Fourier serisi, belirli bir periyoda sahip, keyfi olarak alınan bir fonksiyonun bir seri olarak temsilidir. Genel olarak bu çözüm, bir elemanın ortogonal olarak ayrıştırılması olarak adlandırılır. Bir Fourier serisindeki fonksiyonların genişletilmesi, bir argüman ve evrişimde bir ifadeyi integrasyon, türevlendirme ve kaydırmanın yanı sıra bu dönüşümün özelliklerinden dolayı çeşitli problemleri çözmek için oldukça güçlü bir araçtır.
Yüksek matematiğe ve Fransız bilim adamı Fourier'in çalışmalarına aşina olmayan bir kişi, büyük olasılıkla bu "sıraların" ne olduğunu ve ne için olduğunu anlamayacaktır. Bu arada, bu dönüşüm hayatımızda oldukça yoğun hale geldi. Sadece matematikçiler tarafından değil, aynı zamanda fizikçiler, kimyagerler, doktorlar, gökbilimciler, sismologlar, oşinograflar ve diğerleri tarafından da kullanılır. Zamanının ötesinde bir keşif yapan büyük Fransız bilim insanının eserlerine gelin yakından bakalım.
İnsan ve Fourier Dönüşümü
Fourier serileri, Fourier dönüşümünün (analiz ve diğerleriyle birlikte) yöntemlerinden biridir. Bu süreç, bir kişi her ses duyduğunda gerçekleşir. Kulağımız sesi otomatik olarak dönüştürürdalgalar. Elastik bir ortamdaki temel parçacıkların salınım hareketleri, farklı yüksekliklerdeki tonlar için ses seviyesinin ardışık değerlerinin sıralarına (spektrum boyunca) ayrıştırılır. Daha sonra beyin bu verileri bize tanıdık gelen seslere dönüştürür. Bütün bunlar, arzumuza veya bilincimize ek olarak kendi başına olur, ancak bu süreçleri anlamak için yüksek matematik çalışmak birkaç yıl alacaktır.
Fourier Dönüşümü hakkında daha fazla bilgi
Fourier dönüşümü analitik, sayısal ve diğer yöntemlerle gerçekleştirilebilir. Fourier serileri, okyanus gelgitlerinden ve ışık dalgalarından güneş döngülerine (ve diğer astronomik nesnelere) kadar herhangi bir salınım sürecini ayrıştırmanın sayısal yolunu ifade eder. Bu matematiksel teknikleri kullanarak, minimumdan maksimuma veya tam tersine giden bir dizi sinüzoidal bileşen olarak herhangi bir salınım sürecini temsil eden fonksiyonları analiz etmek mümkündür. Fourier dönüşümü, belirli bir frekansa karşılık gelen sinüzoidlerin fazını ve genliğini tanımlayan bir fonksiyondur. Bu süreç, termal, ışık veya elektrik enerjisinin etkisi altında meydana gelen dinamik süreçleri tanımlayan çok karmaşık denklemleri çözmek için kullanılabilir. Ayrıca Fourier serileri, tıp, kimya ve astronomide elde edilen deneysel gözlemlerin doğru bir şekilde yorumlanmasını mümkün kılan karmaşık salınım sinyallerinde sabit bileşenleri izole etmeyi mümkün kılmıştır.
Tarihsel arka plan
Bu teorinin kurucu babasıJean Baptiste Joseph Fourier, Fransız bir matematikçidir. Bu dönüşüm daha sonra onun adını aldı. Başlangıçta, bilim adamı yöntemini, ısı iletimi mekanizmalarını - ısının katılarda yayılması - incelemek ve açıklamak için uyguladı. Fourier, bir ısı dalgasının başlangıçtaki düzensiz dağılımının, her birinin kendi minimum ve maksimum sıcaklığının yanı sıra kendi fazına sahip olacağı en basit sinüzoidlere ayrıştırılabileceğini öne sürdü. Bu durumda, bu tür bileşenlerin her biri minimumdan maksimuma doğru ölçülecektir ve bunun tersi de geçerlidir. Eğrinin üst ve alt tepe noktalarını ve ayrıca harmoniklerin her birinin fazını tanımlayan matematiksel fonksiyon, sıcaklık dağılım ifadesinin Fourier dönüşümü olarak adlandırılır. Teorinin yazarı, matematiksel olarak tanımlanması zor olan genel dağılım fonksiyonunu, orijinal dağılıma ekleyen, kullanımı çok kolay bir dizi periyodik kosinüs ve sinüs fonksiyonuna indirgemiştir.
