Uzayda uçak. Uçakların uzaydaki konumu

2024 Yazar: Angel Austin | [email protected]. Son düzenleme: 2024-01-02 17:57

Düzlem, özellikleri noktaların ve çizgilerin izdüşümlerini oluştururken ve ayrıca üç boyutlu şekillerin öğeleri arasındaki mesafeleri ve dihedral açıları hesaplarken kullanılan geometrik bir nesnedir. Bu makalede, uçakların uzaydaki konumlarını incelemek için hangi denklemlerin kullanılabileceğini ele alalım.

Düzlem tanımı

Herkes sezgisel olarak hangi nesnenin tartışılacağını hayal eder. Geometrik bir bakış açısından, bir düzlem, aralarında herhangi bir vektörün bir vektöre dik olması gereken bir noktalar topluluğudur. Örneğin, uzayda m farklı nokta varsa, bunlardan m(m-1) / 2 farklı vektör yapılabilir, bu da noktaları çiftler halinde birleştirir. Tüm vektörler bir yöne dik ise, bu, tüm m noktalarının aynı düzleme ait olması için yeterli bir koşuldur.

Genel denklem

Uzamsal geometride, bir düzlem genellikle x, y ve z eksenlerine karşılık gelen üç bilinmeyen koordinat içeren denklemler kullanılarak tanımlanır. İleuzayda düzlem koordinatlarında genel denklemi elde edin, bir n¯(A; B; C) vektörü ve bir M(x₀; y_{0) noktası olduğunu varsayalım}; z_{0). Bu iki nesneyi kullanarak, düzlem benzersiz bir şekilde tanımlanabilir.}

Gerçekten de, koordinatları bilinmeyen ikinci bir P(x; y; z) noktası olduğunu varsayalım. Yukarıda verilen tanıma göre, MP¯ vektörü n¯'ye dik olmalıdır, yani onlar için skaler ürün sıfıra eşittir. Ardından şu ifadeyi yazabiliriz:

(n¯MP¯)=0 veya

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

Parantezleri açıp yeni bir D katsayısı tanıtarak şu ifadeyi elde ederiz:

Ax + By + Cz + D=0 burada D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Bu ifadeye düzlem için genel denklem denir. x, y ve z'nin önündeki katsayıların, düzleme dik n¯(A; B; C) vektörünün koordinatlarını oluşturduğunu hatırlamak önemlidir. Normal ile örtüşür ve düzlem için bir kılavuzdur. Genel denklemi belirlemek için bu vektörün nereye yönlendirildiği önemli değildir. Yani, n¯ ve -n¯ vektörleri üzerine inşa edilen düzlemler aynı olacaktır.

Yukarıdaki şekil bir düzlemi, ona dik bir vektörü ve düzleme dik bir çizgiyi göstermektedir.

Eksenlerde düzlem tarafından kesilen segmentler ve karşılık gelen denklem

Genel denklem, aşağıdakileri belirlemek için basit matematiksel işlemlerin kullanılmasına izin verir:düzlemin koordinat eksenlerini hangi noktalarda keseceği. Uçağın uzaydaki konumu hakkında fikir sahibi olmak ve çizimlerde tasvir ederken bu bilgileri bilmek önemlidir.

Adlandırılmış kesişme noktalarını belirlemek için segmentlerde bir denklem kullanılır. Noktadan (0; 0; 0) sayarken koordinat eksenleri üzerinde düzlem tarafından kesilen segmentlerin uzunluklarının değerlerini açıkça içerdiği için böyle adlandırılmıştır. Bu denklemi bulalım.

Uçak için genel ifadeyi aşağıdaki gibi yazın:

Ax + By + Cz=-D

Sol ve sağ kısımlar eşitliği bozmadan -D ile bölünebilir. Bizde:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 veya

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

Her terimin paydalarını yeni bir sembolle tasarlayın, şunu elde ederiz:

p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C sonra

x/p + y/q + z/r=1

Bu, yukarıda segmentlerde bahsedilen denklemdir. Bundan, her terimin paydasının değerinin, düzlemin karşılık gelen ekseni ile kesişimin koordinatını gösterdiğini takip eder. Örneğin, y eksenini (0; q; 0) noktasında keser. Sıfır x ve z koordinatlarını denklemde değiştirirseniz bunu anlamak kolaydır.

Segmentlerde denklemde herhangi bir değişken yoksa, bunun düzlemin karşılık gelen ekseni kesmediği anlamına geldiğini unutmayın. Örneğin, şu ifade verilir:

x/p + y/q=1

Bu, düzlemin sırasıyla x ve y eksenlerinde p ve q segmentlerini keseceği, ancak z eksenine paralel olacağı anlamına gelir.

Uçağın davranışı hakkında sonuçaşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, denkleminde bazı değişkenlerin olmaması, genel bir tür ifadesi için de geçerlidir.

Vektör parametrik denklemi

Uzayda bir düzlemi tanımlamaya izin veren üçüncü tür bir denklem vardır. Düzlemde uzanan iki vektör ve keyfi bağımsız değerler alabilen iki parametre tarafından verildiği için buna parametrik vektör denir. Bu denklemin nasıl elde edilebileceğini gösterelim.

