1900 yılında, geçen yüzyılın en büyük bilim adamlarından biri olan David Hilbert, matematikte çözülmemiş 23 problemin bir listesini derledi. Onlar üzerindeki çalışmaların, bu insan bilgisi alanının gelişimi üzerinde muazzam bir etkisi oldu. 100 yıl sonra, Clay Matematik Enstitüsü, Binyıl Problemleri olarak bilinen 7 problemin bir listesini sundu. Her birine 1 milyon dolarlık bir ödül teklif edildi.
Bir asırdan fazla bir süredir bilim adamlarını rahatsız eden iki bulmaca listesinde ortaya çıkan tek sorun Riemann hipoteziydi. Hâlâ kararını bekliyor.
Kısa biyografik not
Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826'da Hannover'de fakir bir papazın geniş bir ailesinde doğdu ve sadece 39 yıl yaşadı. 10 eser yayınlamayı başardı. Bununla birlikte, zaten yaşamı boyunca, Riemann, öğretmeni Johann Gauss'un halefi olarak kabul edildi. 25 yaşında, genç bilim adamı "Karmaşık bir değişkenin fonksiyonları teorisinin temelleri" tezini savundu. Daha sonra formüle ettionun ünlü hipotezi.
Asal sayılar
Matematik, insan saymayı öğrendiğinde ortaya çıktı. Aynı zamanda, daha sonra sınıflandırmaya çalıştıkları sayılarla ilgili ilk fikirler ortaya çıktı. Bazılarının ortak özelliklere sahip olduğu gözlemlenmiştir. Özellikle, doğal sayılar arasında, yani nesnelerin sayısını sayma (sayılama) veya belirlemede kullanılanlar arasında, yalnızca bire ve kendilerine bölünebilen bir grup ayırt edildi. Basit denir. Bu tür sayılar kümesinin sonsuzluğu teoreminin zarif bir kanıtı, Öklid tarafından Elements'te verilmiştir. Şu anda, aramaları devam ediyor. Özellikle, halihazırda bilinen en büyük sayı 274 207 281 – 1.
Euler formülü
Asal sayılar kümesinin sonsuzluğu kavramının yanı sıra, Öklid aynı zamanda ikinci teoremi de asal çarpanlara ayırmanın tek olası yolu olarak belirledi. Buna göre, herhangi bir pozitif tam sayı, yalnızca bir asal sayı kümesinin ürünüdür. 1737'de büyük Alman matematikçi Leonhard Euler, Öklid'in ilk sonsuzluk teoremini aşağıdaki formülle ifade etti.
Buna zeta işlevi denir, burada s bir sabittir ve p tüm asal değerleri alır. Euclid'in genişlemenin benzersizliği hakkındaki ifadesi doğrudan onu takip etti.
Riemann Zeta Fonksiyonu
Euler'in formülü, daha yakından incelendiğinde tamamenşaşırtıcı çünkü asal sayılar ve tam sayılar arasındaki ilişkiyi tanımlar. Sonuçta, sol tarafında sadece asal sayılara bağlı sonsuz sayıda ifade çarpılır ve tüm pozitif tam sayılarla ilişkili toplam sağda bulunur.
Riemann, Euler'den daha ileri gitti. Sayıların dağılımı sorununun anahtarını bulmak için hem gerçek hem de karmaşık değişkenler için bir formül tanımlamayı önerdi. Daha sonra Riemann zeta fonksiyonunun adını alan oydu. 1859'da bilim adamı, "Belirli bir değeri geçmeyen asal sayıların sayısı hakkında" başlıklı bir makale yayınladı ve burada tüm fikirlerini özetledi.
Riemann, herhangi bir gerçek s>1 için yakınsayan Euler serisini kullanmayı önerdi. Karmaşık s için aynı formül kullanılırsa, o zaman seri, bu değişkenin gerçek kısmı 1'den büyük olan herhangi bir değeri için yakınsar. Riemann, zeta(lar) tanımını tüm karmaşık sayılara genişleterek analitik devam prosedürünü uygulamıştır, ancak üniteyi "dışarı attı". Dışlandı çünkü s=1'de zeta işlevi sonsuza kadar artar.
