Birçok insan için matematiksel analiz, gerçek hayattan uzak bir dizi anlaşılmaz sayı, simge ve tanımdan ibarettir. Bununla birlikte, içinde bulunduğumuz dünya, tanımlanması yalnızca çevremizdeki dünya hakkında bilgi edinmeye ve karmaşık sorunlarını çözmeye değil, aynı zamanda günlük pratik görevleri basitleştirmeye yardımcı olan sayısal kalıplar üzerine kuruludur. Bir matematikçi, bir sayı dizisinin yakınsadığını söylediğinde ne demek istiyor? Bu daha ayrıntılı olarak tartışılmalıdır.
Sonsuz küçük nedir?
İç içe geçen matruşka bebekleri hayal edelim. En büyüğünden başlayıp en küçüğüne kadar sayılar şeklinde yazılan boyutları bir dizi oluşturur. Sonsuz sayıda bu kadar parlak figür hayal ederseniz, ortaya çıkan sıra fevkalade uzun olacaktır. Bu yakınsak bir sayı dizisidir. Ve sıfıra eğilimlidir, çünkü sonraki her yuvalama bebeğinin boyutu, felaketle azalan, yavaş yavaş hiçbir şeye dönüşmez. bu yüzden kolayaçıklanabilir: sonsuz küçük olan nedir.
Benzer bir örnek, mesafeye giden bir yol olabilir. Ve boyunca gözlemciden uzaklaşan, yavaş yavaş küçülen arabanın görsel boyutları, noktayı andıran şekilsiz bir lekeye dönüşür. Böylece makine, bilinmeyen bir yönde uzaklaşan bir nesne gibi sonsuz derecede küçülür. Belirtilen gövdenin parametreleri, kelimenin tam anlamıyla hiçbir zaman sıfır olmayacak, ancak nihai sınırda her zaman bu değere yönelecektir. Bu nedenle, bu dizi tekrar sıfıra yakınsar.
Her şeyi damla damla hesaplayın
Şimdi dünyevi bir durum hayal edelim. Doktor hastaya ilacı alması için günde on damla ile başlayıp ertesi gün iki damla damlatarak reçete etti. Ve böylece doktor, hacmi 190 damla olan ilaç şişesinin içeriği bitene kadar devam etmeyi önerdi. Yukarıdakilerden, güne göre planlanan bu türlerin sayısının aşağıdaki sayı serisi olacağı sonucu çıkar: 10, 12, 14 ve benzeri.
Tüm kursu tamamlama zamanını ve dizinin üye sayısını nasıl öğrenebilirim? Burada, elbette, ilkel bir şekilde damlaları sayabiliriz. Ancak, verilen modele göre, d=2 adımlı bir aritmetik ilerlemenin toplamı için formülü kullanmak çok daha kolaydır. Ve bu yöntemi kullanarak, sayı serisinin üye sayısının 10 olduğunu bulun. Bu durumda., a10=28. Penis numarası ilacı aldığı gün sayısını belirtir ve 28, hastanın alması gereken damla sayısına karşılık gelir.son gün kullanın. Bu dizi birleşiyor mu? Hayır, çünkü aşağıdan 10, yukarıdan 28 ile sınırlı olmasına rağmen, böyle bir sayı serisinin önceki örneklerde olduğu gibi limiti yoktur.
Fark nedir?
Şimdi açıklığa kavuşturmaya çalışalım: sayı serisinin yakınsak bir dizi olduğu ortaya çıktığında. Yukarıdan da anlaşılacağı gibi, bu tür bir tanım, varlığı konunun özünü ortaya çıkaran sonlu bir limit kavramıyla doğrudan ilgilidir. Peki daha önce verilen örnekler arasındaki temel fark nedir? Ve neden sonuncusunda, 28 sayısı X =10 + 2(n-1) sayı serisinin sınırı olarak kabul edilemez?
Bu soruyu netleştirmek için, n'nin doğal sayılar kümesine ait olduğu, aşağıdaki formülle verilen başka bir diziyi düşünün.
Bu üye topluluğu, payı 1 olan ve paydası sürekli artan bir ortak kesir kümesidir: 1, ½ …
Ayrıca, bu serinin her ardışık temsilcisi, sayı doğrusundaki konum açısından 0'a daha fazla yaklaşır ve bu, noktaların sınır olan sıfırın etrafında kümelendiği böyle bir komşuluğun ortaya çıktığı anlamına gelir. Ve ona ne kadar yakınlarsa, sayı doğrusundaki konsantrasyonları o kadar yoğun olur. Ve aralarındaki mesafe feci şekilde azalır ve sonsuz küçük bir mesafeye dönüşür. Bu, dizinin yakınsadığının bir işaretidir.
