İdeal gaz moleküllerinin ortalama karekök hızının formülü. Görev örneği

2024 Yazar: Angel Austin | [email protected]. Son düzenleme: 2023-12-17 05:44

Moleküler-kinetik teori, sistemin mikroskobik davranışını analiz ederek ve istatistiksel mekanik yöntemlerini kullanarak, termodinamik sistemin önemli makroskopik özelliklerini elde etmeyi sağlar. Sistemin sıcaklığı ile ilgili olan mikroskobik özelliklerden biri, gaz moleküllerinin ortalama kare hızıdır. Bunun formülünü veriyoruz ve yazıda ele alıyoruz.

İdeal gaz

Gaz moleküllerinin ikinci dereceden ortalama hızının formülünün özellikle ideal bir gaz için verileceğini hemen not edelim. Bunun altında, fizikte, parçacıkların (atomlar, moleküller) birbirleriyle etkileşime girmediği (kinetik enerjileri, etkileşimin potansiyel enerjisini birkaç büyüklük mertebesiyle aşıyor) ve boyutları olmayan böyle bir çok parçacıklı sistem kabul edilir, yani, sonlu bir kütleye sahip noktalardır (parçacıklar arasındaki mesafe, boyutlarından birkaç büyüklük sırası daha büyüktür.doğrusal).

Kimyasal olarak nötr moleküllerden veya atomlardan oluşan, düşük basınç altında ve yüksek sıcaklığa sahip herhangi bir gaz ideal olarak kabul edilebilir. Örneğin, hava ideal bir gazdır, ancak su buharı artık böyle değildir (su molekülleri arasında güçlü hidrojen bağları hareket eder).

Moleküler Kinetik Teori (MKT)

İdeal bir gazın MKT çerçevesinde çalışılmasında iki önemli sürece dikkat etmelisiniz:

1. Gaz, moleküller ve atomlar onlarla çarpıştığında momentumu, içinde bulunduğu kabın duvarlarına aktararak basınç oluşturur. Bu tür çarpışmalar tamamen esnektir.
2. Gazın molekülleri ve atomları, dağılımı Maxwell-Boltzmann istatistiklerine uyan farklı hızlarla her yöne rastgele hareket eder. İhmal edilebilir boyutları ve aralarındaki büyük mesafeler nedeniyle parçacıklar arasındaki çarpışma olasılığı son derece düşüktür.

Gaz parçacıklarının bireysel hızları birbirinden çok farklı olmasına rağmen, sistem üzerinde herhangi bir dış etki yoksa bu değerin ortalama değeri zaman içinde sabit kalır. Gaz moleküllerinin ortalama kare hızı formülü, kinetik enerji ve sıcaklık arasındaki ilişki göz önüne alınarak elde edilebilir. Bu konuyu yazının bir sonraki paragrafında ele alacağız.

İdeal gaz moleküllerinin ikinci dereceden ortalama hızı için formülün türetilmesi

Her öğrenci, m kütleli bir cismin öteleme hareketinin kinetik enerjisinin aşağıdaki gibi hesaplandığını fiziğin genel dersinden bilir:

E_k=mv²/2

V, doğrusal hızdır. Öte yandan, bir parçacığın kinetik enerjisi, dönüşüm faktörü k_B(Boltzmann sabiti) kullanılarak mutlak sıcaklık T cinsinden de belirlenebilir. Uzayımız üç boyutlu olduğu için E_k şu şekilde hesaplanır:

E_k=3/2k_BT.

Her iki eşitliğe eşdeğer ve onlardan v'yi ifade ederek, ikinci dereceden bir ideal gazın ortalama hızının formülünü elde ederiz:

mv²/2=3/2k_BT=>

v=√(3k_BT/m).

Bu formülde, m - gaz parçacığının kütlesidir. Değeri küçük olduğundan (≈ 10^-27kg) pratik hesaplamalarda kullanılması sakıncalıdır. Bu rahatsızlıktan kaçınmak için evrensel gaz sabiti R'yi ve mol kütlesi M'yi hatırlayalım. k_B ile R sabiti şu eşitlikle ilişkilidir:

k_B=R/N_A.

M'nin değeri şu şekilde tanımlanır:

M=mN_A.

Her iki eşitliği de hesaba katarak, moleküllerin ortalama karekök hızı için aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

v=√(3RT/M).

Dolayısıyla, gaz parçacıklarının ortalama kare hızı, mutlak sıcaklığın kareköküyle doğru orantılı ve molar kütlenin kareköküyle ters orantılıdır.

Problem çözme örneği

Soluduğumuz havanın %99 nitrojen ve oksijen olduğunu herkes bilir. 15 _{o sıcaklıkta N}2 _{ve O}2 ^{moleküllerinin ortalama hızlarındaki farklılıkları belirlemek gerekir.} C.

Bu sorun sırayla çözülecektir. İlk olarak, sıcaklığı mutlak birimlere çeviriyoruz, elimizde:

T=273, 15 + 15=288, 15 K.

Şimdi, incelenen her molekül için molar kütleleri yazın:

M_N2=0,028 kg/mol;

M_O2=0,032 kg/mol.

Molar kütlelerin değerleri biraz farklı olduğu için aynı sıcaklıktaki ortalama hızları da birbirine yakın olmalıdır. V formülünü kullanarak nitrojen ve oksijen molekülleri için aşağıdaki değerleri elde ederiz:

v (N₂)=√(38, 314288, 15/0, 028)=506.6 m/s;

v (O₂)=√(38, 314288, 15/0, 032)=473.9 m/s.

Nitrojen molekülleri oksijen moleküllerinden biraz daha hafif olduğu için daha hızlı hareket ederler. Ortalama hız farkı:

v (N₂) - v (O₂)=506.6 - 473.9=32,7 m/ s.

Sonuç olarak elde edilen değer, nitrojen moleküllerinin ortalama hızının yalnızca %6,5'idir. Düşük sıcaklıklarda bile gazlardaki moleküllerin yüksek hızlarına dikkat çekiyoruz.