Pratik anlamda
Mantıksal bir soru ortaya çıkıyor: Riemann'ın sıfır hipotezi üzerindeki çalışmasında anahtar olan zeta fonksiyonu neden ilginç ve önemli? Bildiğiniz gibi şu anda asal sayıların doğal sayılar arasındaki dağılımını açıklayacak basit bir örüntü tespit edilememiştir. Riemann, x'i aşmayan asal sayıların pi(x) sayısının zeta fonksiyonunun önemsiz olmayan sıfırlarının dağılımı cinsinden ifade edildiğini keşfetmeyi başardı. Ayrıca, Riemann hipotezibazı kriptografik algoritmaların çalışması için zaman tahminlerini kanıtlamak için gerekli bir koşul.
Riemann Hipotezi
Bu matematik probleminin bugüne kadar kanıtlanmamış ilk formüllerinden biri kulağa şöyle geliyor: önemsiz olmayan 0 zeta fonksiyonları, gerçek kısmı ½'ye eşit olan karmaşık sayılardır. Başka bir deyişle, Re s=½. satırında bulunurlar.
Aynı ifade olan, ancak genellikle Dirichlet L-fonksiyonları olarak adlandırılan zeta fonksiyonlarının genellemeleri için genelleştirilmiş bir Riemann hipotezi de vardır (aşağıdaki fotoğrafa bakın).
χ(n) formülünde - bazı sayısal karakterler (modulo k).
Riemann ifadesi, mevcut örnek verilerle tutarlılık açısından test edildiğinden sözde boş hipotez olarak kabul edilir.
Riemann'ın savunduğu gibi
Alman matematikçinin sözleri aslında oldukça gelişigüzel bir şekilde ifade edilmişti. Gerçek şu ki, o zaman bilim adamı asal sayıların dağılımına ilişkin teoremi kanıtlayacaktı ve bu bağlamda bu hipotezin özel bir önemi yoktu. Bununla birlikte, diğer birçok sorunu çözmedeki rolü çok büyüktür. Bu nedenle Riemann'ın varsayımı artık birçok bilim insanı tarafından kanıtlanmamış matematiksel problemlerin en önemlisi olarak kabul edilmektedir.
Daha önce bahsedildiği gibi, dağıtım teoremini kanıtlamak için tam Riemann hipotezi gerekli değildir ve zeta fonksiyonunun önemsiz olmayan herhangi bir sıfırının gerçek kısmının mantıksal olarak aşağıdaki gibi olduğunu doğrulamak yeterlidir.0 ile 1 arasındadır. Bu özellikten, yukarıdaki tam formülde görünen zeta fonksiyonunun tüm 0'ların toplamının sonlu bir sabit olduğu sonucu çıkar. Büyük x değerleri için tamamen kaybolabilir. Formülün çok büyük x için bile aynı kalan tek elemanı x'in kendisidir. Kalan karmaşık terimler, onunla karşılaştırıldığında asimptotik olarak yok olur. Yani ağırlıklı toplam x eğilimindedir. Bu durum, asal sayıların dağılımına ilişkin teoremin doğruluğunun bir teyidi olarak kabul edilebilir. Bu nedenle, Riemann zeta fonksiyonunun sıfırları özel bir role sahiptir. Bu tür değerlerin ayrıştırma formülüne önemli bir katkı sağlayamayacağını kanıtlamaktan ibarettir.
Riemann'ın Takipçileri
Tüberkülozdan trajik ölüm, bu bilim insanının programını mantıksal sonuna getirmesine izin vermedi. Ancak, Sh-Zh ondan devraldı. de la Vallée Poussin ve Jacques Hadamard. Birbirlerinden bağımsız olarak, asal sayıların dağılımı hakkında bir teorem çıkardılar. Hadamard ve Poussin, önemsiz olmayan tüm 0 zeta fonksiyonlarının kritik bant içinde olduğunu kanıtlamayı başardılar.