BenzerBöylece şekilde gösterilen çok renkli dikdörtgenler, uzayda uzaklaşırken görsel olarak daha kalabalık, varsayımsal sınırda ihmal edilebilir hale geliyor.
Sonsuz büyük diziler
Yakınsak bir dizinin tanımını analiz ettikten sonra, karşı örneklere geçelim. Birçoğu eski zamanlardan beri insan tarafından bilinmektedir. Iraksak dizilerin en basit varyantları, doğal ve çift sayılar dizisidir. Sürekli artan üyeleri giderek pozitif sonsuzluğa yaklaştıklarından, farklı bir şekilde sonsuz büyük olarak adlandırılırlar.
Bunun bir örneği, sırasıyla adım ve paydası sıfırdan büyük olan aritmetik ve geometrik ilerlemelerden herhangi biri olabilir. Ek olarak, sayısal seriler, hiçbir sınırı olmayan ıraksak diziler olarak kabul edilir. Örneğin, X =(-2) -1.
Fibonacci dizisi
Daha önce bahsedilen sayı serisinin insanlık için pratik faydaları yadsınamaz. Ama sayısız başka harika örnek var. Bunlardan biri Fibonacci dizisidir. Bir ile başlayan üyelerinin her biri, öncekilerin toplamıdır. İlk iki temsilcisi 1 ve 1'dir. Üçüncüsü 1+1=2, dördüncüsü 1+2=3, beşincisi 2+3=5. Ayrıca aynı mantığa göre 8, 13, 21 vb. sayılar takip eder.
Bu sayı dizisi süresiz olarak artar veson sınır. Ama harika bir özelliği daha var. Her bir önceki sayının bir sonrakine oranı 0,618 değerinde giderek yaklaşıyor. Burada yakınsak ve ıraksak dizi arasındaki farkı anlayabilirsiniz, çünkü bir dizi alınan kısmi bölme yaparsanız, belirtilen sayısal sistem 0,618'e eşit bir sonlu limite sahiptir.
Fibonacci oranlarının sırası
Yukarıda belirtilen sayı serisi, piyasaların teknik analizi için pratik amaçlar için yaygın olarak kullanılmaktadır. Ancak bu, Mısırlıların ve Yunanlıların eski zamanlarda bildikleri ve uygulamaya koyabildikleri yetenekleriyle sınırlı değildir. Bu, inşa ettikleri piramitler ve Parthenon tarafından kanıtlanmıştır. Sonuçta, 0,618 sayısı, eski günlerde iyi bilinen altın bölümün sabit bir katsayısıdır. Bu kurala göre, herhangi bir rastgele parça, parçaları arasındaki oran, parçaların en büyüğü ile toplam uzunluk arasındaki orana denk gelecek şekilde bölünebilir.
Belirtilen ilişkilerden bir dizi oluşturalım ve bu diziyi analiz etmeye çalışalım. Sayı serisi aşağıdaki gibi olacaktır: 1; 0,5; 0.67; 0,6; 0.625; 0.615; 0, 619 vb. Bu şekilde devam edersek, yakınsak dizinin limitinin gerçekten 0.618 olacağından emin olabiliriz. Ancak, bu düzenliliğin diğer özelliklerine dikkat etmek gerekir. Burada sayılar rastgele gidiyor gibi görünüyor ve hiç de artan veya azalan sırada değil. Bu, bu yakınsak dizinin monoton olmadığı anlamına gelir. Bunun neden böyle olduğu daha sonra tartışılacaktır.
Monotonluk ve sınırlama
Sayı serisinin üyeleri, artan sayı ile açıkça azalabilir (eğer x1>x2>x3>…>x >…) veya artan (eğer x1<x2<x3<…<x <…). Bu durumda, dizinin kesinlikle monoton olduğu söylenir. Sayısal serinin azalmayan ve artmayan olacağı başka modeller de gözlemlenebilir (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… veya x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), o zaman art arda yakınsak olan da monotondur, sadece katı anlamda değil. Bu seçeneklerden ilkine güzel bir örnek, aşağıdaki formülle verilen sayı serisidir.
Bu serinin sayılarını boyadıktan sonra, süresiz olarak 1'e yaklaşan üyelerinden hiçbirinin bu değeri asla aşamayacağını görebilirsiniz. Bu durumda, yakınsak dizinin sınırlı olduğu söylenir. Bu, her zaman seri modulo terimlerinin herhangi birinden daha büyük olan böyle bir pozitif M sayısı olduğunda olur. Bir sayı serisinin monotonluk belirtileri varsa ve bir sınırı varsa ve bu nedenle yakınsaksa, o zaman mutlaka böyle bir özelliğe sahiptir. Ve bunun tersi doğru olmak zorunda değildir. Bu, yakınsak bir dizi için sınır teoremi ile kanıtlanır.