Diyelim ki bilinen birkaç vektör u ¯(a₁; b₁; c₁) ve v¯(a₂; b₂; c₂). Paralel değillerse, bu vektörlerden birinin başlangıcını bilinen bir M(x₀; y_{0 noktasına sabitleyerek belirli bir düzlem ayarlamak için kullanılabilirler)}; z_{0). Keyfi bir MP¯ vektörü, u¯ ve v¯ doğrusal vektörlerinin bir kombinasyonu olarak temsil edilebiliyorsa, bu, P(x; y; z) noktasının u¯, v¯ ile aynı düzleme ait olduğu anlamına gelir. Böylece eşitliği yazabiliriz:}

MP¯=αu¯ + βv¯

Ya da bu eşitliği koordinatlar cinsinden yazarsak:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + α(a₁; b₁; c₁) + β(a ₂; b₂; c₂₎

Sunulan eşitlik, düzlem için parametrik bir vektör denklemidir. ATu¯ ve v¯ düzlemindeki vektör uzayına jeneratör denir.

Ardından, problem çözülürken, bu denklemin bir düzlem için genel bir forma nasıl indirgenebileceği gösterilecektir.

Uzayda düzlemler arasındaki açı

Sezgisel olarak, 3B uzaydaki düzlemler kesişebilir veya kesişmeyebilir. İlk durumda, aralarındaki açıyı bulmak ilgi çekicidir. Dihedral geometrik bir nesneden bahsettiğimiz için bu açının hesaplanması çizgiler arasındaki açıdan daha zordur. Ancak, uçak için daha önce bahsedilen kılavuz vektör kurtarmaya geliyor.

Kesişen iki düzlem arasındaki dihedral açının, kılavuz vektörleri arasındaki açıya tam olarak eşit olduğu geometrik olarak belirlenmiştir. Bu vektörleri n₁¯(a₁; b₁; c_{1 olarak gösterelim) ve n}2_¯(a2_{; b}2_{; c}2_{). Aralarındaki açının kosinüsü skaler üründen belirlenir. Yani, düzlemler arasındaki boşluktaki açının kendisi şu formülle hesaplanabilir:}

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))

Burada paydadaki modül, geniş açının değerini atmak için kullanılır (kesişen düzlemler arasında her zaman 90o'a eşit veya daha küçüktür).

Koordinat biçiminde bu ifade şu şekilde yeniden yazılabilir:

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +c₁c₂|/(√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b₂² + c ₂²⁾⁾⁾

Dik ve paralel düzlemler

Düzlemler kesişirse ve bunların oluşturduğu dihedral açı 90o ise, bunlar dik olacaktır. Bu tür düzlemlere bir örnek, dikdörtgen bir prizma veya bir küptür. Bu figürler altı düzlemden oluşur. Adlandırılmış şekillerin her bir köşesinde birbirine dik üç düzlem vardır.

Değerlendirilen düzlemlerin dik olup olmadığını bulmak için normal vektörlerinin skaler çarpımını hesaplamak yeterlidir. Düzlem uzayında diklik için yeterli bir koşul, bu çarpımın sıfır değeridir.

Paralel, kesişmeyen düzlemler olarak adlandırılır. Bazen paralel düzlemlerin sonsuzda kesiştiği de söylenir. Düzlem uzayındaki paralellik koşulu, n₁¯ ve n_{2¯ yön vektörleri için bu koşulla örtüşür. İki şekilde kontrol edebilirsiniz:}

Skaler çarpımı kullanarak dihedral açının (cos(φ)) kosinüsünü hesaplayın. Düzlemler paralelse, değer 1 olur.

Bir vektörü başka bir sayı ile çarparak temsil etmeye çalışın, yani n₁¯=kn_{2¯. Bu yapılabilirse, karşılık gelen düzlemlerparalel.}

Şekil iki paralel düzlemi göstermektedir.

Şimdi elde edilen matematiksel bilgiyi kullanarak iki ilginç problem çözme örneği verelim.

Vektör denkleminden genel bir form nasıl elde edilir?

Bu, bir düzlem için parametrik bir vektör ifadesidir. İşlemlerin akışını ve kullanılan matematiksel püf noktalarını anlamayı kolaylaştırmak için belirli bir örnek düşünün:

(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)

Bu ifadeyi genişletin ve bilinmeyen parametreleri ifade edin:

x=1 + 2α;

y=2 - α + β;

z=α + 3β

Sonra:

α=(x - 1)/2;

β=y - 2 + (x - 1)/2;

z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)

Son ifadedeki parantezleri açarak şunu elde ederiz:

z=2x-2 + 3y - 6 veya

2x + 3y - z - 8=0

Problem ifadesinde belirtilen düzlem için denklemin genel formunu vektör formunda elde ettik

Üç noktadan geçen bir uçak nasıl yapılır?

Bu noktalar tek bir doğruya ait değilse, üç noktadan geçen tek bir düzlem çizmek mümkündür. Bu sorunu çözme algoritması aşağıdaki eylem dizisinden oluşur: