmelidir, bu nedenle her zaman uğraşacak ve çalışacak bir şeyiniz olacaktır.
Sonuç
Umarız okuduktan sonraBu makale size diferansiyel denklemlerin ne olduğu ve nasıl doğru bir şekilde çözüleceği hakkında bir fikir verdi.
Her halükarda matematik hayatta bize bir şekilde faydalı olacaktır. Her insanın elleri olmadan olduğu gibi mantık ve dikkat geliştirir.