Bu tür gözlemlerin pratikte uygulanması çok faydalıdır. X =dizisinin özelliklerini inceleyerek özel bir örnek verelimn/n+1 ve yakınsamasını ispatla. (x +1 – x) pozitif bir sayı olduğundan, monoton olduğunu göstermek kolaydır. herhangi bir n değeri için. Dizinin limiti 1 sayısına eşittir; bu, Weierstrass teoremi olarak da adlandırılan yukarıdaki teoremin tüm koşullarının sağlandığı anlamına gelir. Yakınsak bir dizinin sınırlılığına ilişkin teorem, eğer bir limiti varsa, o zaman her durumda sınırlı olduğu ortaya çıkar. Ancak, aşağıdaki örneği ele alalım. X =(-1) sayı dizisi aşağıdan -1 ve yukarıdan 1 ile sınırlıdır. limittir ve bu nedenle yakınsak değildir. Yani bir limitin varlığı ve yakınsama her zaman sınırlamadan doğmaz. Bunun çalışması için Fibonacci oranlarında olduğu gibi alt ve üst limitlerin eşleşmesi gerekir.
Evrenin Sayıları ve yasaları
Yakınsak ve ıraksak bir dizinin en basit varyantları belki de X =n ve X =1/n sayısal serileridir. Bunlardan ilki doğal bir sayı dizisidir. Daha önce de belirtildiği gibi, sonsuz büyüklüktedir. İkinci yakınsak dizi sınırlıdır ve terimleri büyüklük olarak sonsuz küçüklüğe yakındır. Bu formüllerin her biri, çok yönlü Evrenin taraflarından birini kişileştirir, bir kişinin bilinmeyen, sınırlı algıya erişilemeyen bir şeyi sayılar ve işaretler dilinde hayal etmesine ve hesaplamasına yardımcı olur.
İhmal edilebilirden inanılmaz derecede büyük olana kadar uzanan evren yasaları da 0,618'lik altın oranı ifade eder.şeylerin özünün temeli olduğuna ve doğa tarafından parçalarını oluşturmak için kullanıldığına inanırlar. Daha önce bahsettiğimiz Fibonacci serisinin sonraki ve önceki üyeleri arasındaki ilişkiler, bu eşsiz serinin şaşırtıcı özelliklerinin gösterimini tamamlamaz. Bir önceki terimi bir sonraki terime bölme oranını düşünürsek, o zaman 0,5'lik bir dizi elde ederiz; 0.33; 0.4; 0,375; 0.384; 0.380; 0, 382 vb. Bu sınırlı dizinin yakınsaması ilginçtir, monoton değildir, ancak belirli bir üyeden uçtaki komşu sayıların oranı her zaman yaklaşık olarak 0,382'ye eşittir, bu da mimari, teknik analiz ve diğer endüstrilerde kullanılabilir.
Fibonacci serisinin başka ilginç katsayıları da vardır, hepsi doğada özel bir rol oynar ve ayrıca insan tarafından pratik amaçlar için kullanılır. Matematikçiler, Evrenin belirtilen katsayılardan oluşan belirli bir " altın sarmal" a göre geliştiğinden emindir. Onların yardımıyla, belirli bakteri sayısındaki büyümeden uzaktaki kuyruklu yıldızların hareketine kadar, Dünya'da ve uzayda meydana gelen birçok olayı hesaplamak mümkündür. Görünüşe göre, DNA kodu benzer yasalara uyuyor.
Azalan geometrik ilerleme
Yakınsak bir dizinin limitinin benzersizliğini öne süren bir teorem vardır. Bu, matematiksel özelliklerini bulmak için şüphesiz önemli olan iki veya daha fazla limite sahip olamayacağı anlamına gelir.
Birazına bakalımvakalar. Bir aritmetik ilerlemenin üyelerinden oluşan herhangi bir sayısal seri, sıfır adımlı durum dışında ıraksaktır. Aynısı, paydası 1'den büyük olan bir geometrik dizi için de geçerlidir. Bu tür sayısal serilerin sınırları, sonsuzun "artı" veya "eksi"sidir. Payda -1'den küçükse, hiçbir sınır yoktur. Diğer seçenekler mümkündür.
