Her zaman doğru bilgi, bir model oluşturmaya ve belirli durumlarda doğruluğunu kanıtlamaya dayanıyordu. Bu kadar uzun bir mantıksal akıl yürütme dönemi için, kuralların formülasyonları verildi ve Aristoteles bile bir "doğru akıl yürütme" listesi hazırladı. Tarihsel olarak, tüm çıkarımları somuttan çoğul (tümevarım) ve tam tersi (tümdengelim) olmak üzere iki türe ayırmak gelenekseldir. Özelden genele ve genelden özele kanıt türlerinin yalnızca ilişki içinde var olduğu ve birbirinin yerine geçemeyeceği belirtilmelidir.
Matematikte tümevarım
"Tümevarım" (tümevarım) teriminin Latince kökleri vardır ve kelimenin tam anlamıyla "rehberlik" olarak tercüme edilir. Daha yakından incelendikten sonra, kelimenin yapısı, yani Latince öneki - in- (içe doğru veya içeride olma eylemi anlamına gelir) ve -düksiyon - giriş ayırt edilebilir. İki tür olduğunu belirtmekte fayda var - tam ve eksik tümevarım. Tam form, belirli bir sınıfın tüm konularının incelenmesinden çıkarılan sonuçlarla karakterize edilir.
Tamamlanmamış - sonuçlar,sınıfın tüm maddelerine uygulanır, ancak yalnızca bazı ünitelerin çalışmasına dayanır.
Tam matematiksel tümevarım - bu işlevsel bağlantının bilgisine dayalı olarak doğal sayı dizilerinin ilişkileriyle işlevsel olarak ilişkili olan nesnelerin tüm sınıfı hakkında genel bir sonuca dayanan bir sonuç. Bu durumda ispat süreci üç aşamada gerçekleşir:
- Birincisinde, matematiksel tümevarım ifadesinin doğruluğu kanıtlanmıştır. Örnek: f=1, bu tümevarımın temelidir;
- Bir sonraki aşama, konumun tüm doğal sayılar için geçerli olduğu varsayımına dayanır. Yani, f=h, bu tümevarım hipotezidir;
- Üçüncü aşamada, önceki paragrafın konumunun doğruluğuna bağlı olarak f=h+1 sayısının konumunun geçerliliği kanıtlanır - bu bir tümevarım geçişi veya matematiksel tümevarım adımıdır. Bir örnek, sözde "domino ilkesi"dir: bir sıradaki ilk kemik düşerse (temel), o zaman sıradaki tüm taşlar düşer (geçiş).
Şaka ve ciddi
Algılama kolaylığı için, matematiksel tümevarım yöntemiyle çözüm örnekleri şaka problemleri olarak kınanır. Bu, Bekleme Sırası görevidir:
Davranış kuralları, bir erkeğin bir kadının önünde dönüş yapmasını yasaklar (böyle bir durumda kadın öne geçer). Bu açıklamaya göre, sıradaki son kişi bir erkekse, geri kalanların hepsi erkektir
Matematiksel tümevarım yönteminin çarpıcı bir örneği "Boyutsuz uçuş" problemidir:
Bunu kanıtlamak için gereklidirMinibüs herhangi bir sayıda kişiye uyar. Bir kişinin taşımaya zorlanmadan sığabileceği doğrudur (temel). Ama minibüs ne kadar dolu olursa olsun içine her zaman 1 yolcu sığar (indüksiyon adımı)
Tanıdık çevreler
Matematiksel tümevarımla problem ve denklem çözme örnekleri oldukça yaygındır. Bu yaklaşımın bir örneği olarak aşağıdaki sorunu göz önünde bulundurun.
Durum: düzlemde h daireleri var. Şekillerin herhangi bir düzenlemesi için, bunların oluşturduğu haritanın iki renkle doğru şekilde renklendirilebileceğini kanıtlamak gerekir.
Karar: h=1 için ifadenin doğruluğu açıktır, bu nedenle ispat h+1 daire sayısı için oluşturulacaktır.
İfadenin herhangi bir harita için doğru olduğunu ve düzlemde h+1 dairelerinin verildiğini varsayalım. Toplamdan dairelerden birini çıkararak, iki renkle (siyah beyaz) doğru renklendirilmiş bir harita elde edebilirsiniz.
Silinen bir daireyi geri yüklerken, her alanın rengi tersine değişir (bu durumda dairenin içinde). Sonuç, kanıtlanması gereken iki renkle doğru şekilde renklendirilmiş bir haritadır.
Doğal sayılarla örnekler
Matematiksel tümevarım yönteminin uygulaması aşağıda gösterilmiştir.
