Muhtemelen türev kavramı okuldan beri hepimize tanıdık gelmiştir. Genellikle öğrenciler bunu anlamakta zorluk çekerler, şüphesiz çok önemli bir şey. İnsanların hayatlarının çeşitli alanlarında aktif olarak kullanılmaktadır ve birçok mühendislik geliştirmesi, türev kullanılarak elde edilen matematiksel hesaplamalara tam olarak dayanmaktadır. Ancak sayıların türevlerinin ne olduğu, nasıl hesaplanacağı ve nerelerde işimize yarayacağının analizine geçmeden önce tarihe dalalım.
Tarih
Matematiksel analizin temeli olan türev kavramı hepimizin bildiği Isaac Newton tarafından keşfedilmiştir ("icat edilmiştir" demek daha doğru olur çünkü doğada böyle bir şey yoktur). evrensel yerçekimi yasasının keşfinden. Bu kavramı fizikte hız ve cisimlerin ivmesinin doğasını birbirine bağlamak için ilk uygulayan oydu. Ve birçok bilim adamı hala Newton'u bu muhteşem buluş için övüyor, çünkü aslında diferansiyel ve integral hesabın temelini, aslında "hesap" adı verilen bütün bir matematik alanının temelini icat etti. O zaman Nobel Ödülü olsaydı, Newton bunu birkaç kez yüksek bir olasılıkla almış olurdu.
Başka harika beyinler olmadan olmaz. Newton hariçLeonhard Euler, Louis Lagrange ve Gottfried Leibniz gibi seçkin matematik dehaları türev ve integralin gelişimi üzerinde çalıştı. Onlar sayesinde, diferansiyel hesap teorisini bugüne kadar var olduğu biçimde aldık. Bu arada, fonksiyonun grafiğine teğetin eğiminin tanjantından başka bir şey olmadığı ortaya çıkan türevin geometrik anlamını keşfeden Leibniz'di.
Sayıların türevleri nelerdir? Okulda yaşadıklarımızı biraz tekrarlayalım.
Türev nedir?
Bu kavram birkaç farklı şekilde tanımlanabilir. En basit açıklama, türevin fonksiyonun değişim oranı olmasıdır. x'in bir y fonksiyonunun grafiğini hayal edin. Düz değilse, grafikte bazı eğriler, artış ve azalma dönemleri vardır. Bu grafiğin sonsuz küçük bir aralığını alırsak, düz bir doğru parçası olacaktır. Böylece, y koordinatı boyunca bu sonsuz küçük parçanın boyutunun x koordinatı boyunca boyuta oranı, bu fonksiyonun belirli bir noktada türevi olacaktır. Fonksiyonu belirli bir noktada değil de bir bütün olarak ele alırsak, o zaman bir türev fonksiyonu elde ederiz, yani y'nin x'e belirli bir bağımlılığı.
Ayrıca türevin bir fonksiyonun değişim oranı olarak fiziksel anlamının yanında geometrik bir anlamı da vardır. Şimdi onun hakkında konuşacağız.
Geometrik anlamda
Sayıların türevleri belirli bir sayıyı temsil eder ve doğru anlaşılmadananlamı yok. Türevin sadece fonksiyonun büyüme veya azalma oranını değil, aynı zamanda verilen bir noktada fonksiyonun grafiğine teğet eğiminin tanjantını da gösterdiği ortaya çıktı. Çok net bir tanım değil. Daha ayrıntılı olarak analiz edelim. Diyelim ki bir fonksiyon grafiğimiz var (ilgi için bir eğri alalım). Sonsuz sayıda noktası vardır, ancak yalnızca tek bir noktanın maksimum veya minimum olduğu alanlar vardır. Böyle herhangi bir noktadan, o noktadaki fonksiyonun grafiğine dik olacak bir çizgi çizmek mümkündür. Böyle bir çizgiye teğet denir. Diyelim ki OX ekseni ile kesişme noktasına kadar harcadık. Böylece teğet ile OX ekseni arasında elde edilen açı türev tarafından belirlenecektir. Daha doğrusu, bu açının tanjantı ona eşit olacaktır.
Özel durumlardan biraz bahsedelim ve sayıların türevlerini analiz edelim.
Özel durumlar
Daha önce de söylediğimiz gibi sayıların türevleri, türevin belirli bir noktadaki değerleridir. Örneğin, y=x2 fonksiyonunu alalım. Türev x bir sayıdır ve genel durumda 2x'e eşit bir fonksiyondur. x0=1 noktasında türevi hesaplamamız gerekirse, o zaman y'(1)=21=2 elde ederiz. Her şey çok basit. İlginç bir durum, karmaşık bir sayının türevidir. Karmaşık sayının ne olduğunun ayrıntılı bir açıklamasına girmeyeceğiz. Diyelim ki bu, sözde hayali birimi içeren bir sayı - karesi -1 olan bir sayı. Böyle bir türevin hesaplanması ancak aşağıdaki durumlarda mümkündür:koşullar:
1) Reel ve sanal kısımların Y ve X'e göre birinci mertebeden kısmi türevleri olmalıdır.
2) Birinci paragrafta açıklanan kısmi türevlerin eşitliği ile ilgili Cauchy-Riemann koşulları karşılanmaktadır.
Bir diğer ilginç durum, önceki kadar karmaşık olmasa da, negatif bir sayının türevidir. Aslında, herhangi bir negatif sayı, -1 ile çarpılan pozitif bir sayı olarak temsil edilebilir. Sabitin ve fonksiyonun türevi, sabitin fonksiyonun türeviyle çarpımına eşittir.
Günlük yaşamda türevin rolünü öğrenmek ilginç olacak ve şimdi tartışacağımız şey bu.
Uygulama
Muhtemelen her birimiz hayatında en az bir kez matematiğin kendisi için yararlı olma ihtimalinin düşük olduğunu düşünürüz. Ve türev gibi karmaşık bir şeyin muhtemelen hiçbir uygulaması yoktur. Aslında matematik temel bir bilimdir ve tüm meyveleri esas olarak fizik, kimya, astronomi ve hatta ekonomi tarafından geliştirilir. Türev, bize fonksiyonların grafiklerinden sonuçlar çıkarma yeteneği veren matematiksel analizin başlangıcıydı ve onun sayesinde doğa yasalarını yorumlamayı ve onları lehimize çevirmeyi öğrendik.
Sonuç
Tabii ki herkesin gerçek hayatta bir türevine ihtiyacı olmayabilir. Ancak matematik, kesinlikle ihtiyaç duyulacak mantığı geliştirir. Matematiğin bilimlerin kraliçesi olarak adlandırılması boşuna değildir: diğer bilgi alanlarını anlamanın temelini oluşturur.