X =(1/4) -1 formülüyle verilen sayı serisini düşünün. İlk bakışta, bu yakınsak dizinin sınırlı olduğunu görmek kolaydır çünkü kesinlikle azalmaktadır ve hiçbir şekilde negatif değerler alamaz.
Üyelerinden birkaçını arka arkaya yazalım.
Sonuç olarak: 1; 0.25; 0.0625; 0.015625; 0, 00390625 vb. Bu geometrik ilerlemenin 0<q<1 paydalarından ne kadar hızlı azaldığını anlamak için oldukça basit hesaplamalar yeterlidir. Terimlerin paydaları sonsuza kadar artarken, kendileri sonsuz küçük hale gelir. Bu, sayı serisinin limitinin 0 olduğu anlamına gelir. Bu örnek, yakınsak dizinin sınırlı doğasını bir kez daha göstermektedir.
Temel diziler
Fransız bilim adamı olan Augustin Louis Cauchy, matematiksel analizle ilgili birçok eseri dünyaya duyurdu. Diferansiyel, integral, limit ve süreklilik gibi kavramlara tanımlar verdi. Ayrıca yakınsak dizilerin temel özelliklerini de inceledi. Fikirlerinin özünü anlamak için,bazı önemli detayların özetlenmesi gerekiyor.
Makalenin en başında, belirli bir dizinin üyelerini gerçek çizgi üzerinde temsil eden noktaların kümelenmeye başladığı, giderek daha fazla sıraya girdiği bir mahallenin olduğu diziler olduğu gösterildi. yoğun. Aynı zamanda, bir sonraki temsilcinin sayısı arttıkça aralarındaki mesafe azalır ve sonsuz küçük bir temsilciye dönüşür. Böylece, belirli bir mahallede, belirli bir dizinin sonsuz sayıda temsilcisinin gruplandığı, bunun dışında ise sonlu sayıda olduğu ortaya çıkıyor. Bu tür dizilere temel denir.
Fransız bir matematikçi tarafından oluşturulan ünlü Cauchy kriteri, böyle bir özelliğin varlığının dizinin yakınsadığını kanıtlamak için yeterli olduğunu açıkça göstermektedir. Tersi de doğrudur.
Fransız matematikçinin bu sonucunun çoğunlukla tamamen teorik ilgiye sahip olduğuna dikkat edilmelidir. Pratikte uygulanması oldukça karmaşık bir konu olarak kabul edilir, bu nedenle serilerin yakınsaklığını açıklığa kavuşturmak için bir dizi için sonlu bir limitin varlığını kanıtlamak çok daha önemlidir. Aksi takdirde ıraksak sayılır.
Problemleri çözerken, yakınsak dizilerin temel özelliklerini de hesaba katmak gerekir. Aşağıda gösterilmiştir.
Sonsuz toplamlar
Arşimet, Öklid, Eudoxus gibi antik çağın ünlü bilim adamları, eğrilerin uzunluklarını, cisimlerin hacimlerini hesaplamak için sonsuz sayı serilerinin toplamını kullandılar.ve şekillerin alanları. Özellikle bu şekilde parabolik segmentin alanını bulmak mümkün oldu. Bunun için q=1/4 olan bir geometrik ilerlemenin sayısal serisinin toplamı kullanıldı. Diğer rasgele figürlerin hacimleri ve alanları da benzer şekilde bulundu. Bu seçeneğe "tükenme" yöntemi adı verildi. Buradaki fikir, karmaşık bir şekle sahip olan incelenen vücudun, kolayca ölçülebilen parametrelere sahip figürler olan parçalara bölünmesiydi. Bu nedenle alanlarını ve hacimlerini hesaplamak zor olmadı ve ardından toplandılar.
Bu arada, benzer görevler modern okul çocuklarına çok aşinadır ve KULLANIM görevlerinde bulunur. Uzak atalar tarafından bulunan benzersiz yöntem, açık ara en basit çözümdür. Sayısal rakamın bölündüğü sadece iki veya üç parça olsa bile, alanlarının toplamı yine de sayı serisinin toplamıdır.
Eski Yunan bilim adamları Leibniz ve Newton'dan çok daha sonra, bilge öncüllerinin deneyimlerine dayanarak, integral hesaplama modellerini öğrendiler. Dizilerin özelliklerinin bilgisi, diferansiyel ve cebirsel denklemleri çözmelerine yardımcı oldu. Şu anda, birçok nesil yetenekli bilim insanının çabalarıyla oluşturulan seri teorisi, çok sayıda matematiksel ve pratik problemi çözme şansı veriyor. Ve sayısal dizilerin incelenmesi, başlangıcından bu yana matematiksel analiz tarafından çözülen ana problem olmuştur.