Çözüm örnekleri:
Herhangi bir h için eşitliğin doğru olacağını kanıtlayın:
12+22+32+…+h 2=h(h+1)(2h+1)/6.
Çözüm:
1. h=1 olsun, o zaman:
R1=12=1(1+1)(2+1)/6=1
Öyleyse h=1 için ifade doğrudur.
2. h=d varsayarsak, denklem şudur:
R1=d2=d(d+1)(2d+1)/6=1
3. h=d+1 olduğunu varsayarsak, şu çıkıyor:
Rd+1=(d+1) (d+2) (2d+3)/6
Rd+1=12+22+3 2+…+d2+(d+1)2=d(d+1)(2d+1))/6+ (d+1)2=(d(d+1)(2d+1)+6(d+1)2 )/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=
(d+1)(2d2+7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)(2d+3)/6.
Böylece h=d+1 için eşitliğin geçerliliği kanıtlanmıştır, bu nedenle ifade, matematiksel tümevarımla çözüm örneğinde gösterilen herhangi bir doğal sayı için doğrudur.
Görev
Koşul: h'nin herhangi bir değeri için 7h-1 ifadesinin 6'ya kalansız bölünebildiğinin kanıtı gereklidir.
Çözüm:
1. Bu durumda h=1 diyelim:
R1=71-1=6 (yani 6 ile kalansız bölünebilir)
Dolayısıyla, h=1 için ifade doğrudur;
2. h=d ve 7d-1 6 ile kalansız bölünebilir;
3. h=d+1 ifadesinin geçerliliğinin kanıtı şu formüldür:
Rd+1=7d+1 -1=7∙7d-7+6=7(7d-1)+6
Bu durumda, birinci terim, birinci paragrafın varsayımına göre 6'ya ve ikinci terim 6'ya bölünür.terim 6'dır. 7h-1'in herhangi bir doğal h için 6'ya kalansız bölünebildiği ifadesi doğrudur.
Yanlış Yargı
Çoğu zaman, kullanılan mantıksal yapıların yanlışlığından dolayı ispatlarda yanlış akıl yürütme kullanılır. Temel olarak bu, ispatın yapısı ve mantığı ihlal edildiğinde olur. Yanlış akıl yürütme örneği aşağıdaki resimdir.
Görev
Koşul: herhangi bir taş yığınının yığın olmadığına dair kanıt gereklidir.
Çözüm:
1. Diyelim ki h=1, bu durumda yığında 1 taş var ve ifade doğru (temel);
2. Bir taş yığınının bir yığın olmadığı h=d için doğru olsun (varsayım);
3. h=d+1 olsun, bundan bir taş daha eklendiğinde küme yığın olmayacaktır. Sonuç, varsayımın tüm doğal h için geçerli olduğunu öne sürüyor.
Hata, bir yığının kaç tane taş oluşturduğuna dair bir tanım olmaması gerçeğinde yatmaktadır. Böyle bir ihmal, matematiksel tümevarım yönteminde aceleci genelleme olarak adlandırılır. Bir örnek bunu açıkça göstermektedir.
Tümevarım ve mantık yasaları
Tarihsel olarak, tümevarım ve tümdengelim örnekleri her zaman el ele gider. Mantık, felsefe gibi bilimsel disiplinler onları karşıt olarak tanımlar.
Mantık yasası açısından tümevarımsal tanımlar gerçeklere dayanır ve öncüllerin doğruluğu ortaya çıkan ifadenin doğruluğunu belirlemez. Genellikle elde edilirElbette, ek araştırmalarla doğrulanması ve onaylanması gereken belirli bir olasılık ve inandırıcılık derecesine sahip sonuçlar. Mantıkta bir tümevarım örneği şu ifade olabilir:
Estonya'da kuraklık, Letonya'da kuraklık, Litvanya'da kuraklık.
Estonya, Letonya ve Litvanya B altık Devletleridir. Tüm B altık eyaletlerinde kuraklık.
Örnekten, tümevarım yöntemi kullanılarak yeni bilgi veya gerçeğin elde edilemeyeceği sonucuna varabiliriz. Tüm güvenebileceğiniz, sonuçların bazı olası doğruluklarıdır. Ayrıca, öncüllerin doğruluğu aynı sonuçları garanti etmez. Bununla birlikte, bu gerçek, tümevarımın tümdengelim arka bahçesinde yetiştiği anlamına gelmez: çok sayıda hüküm ve bilimsel yasa, tümevarım yöntemi kullanılarak doğrulanır. Matematik, biyoloji ve diğer bilimler örnek teşkil edebilir. Bu, çoğunlukla tam tümevarım yönteminden kaynaklanmaktadır, ancak bazı durumlarda kısmi de uygulanabilir.