Bu bilim adamlarının çalışmaları sayesinde matematikte yeni bir yön ortaya çıktı - analitik sayılar teorisi. Daha sonra, Riemann'ın üzerinde çalıştığı teoremin birkaç ilkel kanıtı diğer araştırmacılar tarafından elde edildi. Özellikle, Pal Erdős ve Atle Selberg, karmaşık analiz kullanımını gerektirmeyen, bunu doğrulayan çok karmaşık bir mantıksal zincir bile keşfettiler. Ancak bu noktada birkaç önemlibirçok sayı teorisi fonksiyonunun yaklaşımlarını içeren teoremler. Bu bağlamda, Erdős ve Atle Selberg'in yeni çalışması pratikte hiçbir şeyi etkilemedi.
Sorunun en basit ve en güzel kanıtlarından biri 1980 yılında Donald Newman tarafından bulundu. Ünlü Cauchy teoremine dayanıyordu.
Riemann hipotezi modern kriptografinin temellerini tehdit ediyor mu
Veri şifreleme, hiyerogliflerin ortaya çıkmasıyla birlikte ortaya çıktı, daha doğrusu, kendileri ilk kodlar olarak kabul edilebilir. Şu anda, şifreleme algoritmaları geliştiren tam bir dijital kriptografi alanı var.
Asal ve "yarı asal" sayılar, yani yalnızca aynı sınıftan diğer 2 sayıya bölünebilenler, RSA olarak bilinen ortak anahtar sisteminin temelini oluşturur. En geniş uygulamaya sahiptir. Özellikle elektronik imza oluşturulurken kullanılır. Aptalların erişebileceği terimlerle konuşursak, Riemann hipotezi, asal sayıların dağılımında bir sistemin varlığını ileri sürer. Böylece, e-ticaret alanındaki çevrimiçi işlemlerin güvenliğinin bağlı olduğu kriptografik anahtarların gücü önemli ölçüde azalır.
Diğer çözülmemiş matematik problemleri
Diğer milenyum hedeflerine birkaç kelime ayırarak makaleyi bitirmeye değer. Bunlar şunları içerir:
- P ve NP sınıflarının eşitliği. Problem şu şekilde formüle edilmiştir: Belirli bir soruya verilen olumlu bir cevap polinom zamanında kontrol edilirse, bu sorunun cevabının kendisinin doğru olduğu doğru mudur?hızlı bir şekilde bulunabilir mi?
- Hodge'un varsayımı. Basit bir ifadeyle, şu şekilde formüle edilebilir: bazı projektif cebir çeşitleri (uzaylar) türleri için, Hodge döngüleri geometrik yorumu olan nesnelerin kombinasyonlarıdır, yani cebirsel döngülerdir.
- Poincare'nin varsayımı. Bu, şimdiye kadar kanıtlanmış tek Millenium Challenge. Buna göre 3 boyutlu bir kürenin kendine has özelliklerine sahip herhangi bir 3 boyutlu nesne deformasyona kadar küre olmalıdır.
- Yang'ın kuantum teorisinin doğrulanması - Mills. Bu bilim adamları tarafından R4 uzayı için öne sürülen kuantum teorisinin var olduğunu ve herhangi bir basit kompakt ayar grubu G için 0. kütle kusuruna sahip olduğunu kanıtlamak gerekir.
- Birch-Swinnerton-Dyer hipotezi. Bu, kriptografi ile ilgili başka bir konudur. Eliptik eğrilere dokunur.
- Navier-Stokes denklemlerinin çözümlerinin varlığı ve düzgünlüğü sorunu.
Artık Riemann hipotezini biliyorsunuz. Basit bir ifadeyle, diğer Binyıl Mücadelelerinden bazılarını formüle ettik. Çözülecekleri ya da çözümlerinin olmadığının kanıtlanacağı an meselesidir. Ayrıca, matematik giderek bilgisayarların bilgi işlem yeteneklerini kullandığından, bunun çok uzun süre beklemesi gerekmeyecektir. Ancak her şey teknolojiye tabi değildir ve her şeyden önce bilimsel problemleri çözmek için sezgi ve yaratıcılık gerekir.