Dönüşüm ilkesi ve çağdaşların görüşleri
Bilimin çağdaşları - on dokuzuncu yüzyılın başlarında önde gelen matematikçiler - bu teoriyi kabul etmediler. Temel itiraz, Fourier'in düz bir çizgiyi veya süreksiz bir eğriyi tanımlayan süreksiz bir fonksiyonun sürekli olan sinüsoidal ifadelerin toplamı olarak gösterilebileceği iddiasıydı. Örnek olarak, Heaviside'ın "adımını" ele alalım: değeri, boşluğun solunda sıfır ve sağında birdir. Bu fonksiyon, devre kapalıyken elektrik akımının zaman değişkenine bağımlılığını tanımlar. O zamanki teorinin çağdaşları böyle bir şeyle hiç karşılaşmamıştı.süreksiz ifadenin üstel, sinüzoid, doğrusal veya ikinci dereceden gibi sürekli, sıradan işlevlerin bir kombinasyonu ile tanımlanacağı bir durum.
Fourier teorisinde Fransız matematikçilerin kafasını ne karıştırdı?
Sonuçta, matematikçi ifadelerinde haklıysa, sonsuz trigonometrik Fourier serisini özetlerse, birçok benzer adımı olsa bile adım ifadesinin tam bir temsilini elde edebilirsiniz. On dokuzuncu yüzyılın başında, böyle bir ifade saçma görünüyordu. Ancak tüm şüphelere rağmen, birçok matematikçi bu fenomenin çalışmasının kapsamını genişletti ve onu termal iletkenlik çalışmalarının kapsamının dışına çıkardı. Bununla birlikte, çoğu bilim adamı şu soru üzerinde ıstırap çekmeye devam etti: "Sinüsoidal bir serinin toplamı süreksiz bir fonksiyonun tam değerine yakınsayabilir mi?"
Fourier serisinin yakınsaması: örnek
Sonsuz sayı dizisini toplamak gerektiğinde yakınsama sorusu gündeme gelir. Bu fenomeni anlamak için klasik bir örnek düşünün. Birbirini izleyen her adım bir öncekinin yarısı büyüklüğündeyse duvara ulaşabilecek misin? Hedeften iki metre uzakta olduğunuzu varsayalım, ilk adım sizi orta noktaya, sonraki adım üç çeyrek işaretine yaklaştırıyor ve beşinci adımdan sonra yolun neredeyse yüzde 97'sini kat edeceksiniz. Ancak ne kadar adım atarsanız atın katı bir matematiksel anlamda istenilen amaca ulaşamayacaksınız. Sayısal hesaplamaları kullanarak, sonunda kişinin istediği kadar yaklaşabileceğini kanıtlayabilir.küçük belirtilen mesafe. Bu ispat, yarım, dörtte bir vb.nin toplam değerinin bir olma eğiliminde olacağını göstermeye eşdeğerdir.
Yakınsama Sorusu: İkinci Geliş veya Lord Kelvin'in Aleti
Bu soru, on dokuzuncu yüzyılın sonunda, Fourier serileri gelgitlerin yoğunluğunu tahmin etmek için kullanılmaya çalışıldığında, tekrar tekrar gündeme geldi. O sırada Lord Kelvin, askeri ve ticaret filosunun denizcilerinin bu doğal fenomeni izlemesine izin veren bir analog bilgi işlem cihazı olan bir cihaz icat etti. Bu mekanizma, yıl boyunca belirli bir limanda dikkatlice ölçülen bir gelgit yükseklikleri tablosundan faz ve genlik kümelerini ve bunlara karşılık gelen zaman anlarını belirledi. Her parametre gelgit yüksekliği ifadesinin sinüzoidal bir bileşeniydi ve düzenli bileşenlerden biriydi. Ölçümlerin sonuçları, gelecek yıl için zamanın bir fonksiyonu olarak suyun yüksekliğini tahmin eden bir eğriyi sentezleyen Lord Kelvin'in hesap makinesine girildi. Çok yakında dünyanın tüm limanları için benzer eğriler çizildi.
Ya süreç süreksiz bir işlev tarafından bozulursa?
O zamanlar, çok sayıda sayma elemanına sahip bir gelgit dalgası tahmin edicisinin çok sayıda faz ve genliği hesaplayabildiği ve böylece daha doğru tahminler sağlayabildiği açık görünüyordu. Bununla birlikte, aşağıdaki gelgit ifadesinin olduğu durumlarda bu düzenliliğin gözlemlenmediği ortaya çıktı.sentez, keskin bir sıçrama içeriyordu, yani süreksizdi. Cihaza zaman anları tablosundan veri girilmesi durumunda, birkaç Fourier katsayısı hesaplar. Sinüzoidal bileşenler sayesinde (bulunan katsayılara göre) orijinal fonksiyon geri yüklenir. Orijinal ve geri yüklenen ifade arasındaki tutarsızlık herhangi bir noktada ölçülebilir. Tekrarlanan hesaplamalar ve karşılaştırmalar yapıldığında, en büyük hatanın değerinin azalmadığı görülebilir. Ancak, süreksizlik noktasına karşılık gelen bölgede lokalizedirler ve başka herhangi bir noktada sıfır olma eğilimindedirler. 1899'da bu sonuç, Yale Üniversitesi'nden Joshua Willard Gibbs tarafından teorik olarak doğrulandı.