Saygıdeğer tümevarım çağı, insan faaliyetinin neredeyse tüm alanlarına nüfuz etmesine izin verdi - bu bilim, ekonomi ve günlük sonuçlardır.
Bilimsel ortamda tümevarım
Tümevarım yöntemi titiz bir tutum gerektirir, çünkü çok fazla şey bütünün incelenen ayrıntılarının sayısına bağlıdır: incelenen sayı ne kadar büyükse, sonuç o kadar güvenilir olur. Bu özelliğe dayanarak, tüm olasıları izole etmek ve incelemek için tümevarımla elde edilen bilimsel yasalar, olasılık varsayımları düzeyinde uzun süre test edilir.yapısal elemanlar, bağlantılar ve etkiler.
Bilimde, tümevarımsal sonuç, rastgele hükümler dışında önemli özelliklere dayanır. Bu gerçek, bilimsel bilginin özellikleri ile bağlantılı olarak önemlidir. Bu, bilimdeki tümevarım örneklerinde açıkça görülmektedir.
Bilim dünyasında iki tür tümevarım vardır (çalışma şekliyle bağlantılı olarak):
- tümevarım-seçim (veya seçim);
- tümevarım - dışlama (eleme).
Birinci tür, bir sınıfın (alt sınıfların) farklı alanlarından metodik (dikkatli) örneklemesi ile karakterize edilir.
Bu tür indüksiyonun bir örneği şu şekildedir: gümüş (veya gümüş tuzları) suyu arındırır. Sonuç, uzun vadeli gözlemlere dayanmaktadır (bir tür doğrulama ve çürütme seçimi - seçim).
İkinci tür tümevarım, nedensel ilişkiler kuran ve özelliklerini karşılamayan koşulları, yani evrenselliği, zamansal sıranın gözetilmesini, gerekliliği ve belirsizliği dışlayan sonuçlara dayanır.
Felsefe açısından tümevarım ve tümdengelim
Tarihi retrospektife bakarsanız, "tümevarım" teriminden ilk kez Sokrates bahsedilmiştir. Aristoteles, felsefedeki tümevarım örneklerini daha yaklaşık bir terminolojik sözlükte tanımladı, ancak eksik tümevarım sorusu açık kalıyor. Aristotelesçi kıyasın zulmünden sonra, tümevarım yöntemi verimli ve doğa bilimlerinde mümkün olan tek yöntem olarak kabul edilmeye başlandı. Bacon, bağımsız bir özel yöntem olarak tümevarımın babası olarak kabul edilir, ancak ayırmayı başaramadı.çağdaşların talep ettiği gibi, tümdengelim yönteminden tümevarım.
Tümevarımın daha fazla geliştirilmesi, tümevarım teorisini dört ana yöntem konumundan ele alan J. Mill tarafından gerçekleştirildi: anlaşma, fark, artıklar ve karşılık gelen değişiklikler. Bugün listelenen yöntemlerin ayrıntılı olarak incelendiğinde tümdengelimli olması şaşırtıcı değildir.
Bacon ve Mill'in teorilerinin başarısızlığının farkındalığı, bilim adamlarını tümevarımın olasılıksal temelini araştırmaya yöneltti. Bununla birlikte, burada bile bazı aşırılıklar vardı: tüm olası sonuçlarla birlikte tümevarımı olasılık teorisine indirgemek için girişimlerde bulunuldu.
Tümevarım, belirli konu alanlarında pratik uygulamada ve tümevarım temelinin metrik doğruluğu nedeniyle bir güven oyu alır. Felsefede bir tümevarım ve tümdengelim örneği, evrensel yerçekimi yasası olarak kabul edilebilir. Yasanın keşfedildiği tarihte Newton, yüzde 4'lük bir doğrulukla onu doğrulayabildi. Ve iki yüz yıldan fazla bir süre sonra test edildiğinde, test aynı tümevarımsal genellemelerle gerçekleştirilmesine rağmen, doğruluk yüzde 0.0001 doğrulukla onaylandı.
Modern felsefe, deneyime, sezgiye başvurmadan, ancak "saf" akıl yürütmeyi kullanarak, zaten bilinenlerden yeni bilgi (veya hakikat) türetmeye yönelik mantıksal bir arzu tarafından dikte edilen tümdengelime daha fazla önem verir. Tümdengelim yönteminde gerçek öncüllere atıfta bulunulduğunda, her durumda çıktı doğru bir ifadedir.
Bu çok önemli özellik, endüktif yöntemin değerini gölgelememelidir. Tümevarımdan bu yana, deneyimin kazanımlarına dayanarak,aynı zamanda onu işlemenin bir aracı haline gelir (genelleme ve sistemleştirme dahil).
Ekonomide tümevarım uygulaması
Tümevarım ve tümdengelim, uzun süredir ekonomiyi inceleme ve gelişimini tahmin etme yöntemleri olarak kullanılmaktadır.
Tümevarım yönteminin kullanım alanı oldukça geniştir: tahmin göstergelerinin (kar, amortisman vb.) yerine getirilmesinin incelenmesi ve işletmenin genel durumunun değerlendirilmesi; gerçeklere ve bunların ilişkilerine dayalı etkili bir kurumsal tanıtım politikasının oluşturulması.
Aynı tümevarım yöntemi, Shewhart'ın çizelgelerinde kullanılır; burada, süreçlerin kontrollü ve yönetilmeyen olarak ayrıldığı varsayımı altında, kontrollü sürecin çerçevesinin etkin olmadığı belirtilir.
Bilimsel yasaların tümevarım yöntemi kullanılarak gerekçelendirildiğini ve doğrulandığını ve ekonominin genellikle matematiksel analiz, risk teorisi ve istatistiksel verileri kullanan bir bilim olduğu için, tümevarımın tümevarıma dahil edilmesi şaşırtıcı değildir. ana yöntemlerin listesi.
Aşağıdaki durum ekonomide tümevarım ve tümdengelim için bir örnek teşkil edebilir. Gıda (tüketici sepetinden) ve temel mal fiyatlarındaki artış, tüketiciyi devlette ortaya çıkan yüksek maliyet (indüksiyon) hakkında düşünmeye iter. Aynı zamanda, yüksek maliyet gerçeğinden, matematiksel yöntemler kullanılarak, bireysel mallar veya mal kategorileri için fiyat artışlarının göstergelerini türetmek (kesinti) mümkündür.
Çoğu zaman, yönetim personeli, yöneticiler ve ekonomistler tümevarım yöntemine başvurur. İçinişletmenin gelişimini, piyasanın davranışını, rekabetin sonuçlarını, bilginin analizine ve işlenmesine yönelik tümdengelimsel-tümdengelimsel bir yaklaşıma ihtiyaç duyulduğunu yeterli doğrulukla tahmin etmek mümkündü.
Yanlış yargılarla ilgili ekonomide tümevarımın açıklayıcı bir örneği:
-
şirketin karı %30 düştü;
rakip ürün yelpazesini genişletiyor;
başka hiçbir şey değişmedi;
- Rakibin üretim politikası %30 kar kesintisine neden oldu;
- dolayısıyla aynı üretim politikasını uygulama ihtiyacı.
Örnek, tümevarım yönteminin beceriksiz kullanımının işletmenin mahvolmasına nasıl katkıda bulunduğunun renkli bir örneğidir.
Psikolojide tümdengelim ve tümevarım
Bir yöntem olduğuna göre, mantıksal olarak, düzgün organize edilmiş bir düşünce de vardır (yöntemi kullanmak için). Zihinsel süreçleri, oluşumlarını, gelişimini, ilişkilerini, etkileşimlerini inceleyen bir bilim olarak psikoloji, tümdengelim ve tümevarımın tezahür biçimlerinden biri olarak "tümdengelimli" düşünmeye dikkat eder. Ne yazık ki, İnternet'teki psikoloji sayfalarında, tümdengelim-endüktif yöntemin bütünlüğü için pratikte hiçbir gerekçe yoktur. Profesyonel psikologların tümevarım belirtileriyle veya daha doğrusu hatalı sonuçlarla karşılaşma olasılığı daha yüksek olsa da.
Yanlış yargıların bir örneği olarak psikolojide tümevarımın bir örneği, şu ifadedir: Annem bir aldatıcıdır, bu nedenle tüm kadınlar aldatıcıdır. Hayattan daha da "hatalı" tümevarım örnekleri öğrenebilirsiniz:
- Bir öğrenci matematikte ikili aldıysa hiçbir şey yapamaz;
- o bir aptal;
- akıllı;
- Her şeyi yapabilirim;
- ve kesinlikle rastgele ve bazen önemsiz mesajlara dayanan diğer birçok değer yargısı.
Not: Bir kişinin yargılarının yanlışlığı saçmalık noktasına ulaştığında, psikoterapist için bir iş cephesi vardır. Bir uzman randevusunda bir indüksiyon örneği:
“Hasta, herhangi bir tezahürde kırmızı rengin sadece kendisi için tehlike taşıdığından kesinlikle emindir. Sonuç olarak, bir kişi bu renk şemasını hayatından mümkün olduğunca dışladı. Ev ortamında, rahat yaşamak için birçok fırsat vardır. Tüm kırmızı öğeleri reddedebilir veya farklı bir renk şemasında yapılmış analoglarla değiştirebilirsiniz. Ancak halka açık yerlerde, işte, mağazada - bu imkansız. Bir stres durumuna giren hasta, her seferinde başkaları için tehlikeli olabilecek tamamen farklı duygusal durumların bir "gelgiti" yaşar."
Bu tümevarım örneğine bilinçsizce "sabit fikirler" denir. Bu, zihinsel olarak sağlıklı bir kişinin başına gelirse, zihinsel aktivite organizasyonu eksikliğinden bahsedebiliriz. Tümdengelimli düşüncenin temel gelişimi, takıntılı durumlardan kurtulmanın bir yolu olabilir. Diğer durumlarda, psikiyatristler bu tür hastalarla çalışır.
Yukarıdaki tümevarım örnekleri, “yasanın cehaletininsonuçlardan (hatalı yargılardan) kurtarır.”
Tümdengelimli akıl yürütme konusunda çalışan psikologlar, insanların bu yöntemde ustalaşmasına yardımcı olmak için tasarlanmış bir öneriler listesi hazırladı.
İlk öğe problem çözmektir. Görüldüğü gibi matematikte kullanılan tümevarım biçimi "klasik" sayılabilir ve bu yöntemin kullanılması zihnin "disipline" katkıda bulunur.
Tümdengelimli düşünmenin gelişmesi için bir sonraki koşul, ufukların genişlemesidir (açıkça düşünenler, açıkça belirtirler). Bu tavsiye, “hastaları” bilim ve bilgi hazinelerine (kütüphaneler, web siteleri, eğitim girişimleri, seyahat vb.) yönlendirir.
Doğruluk sonraki öneridir. Sonuçta, tümevarım yöntemlerini kullanma örneklerinden açıkça görülüyor ki, birçok açıdan ifadelerin doğruluğunun garantisidir.
Zihnin esnekliğini atlamadılar, sorunun çözümünde farklı yollar ve yaklaşımlar kullanma olasılığını ima etmenin yanı sıra olayların gelişiminin değişkenliğini de hesaba kattılar.
Ve elbette, deneysel deneyimin ana kaynağı olan gözlem.
Sözde "psikolojik indüksiyon"dan özel olarak bahsedilmelidir. Bu terim, nadiren de olsa internette bulunabilir. Tüm kaynaklar, bu terimin tanımının en azından kısa bir formülasyonunu vermez, ancak yeni bir türetim türü olarak öneri veya bazı akıl hastalıkları biçimlerini sunarken "hayattan örnekler"e atıfta bulunur. Bunlar insan ruhunun aşırı durumlarıdır. Yukarıdakilerin hepsinden, yanlış (çoğunlukla doğru olmayan) öncüllere dayalı bir “yeni terim” türetme girişiminin, deneyciyi hatalı (veya aceleci) bir ifade almaya mahkûm ettiği açıktır.
1960 deneylerine yapılan atıfların (yer, deneyi yapanların isimleri, denek örnekleri ve en önemlisi deneyin amacı belirtilmeden) en hafif tabirle göründüğüne dikkat edilmelidir., inandırıcı olmayan ve beynin tüm algı organlarını atlayarak bilgiyi algıladığı iddiası (bu durumda “etkilenir” ifadesi daha organik olarak uyacaktır), bu ifadenin yazarının saflığı ve eleştirisizliği hakkında düşündürür.
Sonuç yerine
Bilimlerin Kraliçesi - matematik, bilerek tümevarım ve tümdengelim yönteminin tüm olası rezervlerini kullanır. İncelenen örnekler, en doğru ve güvenilir yöntemlerin bile yüzeysel ve beceriksiz (dedikleri gibi düşüncesizce) uygulanmasının her zaman hatalı sonuçlara yol açtığı sonucuna varmamızı sağlar.
Kitle bilincinde, tümdengelim yöntemi, mantıksal yapılarında genellikle tümevarım örneklerini gerekli durumlarda tümdengelim kullanarak kullanan ünlü Sherlock Holmes ile ilişkilidir.
Makale, bu yöntemlerin çeşitli bilimlerde ve insan yaşamının alanlarında uygulanmasına ilişkin örnekleri inceledi.
