Maclaurin serisi ve bazı fonksiyonların genişletilmesi

2024 Yazar: Angel Austin | [email protected]. Son düzenleme: 2023-12-17 05:44

Yüksek matematik öğrencileri, verilen serilerin yakınsaklık aralığına ait bazı kuvvet serilerinin toplamının sürekli ve sınırsız sayıda farklılaştırılmış fonksiyon olduğunun farkında olmalıdır. Soru ortaya çıkıyor: belirli bir f(x) fonksiyonunun bazı kuvvet serilerinin toplamı olduğunu iddia etmek mümkün müdür? Yani, f(x) fonksiyonu hangi koşullar altında bir kuvvet serisi ile temsil edilebilir? Bu sorunun önemi, f(x) fonksiyonunu yaklaşık olarak kuvvet serilerinin ilk birkaç teriminin toplamı ile, yani bir polinomla değiştirmenin mümkün olması gerçeğinde yatmaktadır. Bir fonksiyonun oldukça basit bir ifadeyle - bir polinomla böyle bir şekilde değiştirilmesi, matematiksel analizin bazı problemlerini çözerken de uygundur, yani: integralleri çözerken, diferansiyel denklemleri hesaplarken, vb.

Sonuncusu da dahil olmak üzere (n+1)'inci mertebeye kadar türevlerin komşulukta hesaplanabildiği bazı f(х) fonksiyonu için kanıtlanmıştır (α _{- R; x}0 _{+ R) x=α noktasında formül geçerlidir:}

Bu formül, adını ünlü bilim adamı Brook Taylor'dan almıştır. Bir öncekinden elde edilen seriye Maclaurin serisi denir:

Bir Maclaurin serisinde genişlemeyi mümkün kılan kural:

1. Birinci, ikinci, üçüncü… sıraların türevlerini belirleyin.
2. x=0'daki türevlerin neye eşit olduğunu hesaplayın.
3. Bu fonksiyon için Maclaurin serisini kaydedin ve ardından yakınsama aralığını belirleyin.
4. Maclaurin formülünün geri kalanının bulunduğu aralığı (-R;R) belirleyin

R (x) -> n -> sonsuz için 0. Varsa, içindeki f(x) işlevi Maclaurin serisinin toplamı ile çakışmalıdır.

Şimdi bireysel işlevler için Maclaurin serisini düşünün.

1. İlki f(x)=e^x olacaktır. Elbette, özelliklerine göre, böyle bir fonksiyonun çeşitli derecelerde türevleri vardır ve f^(k)(x)=e^x, burada k eşittir doğal sayılar. x=0 yerine koyalım. f^(k)(0)=e⁰=1, k=1, 2… elde ederiz ^{şöyle görünür:}

2. f(x)=sin x fonksiyonu için Maclaurin serisi. Tüm bilinmeyenler için fonksiyonun f^'(x)=cos x=sin(x+n/2), f ^{'' dışında türevleri olacağını hemen netleştirin. (x)=-sin x=günah(x+2n/2)…, f}(k)^{(x)=günah(x+k n/2), burada k herhangi bir doğal sayıya eşittir. Yani basit hesaplamalar yaptıktan sonra f(x)=sin x serisinin şöyle görüneceği sonucuna varabiliriz:}

3. Şimdi f(x)=cos x fonksiyonunu düşünmeye çalışalım. O tüm bilinmeyenler içinkeyfi sıranın türevleri vardır ve |f^(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Yine, bazı hesaplamalar yaptıktan sonra, f(x)=cos x serisinin şöyle görüneceğini elde ederiz:

Dolayısıyla, Maclaurin serisinde genişletilebilecek en önemli fonksiyonları listeledik, ancak bazı fonksiyonlar için Taylor serileri ile destekleniyorlar. Şimdi onları listeleyeceğiz. Taylor ve Maclaurin serilerinin yüksek matematikte seri çözme pratiğinin önemli bir parçası olduğunu da belirtmekte fayda var. Yani, Taylor serisi.

1. Birincisi f-ii f(x)=ln(1+x) için bir dizi olacaktır. Önceki örneklerde olduğu gibi, bize f (x)=ln (1 + x) verildiğinde, Maclaurin serisinin genel formunu kullanarak bir seri ekleyebiliriz. ancak bu fonksiyon için Maclaurin serisi çok daha basit bir şekilde elde edilebilir. Belirli bir geometrik diziyi entegre ettikten sonra, bu örneğin f(x)=ln(1+x) için bir dizi elde ederiz:

2. Ve makalemizde son olacak olan ikincisi, f (x) u003d arctg x için bir dizi olacak. [-1;1] aralığına ait x için açılım geçerlidir:

İşte bu. Bu makale, yüksek matematikte, özellikle ekonomik ve teknik üniversitelerde en sık kullanılan Taylor ve Maclaurin serilerini inceledi.