Fourier serilerinin yakınsaklığı ve genel olarak matematiğin gelişimi
Fourier analizi, belirli bir aralıkta sonsuz sayıda çoğuşma içeren ifadelere uygulanamaz. Genel olarak, Fourier serileri, eğer orijinal fonksiyon gerçek bir fiziksel ölçümün sonucuysa, daima yakınsaktır. Bu sürecin belirli fonksiyon sınıfları için yakınsaması soruları, örneğin genelleştirilmiş fonksiyonlar teorisi gibi matematikte yeni bölümlerin ortaya çıkmasına neden olmuştur. L. Schwartz, J. Mikusinsky ve J. Temple gibi isimlerle ilişkilidir. Bu teori çerçevesinde, Dirac delta işlevi (bir noktanın sonsuz küçük bir mahallesinde yoğunlaşan tek bir alanın alanını tanımlar) ve Heaviside “gibi ifadeler için açık ve kesin bir teorik temel oluşturulmuştur. adım . Bu çalışma sayesinde Fourier serileri uygulanabilir hale geldi. Sezgisel kavramları içeren denklemleri ve problemleri çözme: nokta yükü, nokta kütlesi, manyetik dipoller ve ayrıca bir kiriş üzerindeki konsantre yük.
Fourier yöntemi
Fourier serisi, girişim ilkelerine uygun olarak, karmaşık formların daha basit olanlara ayrıştırılmasıyla başlar. Örneğin, ısı akışındaki bir değişiklik, düzensiz şekilli ısı yalıtkan malzemeden yapılmış çeşitli engellerden geçişi veya dünyanın yüzeyindeki bir değişiklik - bir deprem, bir gök cismi yörüngesindeki bir değişiklik - etkisi ile açıklanır. gezegenler. Kural olarak, basit klasik sistemleri tanımlayan benzer denklemler, her bir bireysel dalga için temel olarak çözülür. Fourier, daha karmaşık problemlere çözümler vermek için basit çözümlerin de toplanabileceğini gösterdi. Matematik dilinde, Fourier serisi, bir ifadeyi harmoniklerin toplamı - kosinüs ve sinüzoidler olarak temsil eden bir tekniktir. Bu nedenle, bu analiz "harmonik analiz" olarak da bilinir.
Fourier serisi - "bilgisayar çağı" öncesi ideal teknik
Bilgisayar teknolojisinin yaratılmasından önce, Fourier tekniği, dünyamızın dalga doğasıyla çalışırken bilim adamlarının cephanesindeki en iyi silahtı. Fourier serisi karmaşık bir biçimde sadece Newton mekaniğinin yasalarına doğrudan uygulanabilen basit problemlerin değil, aynı zamanda temel denklemlerin de çözülmesine izin verir. Newton biliminin on dokuzuncu yüzyıldaki keşiflerinin çoğu yalnızca Fourier'in tekniğiyle mümkün oldu.
Fourier serisi bugün
Fourier dönüşüm bilgisayarlarının geliştirilmesiyletamamen yeni bir seviyeye yükseltildi. Bu teknik, bilim ve teknolojinin hemen hemen tüm alanlarında sağlam bir şekilde yerleşmiştir. Bir örnek, dijital bir ses ve video sinyalidir. Gerçekleşmesi ancak on dokuzuncu yüzyılın başında bir Fransız matematikçi tarafından geliştirilen teori sayesinde mümkün oldu. Böylece, karmaşık bir biçimdeki Fourier serileri, uzay araştırmalarında bir atılım yapmayı mümkün kıldı. Ayrıca, yarı iletken malzemelerin fiziği ve plazma, mikrodalga akustiği, oşinografi, radar, sismoloji çalışmalarını da etkiledi.
Trigonometrik Fourier serisi
Matematikte bir Fourier serisi, rastgele karmaşık fonksiyonları daha basit olanların toplamı olarak göstermenin bir yoludur. Genel durumlarda, bu tür ifadelerin sayısı sonsuz olabilir. Ayrıca, hesaplamada sayıları ne kadar çok dikkate alınırsa, nihai sonuç o kadar doğru olur. Çoğu zaman, kosinüs veya sinüsün trigonometrik fonksiyonları en basitleri olarak kullanılır. Bu durumda Fourier serisine trigonometrik ve bu tür ifadelerin çözümüne harmoniğin açılımı denir. Bu yöntem matematikte önemli bir rol oynar. Her şeyden önce, trigonometrik seri, görüntü için bir araç sağlar ve işlevlerin incelenmesinin yanı sıra, teorinin ana aygıtıdır. Ek olarak, bir takım matematiksel fizik problemlerinin çözülmesine izin verir. Son olarak, bu teori matematiksel analizin gelişimine katkıda bulundu, matematik biliminin bir dizi çok önemli bölümünün ortaya çıkmasına neden oldu (entegraller teorisi, periyodik fonksiyonlar teorisi). Ayrıca, şu teorilerin geliştirilmesi için bir başlangıç noktası olarak hizmet etti: kümeler, fonksiyonlargerçek değişken, fonksiyonel analiz ve ayrıca harmonik analiz için temel oluşturdu.
