Bir piramidin alanı nasıl hesaplanır: taban, yan ve dolu?

2024 Yazar: Angel Austin | [email protected]. Son düzenleme: 2023-12-17 05:44

Matematikte sınava hazırlanırken öğrencilerin cebir ve geometri bilgilerini sistemleştirmeleri gerekir. Bilinen tüm bilgileri birleştirmek istiyorum, örneğin bir piramidin alanının nasıl hesaplanacağı. Ayrıca taban ve yan yüzlerden başlayarak tüm yüzey alanına kadar. Yan yüzlerde durum açıksa, üçgen oldukları için taban her zaman farklıdır.

Piramidin tabanının alanı nasıl bulunur?

Kesinlikle herhangi bir şekil olabilir: rastgele bir üçgenden bir n-gon'a. Ve bu taban, açı sayısındaki farka ek olarak, normal bir şekil veya yanlış bir şekil olabilir. Okul çağındaki çocukların ilgisini çeken KULLANIM görevlerinde, yalnızca tabanında doğru rakamların yer aldığı görevler vardır. Bu nedenle sadece onlardan bahsedeceğiz.

Düzenli Üçgen

Bu eşkenardır. Tüm tarafların eşit olduğu ve "a" harfi ile gösterilen biri. Bu durumda, piramidin tabanının alanı şu formülle hesaplanır:

S=(a2√3) / 4.

Kare

Alanını hesaplama formülü en basitidir,burada "a" yine taraftır:

S=a2.

Keyfi düzenli n-gon

Bir çokgenin kenarı aynı atamaya sahiptir. Köşe sayısı için Latince n harfi kullanılır.

S=(na2) / (4tg (180º/n)).

Yatay ve toplam yüzey alanı nasıl hesaplanır?

Taban düzgün bir şekil olduğundan, piramidin tüm kenarları eşittir. Ayrıca, yan kenarlar eşit olduğu için her biri bir ikizkenar üçgendir. Ardından, piramidin yan alanını hesaplamak için, aynı monomiallerin toplamından oluşan bir formüle ihtiyacınız vardır. Terim sayısı tabanın kenar sayısına göre belirlenir.

İkizkenar üçgenin alanı, tabanın çarpımının yarısının yükseklikle çarpıldığı formülle hesaplanır. Piramitteki bu yüksekliğe apothem denir. Tanımı "A" dır. Yanal yüzey alanı için genel formül:

S=½ PA, burada P, piramidin tabanının çevresidir.

Tabanın kenarlarının bilinmediği, ancak yan kenarların (c) ve tepe noktasındaki düz açının (α) verildiği durumlar vardır. Daha sonra piramidin yan alanını hesaplamak için bu formülü kullanması gerekiyor:

S=n/2in2 sin α.

Sorun 1

Koşul. Tabanı bir kenarı 4 cm olan bir eşkenar üçgen ise ve özlü söz √3 cm ise piramidin toplam alanını bulun.

Karar. OnunTabanın çevresini hesaplayarak başlamanız gerekir. Bu normal bir üçgen olduğundan, o zaman P \u003d 34 \u003d 12 cm Özdeyiş bilindiğinden, tüm yan yüzeyin alanını hemen hesaplayabilirsiniz: ½12√3=6 √3 cm 2.

Tabandaki bir üçgen için şu alan değerini elde edersiniz: (4²√3) / 4=4√3 cm^2.

Toplam alanı belirlemek için, elde edilen iki değeri toplamanız gerekir: 6√3 + 4√3=10√3 cm2.

Cevap. 10√3cm2.

Problem 2

Koşul. Düzenli bir dörtgen piramit var. Taban kenarının uzunluğu 7 mm, yan kenarı 16 mm'dir. Yüzey alanını bilmeniz gerekiyor.

Karar. Çokyüzlü dörtgen ve düzenli olduğundan, tabanı karedir. Taban ve yan yüzlerin alanlarını öğrendikten sonra piramidin alanını hesaplamak mümkün olacaktır. Kare formülü yukarıda verilmiştir. Ve yan yüzlerde üçgenin tüm kenarları bilinmektedir. Bu nedenle, alanlarını hesaplamak için Heron formülünü kullanabilirsiniz.

İlk hesaplamalar basittir ve şu sayıya yol açar: 49 mm². İkinci değer için yarı çevreyi hesaplamanız gerekecek: (7 + 162): 2=19,5 mm. Artık bir ikizkenar üçgenin alanını hesaplayabilirsiniz: √(19.5(19.5-7)(19.5-16)²)=√2985.9375=54.644 mm ^{2. Bu tür sadece dört üçgen vardır, bu nedenle son sayıyı hesaplarken onu 4 ile çarpmanız gerekir.}

Görünüşe göre: 49 + 454, 644=267, 576 mm2.

Cevap. İstenen değer 267, 576mm2.

Problem 3

Koşul. Düzenli bir dörtgen piramit için alanı hesaplamanız gerekir. Karenin kenarını - 6 cm ve yüksekliği - 4 cm bilir.

Karar. En kolay yol, formülü çevrenin ve özdeyişin çarpımı ile kullanmaktır. İlk değeri bulmak kolaydır. İkincisi biraz daha zor.

Pisagor teoremini hatırlamamız ve bir dik üçgeni düşünmemiz gerekecek. Piramidin yüksekliğinden ve hipotenüs olan özdeyişten oluşur. İkinci ayak karenin kenarının yarısına eşittir, çünkü polihedronun yüksekliği ortasına düşer.

İstenen özdeyiş (bir dik üçgenin hipotenüsü) √(3² + 4^{2)=5 (cm).}

Artık gerekli değeri hesaplayabilirsiniz: ½(46)5+6²=96 (bkz.^2).

Cevap. 96 cm2.

Problem 4

Koşul. Düzenli bir altıgen piramit verildi. Tabanının kenarları 22 mm, yan nervürler 61 mm'dir. Bu polihedronun yan yüzey alanı nedir?

Karar. İçindeki mantık, 2 numaralı problemde açıklananla aynıdır. Sadece tabanında kare olan bir piramit vardı ve şimdi o bir altıgen.

Öncelikle taban alanı yukarıdaki formül kullanılarak hesaplanır: (622²) / (4tg (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 cm^2.

Şimdi bir ikizkenar üçgenin yan yüzü olan yarım çevresini bulmanız gerekiyor. (22 + 612): 2 \u003d 72 cm, her birinin alanını hesaplamak için kalırüçgen, ve sonra onu altı ile çarpın ve taban için çıkana ekleyin.

Heron formülüyle hesaplama: √(72(72-22)(72-61)²)=√435600=660 cm² . Yan yüzey alanını verecek hesaplamalar: 6606=3960 cm². Geriye tüm yüzeyi bulmak için bunları eklemek kalıyor: 5217, 47≈5217 cm^2.

Cevap. Taban - 726√3cm², yan yüzey - 3960cm², toplam alan - 5217cm^2.