Düzlemde ve üç boyutlu uzayda doğruların denklemlerini ayarlama yöntemleri

2024 Yazar: Angel Austin | [email protected]. Son düzenleme: 2024-01-02 17:57

Düz çizgi, düzlemdeki ve üç boyutlu uzaydaki ana geometrik nesnedir. Pek çok figürün inşa edildiği düz çizgilerdendir, örneğin: bir paralelkenar, bir üçgen, bir prizma, bir piramit vb. Makalede doğruların denklemlerini ayarlamanın çeşitli yollarını düşünün.

Düz bir çizginin tanımı ve onu tanımlayacak denklem türleri

Her öğrencinin hangi geometrik nesneden bahsettiği hakkında iyi bir fikri vardır. Düz bir çizgi bir noktalar topluluğu olarak temsil edilebilir ve her birini sırayla diğerleriyle birleştirirsek, bir dizi paralel vektör elde ederiz. Başka bir deyişle, doğrunun her noktasına sabit noktalarından birinden ulaşmak, onu gerçek bir sayı ile çarpılan bir birim vektöre aktarmak mümkündür. Düz bir çizginin bu tanımı, hem düzlemde hem de üç boyutlu uzayda matematiksel açıklaması için bir vektör eşitliğini tanımlamak için kullanılır.

Düz bir çizgi, aşağıdaki denklem türleri ile matematiksel olarak temsil edilebilir:

genel;
vektör;
parametrik;
bölümlerde;
simetrik (standart).

Ardından, tüm adlandırılmış türleri ele alacağız ve problem çözme örneklerini kullanarak onlarla nasıl çalışılacağını göstereceğiz.

Düz bir çizginin vektör ve parametrik açıklaması

Bilinen bir vektörden geçen düz bir çizgi tanımlayarak başlayalım. M(x₀; y₀; z_{0) uzayında sabit bir nokta olduğunu varsayalım. Düz çizginin içinden geçtiği ve v¯(a; b; c) vektör parçası boyunca yönlendirildiği bilinmektedir. Bu verilerden çizginin keyfi bir noktası nasıl bulunur? Bu sorunun cevabı şu eşitliği verecektir:}

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c)}

λ keyfi bir sayı olduğunda.

Benzer bir ifade, vektörlerin ve noktaların koordinatlarının iki sayı kümesiyle temsil edildiği iki boyutlu durum için yazılabilir:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b)}

Yazılan denklemlere vektör denklemleri denir ve yönlendirilmiş segment v¯'nin kendisi düz çizginin yön vektörüdür.

Yazılı ifadelerden, karşılık gelen parametrik denklemler basitçe elde edilir, bunları açıkça yeniden yazmak yeterlidir. Örneğin, uzaydaki durum için şu denklemi elde ederiz:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb;}

z=z_{0+ λc}

Davranışı analiz etmeniz gerekiyorsa parametrik denklemlerle çalışmak uygundurher koordinat. λ parametresi keyfi değerler alabilse de, her üç eşitlikte de aynı olması gerektiğini unutmayın.

Genel denklem

Genellikle dikkate alınan geometrik nesneyle çalışmak için kullanılan düz bir çizgiyi tanımlamanın başka bir yolu da genel bir denklem kullanmaktır. İki boyutlu durum için şuna benzer:

Ax + By + C=0

Burada büyük Latin harfleri belirli sayısal değerleri temsil eder. Bu eşitliğin problem çözmedeki rahatlığı, düz bir çizgiye dik olan bir vektörü açıkça içermesi gerçeğinde yatmaktadır. Bunu n¯ ile gösterirsek şunu yazabiliriz:

n¯=[A; B]

Ayrıca, ifade düz bir çizgiden P(x₁; y_{1 noktasına olan uzaklığı belirlemek için kullanılabilir)). d mesafesinin formülü:}

d=|Ax₁+ By₁+ C| / √(A²+ B²⁾

Y değişkenini genel denklemden açıkça ifade edersek, düz bir çizgi yazmanın şu iyi bilinen biçimini elde ettiğimizi göstermek kolaydır:

y=kx + b

K ve b, A, B, C sayılarıyla benzersiz bir şekilde belirlenir.

Segmentlerdeki denklem ve kurallı

Düz bir çizginin koordinat eksenlerinin kesişimi

Segmentlerdeki denklemi genel görünümden elde etmek en kolay yoldur. Size nasıl yapılacağını göstereceğiz.

