Değişkenler nelerdir? matematikte değişken

2024 Yazar: Angel Austin | [email protected]. Son düzenleme: 2024-01-02 17:57

Değişkenlerin matematikteki önemi büyüktür, çünkü varlığı sırasında bilim adamları bu alanda birçok keşif yapmayı başardılar ve bu veya bu teoremi kısaca ve net bir şekilde ifade etmek için, karşılık gelen formülleri yazmak için değişkenleri kullanıyoruz.. Örneğin, bir dik üçgen üzerindeki Pisagor teoremi: a² =b² + c^{2. Bir problemi çözerken her seferinde nasıl yazılır: Pisagor teoremine göre, hipotenüsün karesi bacakların karelerinin toplamına eşittir - bunu bir formülle yazıyoruz ve her şey hemen netleşiyor.}

Yani, bu makale değişkenlerin ne olduğunu, türlerini ve özelliklerini tartışacak. Çeşitli matematiksel ifadeler de dikkate alınacaktır: eşitsizlikler, formüller, sistemler ve çözümleri için algoritmalar.

Değişken konsepti

Öncelikle, değişken nedir? Bu, birçok değer alabilen sayısal bir değerdir. Sabit olamaz, çünkü farklı problemlerde ve denklemlerde kolaylık olması için çözümleri şu şekilde alıyoruz:değişken farklı sayılar, örneğin z, alındığı miktarların her biri için genel bir tanımdır. Genellikle Latin veya Yunan alfabesindeki harflerle gösterilirler (x, y, a, b vb.).

Farklı türde değişkenler vardır. Hem bazı fiziksel nicelikleri - yol (S), zaman (t) hem de denklemlerde, fonksiyonlarda ve diğer ifadelerde basitçe bilinmeyen değerleri ayarlarlar.

Örneğin, bir formül var: S=Vt. Burada değişkenler gerçek dünyayla ilgili belirli miktarları ifade eder - yol, hız ve zaman.

Ve şu şekilde bir denklem var: 3x - 16=12x. Burada x zaten bu gösterimde anlamlı olan soyut bir sayı olarak alınmıştır.

Miktar türleri

Miktar, belirli bir nesnenin, maddenin veya olgunun özelliklerini ifade eden bir şey anlamına gelir. Örneğin, hava sıcaklığı, bir hayvanın ağırlığı, bir tabletteki vitamin yüzdesi - bunların hepsi sayısal değerleri hesaplanabilen miktarlardır.

Her miktarın birlikte bir sistem oluşturan kendi ölçü birimleri vardır. Sayı sistemi (SI) olarak adlandırılır.

Değişkenler ve sabitler nedir? Bunları belirli örneklerle düşünün.

Doğrusal düzgün hareket alalım. Uzayda bir nokta her seferinde aynı hızla hareket eder. Yani zaman ve mesafe değişir, ancak hız aynı kalır. Bu örnekte zaman ve mesafe değişkendir ve hız sabittir.

Ya da örneğin, "pi". Bu, tekrar etmeden devam eden bir irrasyonel sayıdır.bir basamak dizisidir ve tam olarak yazılamaz, bu nedenle matematikte yalnızca belirli bir sonsuz kesrin değerini alan genel kabul görmüş bir sembolle ifade edilir. Yani “pi” sabit bir değerdir.

Tarih

Değişkenlerin gösteriminin tarihi on yedinci yüzyılda bilim adamı René Descartes ile başlar.

Bilinen değerleri alfabenin ilk harfleriyle belirledi: a, b vb. ve bilinmeyenler için son harfleri kullanmayı önerdi: x, y, z. Descartes'ın bu tür değişkenleri negatif olmayan sayılar olarak görmesi ve negatif parametrelerle karşılaştığında değişkenin önüne eksi işareti veya sayının ne olduğu bilinmiyorsa üç nokta koyması dikkat çekicidir. Ancak zamanla, değişkenlerin adları herhangi bir işaretin sayısını ifade etmeye başladı ve bu matematikçi Johann Hudde ile başladı.

Değişkenlerle matematikteki hesaplamaları çözmek daha kolaydır, çünkü örneğin, şimdi iki dereceli denklemleri nasıl çözeceğiz? Bir değişken giriyoruz. Örneğin:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

x2 için biraz k alıyoruz ve denklem netleşiyor:

x2=k, için k ≧ 0

k2 + 15k + 7=0

Değişkenlerin tanıtılmasının matematiğe getirdiği şey budur.

Eşitsizlikler, çözüm örnekleri

Eşitsizlik, iki matematiksel ifadenin veya iki sayının karşılaştırma işaretleri ile bağlandığı bir kayıttır:, ≦, ≧. Katıdırlar ve işaretlerle belirtilirler veya katı olmayan işaretlerle ≦, ≧.

Bu işaretler ilk kez tanıtıldıThomas Harriot. Thomas'ın ölümünden sonra bu notasyonları içeren kitabı yayınlandı, matematikçiler onları sevdi ve zamanla matematiksel hesaplamalarda yaygın olarak kullanılmaya başlandı.

Tek değişkenli eşitsizlikleri çözerken izlenecek birkaç kural vardır:

Bir sayıyı eşitsizliğin bir kısmından diğerine aktarırken, işaretini tersiyle değiştirin.
Bir eşitsizliğin parçalarını negatif bir sayı ile çarparken veya bölerken, işaretleri ters çevrilir.
Eşitsizliğin her iki tarafını da pozitif bir sayı ile çarpar veya bölersen, orijinal eşitsizliği elde edersin.

Bir eşitsizliği çözmek, bir değişken için tüm geçerli değerleri bulmak demektir.

Tek değişkenli örnek:

10x - 50 > 150

Normal bir doğrusal denklem gibi çözüyoruz - değişkenli terimleri değişkensiz sola kaydırıyoruz - sağa ve benzer terimler veriyoruz:

10x > 200

Eşitsizliğin her iki tarafını da 10'a böleriz ve şunu elde ederiz:

x > 20

Açıklık olması için, tek değişkenli bir eşitsizliği çözme örneğinde, bir sayı doğrusu çizin, eşitsizlik katı olduğundan ve bu sayı çözüm kümesine dahil edilmediğinden, delinmiş nokta 20'yi işaretleyin..

Bu eşitsizliğin çözümü (20; +∞) aralığıdır.

Kesin olmayan bir eşitsizliğin çözümü, katı olanla aynı şekilde gerçekleştirilir:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

Ama bir istisna var. x ≧ 5 biçimindeki bir kayıt şu şekilde anlaşılmalıdır: x, beşten büyük veya ona eşittir, yanibeş sayısı eşitsizliğe yönelik tüm çözümler kümesinde yer alır yani cevabı yazarken beş sayısının önüne köşeli parantez koyarız.

x ∈ [5; +∞)

Kare eşitsizlikler

ax2 + bx +c=0 biçiminde ikinci dereceden bir denklem alırsak ve eşittir işaretini içindeki eşitsizlik işaretiyle değiştirirsek, buna göre bir ikinci dereceden eşitsizlik.

İkinci dereceden bir eşitsizliği çözmek için, ikinci dereceden denklemleri çözebilmeniz gerekir.

y=ax2 + bx + c ikinci dereceden bir fonksiyondur. Diskriminant veya Vieta teoremini kullanarak çözebiliriz. Bu denklemlerin nasıl çözüldüğünü hatırlayın:

1) y=x2 + 12x + 11 - fonksiyon bir paraboldür. "a" katsayısının işareti pozitif olduğu için dalları yukarı doğru yönlendirilir.

2) x2 + 12x + 11=0 - sıfıra eşitleyin ve diskriminant kullanarak çözün.

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 kök

İkinci dereceden denklemin köklerinin formülüne göre, şunu elde ederiz:

x₁ =-1, x_2=-11

Ya da bu denklemi Vieta teoremini kullanarak çözebilirsiniz:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

Seçim yöntemini kullanarak denklemin aynı köklerini elde ederiz.

Parabol

Yani, ikinci dereceden bir eşitsizliği çözmenin ilk yolu bir paraboldür. Bunu çözmek için algoritma aşağıdaki gibidir:

1. Parabolün dallarının nereye yönlendirildiğini belirleyin.

2. Fonksiyonu sıfıra eşitleyin ve denklemin köklerini bulun.

3. Bir sayı doğrusu oluşturuyoruz, üzerine kökleri işaretliyoruz, bir parabol çiziyoruz ve eşitsizliğin işaretine göre ihtiyacımız olan boşluğu buluyoruz.

Eşitsizliği çözün x2 + x - 12 > 0

İşlev olarak yazın:

1) y=x2 + x - 12 - parabol, dallar yukarı.

Sıfıra ayarla.

2) x2 + x -12=0

Sonra, ikinci dereceden bir denklem olarak çözüyoruz ve fonksiyonun sıfırlarını buluyoruz:

x₁ =3, x_2=-4

3) Üzerinde 3 ve -4 noktaları olan bir sayı doğrusu çizin. Parabol bunların içinden geçecek, dallara ayrılacak ve eşitsizliğin cevabı bir dizi pozitif değer olacak, yani (-∞; -4), (3; +∞).

Aralık yöntemi

İkinci yol, boşluk bırakma yöntemidir. Bunu çözmek için algoritma:

1. Eşitsizliğin sıfıra eşit olduğu denklemin köklerini bulun.

2. Onları sayı satırında işaretliyoruz. Böylece birkaç aralığa bölünmüştür.

3. Herhangi bir aralığın işaretini belirleyin.

4. İşaretleri kalan aralıklarla yerleştiriyoruz, birinden sonra değiştiriyoruz.

Eşitsizliği çözün (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0

1) Eşitsizlik sıfırları: 4, 5 ve -7.

2) Sayı doğrusuna çizin.

3) Aralıkların işaretlerini belirleyin.

Cevap: (-∞; -7]; [4; 5].

Bir eşitsizliği daha çözün: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Eşitsizlik sıfırları: 0, 2, -2 ve 1.

2. Onları sayı doğrusunda işaretleyin.

3. Aralık işaretlerini belirleyin.

Çizgi aralıklara bölünmüştür - -2'den 0'a, 0'dan 1'e, 1'den 2'ye

İlk aralıktaki değeri alın - (-1). Eşitsizlikte yerine koy. Bu değerle eşitsizlik pozitif olur, yani bu aralıktaki işaret + olacaktır.

Ayrıca, ilk boşluktan başlayarak işaretleri birer birer değiştirerek düzenliyoruz.

Eşitsizlik sıfırdan büyük, yani doğru üzerinde bir dizi pozitif değer bulmanız gerekiyor.

Cevap: (-2; 0), (1; 2).

Denklem sistemleri

İki değişkenli bir denklem sistemi, ortak bir çözüm bulmanın gerekli olduğu küme paranteziyle birleştirilen iki denklemdir.

Sistemlerden birinin genel çözümü diğerinin çözümüyse veya ikisinin de çözümü yoksa eşdeğer olabilir.

İki değişkenli denklem sistemlerinin çözümünü inceleyeceğiz. Bunları çözmenin iki yolu vardır - ikame yöntemi veya cebirsel yöntem.

Cebirsel yöntem

Resimde gösterilen sistemi bu yöntemi kullanarak çözmek için, önce parçalarından birini böyle bir sayı ile çarpmanız gerekir, böylece daha sonra denklemin her iki bölümünden bir değişkeni karşılıklı olarak iptal edebilirsiniz. Burada üç ile çarpıyoruz, sistemin altına bir çizgi çekiyoruz ve parçalarını topluyoruz. Sonuç olarak, x'ler modül olarak özdeş, ancak işaret bakımından zıt hale gelir ve biz onları az altırız. Ardından, tek değişkenli doğrusal bir denklem elde edip çözüyoruz.

Y'yi bulduk ama orada duramayız çünkü henüz X'i bulamadık. VekilY, X'i çekmenin uygun olacağı kısma, örneğin:

-x + 5y=8, y=1 ile

-x + 5=8

Sonuçtaki denklemi çözün ve x'i bulun.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

Sistemin çözümünde asıl olan cevabı doğru yazmaktır. Birçok öğrenci yazma hatası yapar:

Cevap: -3, 1.

Ama bu yanlış bir giriş. Sonuçta, yukarıda belirtildiği gibi, bir denklem sistemini çözerken, parçaları için genel bir çözüm arıyoruz. Doğru cevap şu olurdu:

(-3; 1)