Şu satırın elimizde olduğunu varsayalım:

Ax + By + C=0

Serbest terimi eşitliğin sağ tarafına taşıyın, sonra tüm denklemi ona bölün, şunu elde ederiz:

Ax + By=-C;

x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;

x / q + y / p=1, burada q=-C / A, p=-C / B

Sözde denklemi segmentlerde elde ettik. Adını, her değişkenin bölündüğü paydanın, çizginin karşılık gelen eksenle kesiştiği koordinatın değerini göstermesi nedeniyle almıştır. Bu gerçeği, bir koordinat sisteminde düz bir çizgiyi tasvir etmek ve diğer geometrik nesnelere (düz çizgiler, noktalar) göre göreli konumunu analiz etmek için kullanmak uygundur.

Şimdi kanonik denklemi elde etmeye geçelim. Parametrik seçeneği düşünürsek, bunu yapmak daha kolaydır. Uçaktaki vaka için elimizde:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb}

Her eşitlikte λ parametresini ifade ediyoruz, sonra onları eşitliyoruz, şunu elde ediyoruz:

λ=(x - x_{0) / a;}

λ=(y - y_{0) / b;}

(x - x₀) / a=(y - y_{0) / b}

Bu, simetrik biçimde yazılmış istenen denklemdir. Tıpkı bir vektör ifadesi gibi, yön vektörünün koordinatlarını ve doğruya ait olan noktalardan birinin koordinatlarını açıkça içerir.

Bu paragrafta iki boyutlu durum için denklemler verdiğimiz görülebilir. Benzer şekilde, uzayda düz bir çizginin denklemini yazabilirsiniz. Burada belirtilmelidir ki, eğer kanonik formsegmentlerdeki kayıtlar ve ifade aynı forma sahip olacaktır, o zaman düz bir çizgi için uzaydaki genel denklem, kesişen düzlemler için iki denklem sistemi ile temsil edilir.

Düz bir doğrunun denklemini kurma problemi

Geometriden, her öğrenci iki noktadan tek bir çizgi çizebileceğinizi bilir. Aşağıdaki noktaların koordinat düzleminde verildiğini varsayalım:

M_{1(1; 2);}

M_{2(-1; 3)}

Her iki noktanın da ait olduğu doğrunun denklemini doğru parçası olarak, vektörel, kanonik ve genel formda bulmak gerekir.

Önce vektör denklemini alalım. Bunu yapmak için, M₁M_{2¯: doğrudan yön vektörü için tanımlayın}

E₁M_{2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)}

Artık problem ifadesinde belirtilen iki noktadan birini alarak bir vektör denklemi oluşturabilirsiniz, örneğin, M_2:

(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)

Kanonik denklemi elde etmek için, bulunan eşitliği parametrik bir forma dönüştürmek ve λ parametresini hariç tutmak yeterlidir. Bizde:

x=-1 - 2λ, dolayısıyla λ=x + 1 / (-2);

y=3 + λ, o zaman λ=y - 3 elde ederiz;

x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1

Kalan iki denklem (genel ve segmentler halinde) kanonik olandan aşağıdaki gibi dönüştürülerek bulunabilir:

x + 1=-2y + 6;

genel denklem: x + 2y - 5=0;

bölüm denklemi: x / 5 + y / 2, 5=1

Sonuçtaki denklemler, vektörün (1; 2) doğruya dik olması gerektiğini gösteriyor. Gerçekten de, yön vektörü ile skaler ürününü bulursanız, o zaman sıfıra eşit olacaktır. Doğru parçası denklemi, doğrunun x eksenini (5; 0) ve y eksenini (2, 5; 0) noktasında kestiğini söylüyor.

Çizgilerin kesişme noktasını belirleme sorunu

Düzlem üzerinde aşağıdaki denklemlerle iki düz çizgi verilmiştir:

2x + y -1=0;

(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)

Bu doğruların kesiştiği noktanın koordinatlarını belirlemek gerekir.

Sorunu çözmenin iki yolu vardır:

Vektör denklemini genel bir forma dönüştürün, ardından iki doğrusal denklem sistemini çözün.
Hiçbir dönüşüm gerçekleştirmeyin, sadece λ parametresi ile ifade edilen kesişim noktasının koordinatını ilk denklemde değiştirin. Ardından parametre değerini bulun.

İkinci yolu yapalım. Bizde: