Geometride, bir noktadan sonra düz bir çizgi belki de en basit öğedir. Düzlemde ve üç boyutlu uzayda herhangi bir karmaşık figürün yapımında kullanılır. Bu yazıda, düz bir çizginin genel denklemini ele alacağız ve onu kullanarak birkaç problemi çözeceğiz. Hadi başlayalım!
Geometride düz çizgi
Dikdörtgen, üçgen, prizma, küp vb. şekillerin kesişen doğrularla oluştuğunu herkes bilir. Geometride düz bir çizgi, belirli bir noktanın aynı veya zıt yöne sahip bir vektöre aktarılmasıyla elde edilebilen tek boyutlu bir nesnedir. Bu tanımı daha iyi anlamak için uzayda bir P noktası olduğunu hayal edin. Bu uzayda rastgele bir u¯ vektörü alın. Daha sonra, aşağıdaki matematiksel işlemlerin bir sonucu olarak doğrunun herhangi bir Q noktası elde edilebilir:
Q=P + λu¯.
Burada λ pozitif veya negatif olabilen rastgele bir sayıdır. eşitlik iseyukarıya koordinatlar cinsinden yaz, sonra aşağıdaki düz çizgi denklemini elde ederiz:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Bu eşitliğe vektör biçiminde düz bir çizginin denklemi denir. Ve u¯ vektörüne kılavuz denir.
Düzlemdeki bir doğrunun genel denklemi
Her öğrenci zorlanmadan yazabilir. Ancak çoğu zaman denklem şu şekilde yazılır:
y=kx + b.
k ve b rasgele sayılardır. B sayısına serbest üye denir. k parametresi, düz çizginin x ekseniyle kesişmesiyle oluşan açının tanjantına eşittir.
Yukarıdaki denklem y değişkenine göre ifade edilir. Daha genel bir biçimde sunarsak, şu notasyonu elde ederiz:
Ax + By + C=0.
Düz bir doğrunun genel denklemini bir düzlem üzerine yazmanın bu biçiminin kolayca önceki forma dönüştürüldüğünü göstermek kolaydır. Bunu yapmak için sol ve sağ kısımlar B faktörüne bölünmeli ve y ile ifade edilmelidir.
Yukarıdaki şekil iki noktadan geçen düz bir çizgiyi göstermektedir.
3B uzayda bir çizgi
Çalışmamıza devam edelim. Düz bir doğrunun denkleminin genel formda bir düzlemde nasıl verildiği sorusunu düşündük. Mekânsal durum için makalenin bir önceki paragrafında verilen gösterimi uygularsak ne elde ederiz? Her şey basit - artık düz bir çizgi değil, bir uçak. Gerçekten de, aşağıdaki ifade z eksenine paralel olan bir düzlemi tanımlar:
Ax + By + C=0.
Eğer C=0 ise, böyle bir düzlem geçerz ekseni boyunca. Bu önemli bir özellik.
O zaman uzayda düz bir çizginin genel denklemi ile nasıl olunur? Nasıl soracağınızı anlamak için bir şeyi hatırlamanız gerekir. İki düzlem belirli bir düz çizgi boyunca kesişir. Ne anlama geliyor? Sadece genel denklem, düzlemler için iki denklemli bir sistem çözmenin sonucudur. Bu sistemi yazalım:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
Bu sistem, uzayda bir düz çizginin genel denklemidir. Düzlemlerin birbirine paralel olmaması, yani normal vektörlerinin birbirine göre bir açıyla eğimli olması gerektiğine dikkat edin. Aksi takdirde sistemin hiçbir çözümü olmayacaktır.
Yukarıda düz bir doğru için denklemin vektör şeklini verdik. Bu sistemi çözerken kullanmak uygundur. Bunu yapmak için önce bu düzlemlerin normallerinin vektör çarpımını bulmanız gerekir. Bu işlemin sonucu düz bir çizginin yön vektörü olacaktır. Daha sonra doğruya ait herhangi bir nokta hesaplanmalıdır. Bunu yapmak için değişkenlerden herhangi birini belirli bir değere eşitlemeniz gerekir, kalan iki değişken indirgenmiş sistem çözülerek bulunabilir.
Bir vektör denklemi genel bir denkleme nasıl çevrilir? Nüanslar
Bu, iki noktanın bilinen koordinatlarını kullanarak bir düz çizginin genel denklemini yazmanız gerekirse ortaya çıkabilecek gerçek bir problemdir. Bu sorunun nasıl çözüldüğünü bir örnekle gösterelim. İki noktanın koordinatları bilinsin:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
Vektör biçiminde denklem oluşturmak oldukça kolaydır. Yön vektörü koordinatları:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Q koordinatlarını P noktasının koordinatlarından çıkarırsak hiçbir fark olmadığına dikkat edin, vektör sadece yönünü tersine değiştirecektir. Şimdi herhangi bir noktayı alıp vektör denklemini yazmalısınız:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
Düz bir çizginin genel denklemini yazmak için, λ parametresi her iki durumda da ifade edilmelidir. Ve sonra sonuçları karşılaştırın. Bizde:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
Bilinen iki noktadan geçen bir doğru için genel bir ifade elde etmek için sadece parantezleri açıp denklemin tüm terimlerini denklemin bir tarafına aktarmak kalır.
Üç boyutlu bir problem durumunda, çözüm algoritması korunur, sadece sonucu düzlemler için iki denklemli bir sistem olacaktır.
Görev
Genel bir denklem yapmak gerekiyorx eksenini (-3, 0)'da kesen ve y eksenine paralel olan düz bir çizgi.
Denklemi vektör biçiminde yazarak problemi çözmeye başlayalım. Doğru, y eksenine paralel olduğu için, onu yönlendiren vektör şu şekilde olacaktır:
u¯=(0, 1).
Ardından istenilen satır şu şekilde yazılacaktır:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
Şimdi bu ifadeyi genel bir forma çevirelim, bunun için λ: parametresini ifade ediyoruz.
- x=-3;
- y=λ.
Dolayısıyla, y değişkeninin herhangi bir değeri satıra aittir, ancak x değişkeninin yalnızca tek değeri ona karşılık gelir. Bu nedenle, genel denklem şu şekilde olacaktır:
x + 3=0.
Uzayda düz bir çizgi ile ilgili problem
İki kesişen düzlemin aşağıdaki denklemlerle verildiği bilinmektedir:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
Bu düzlemlerin kesiştiği doğrunun vektör denklemini bulmak gerekir. Hadi başlayalım.
Söylendiği gibi, üç boyutlu uzayda bir düz çizginin genel denklemi zaten üç bilinmeyenli iki sistem şeklinde verilmiştir. Her şeyden önce, düzlemlerin kesiştiği yön vektörünü belirliyoruz. Normallerin vektör koordinatlarını düzlemlerle çarparak şunu elde ederiz:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Bir vektörü negatif bir sayı ile çarpmak yönünü tersine çevirdiği için şunu yazabiliriz:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
Kimedüz bir çizgi için bir vektör ifadesi bulmak için, yön vektörüne ek olarak, bu düz çizginin bir noktasını bilmek gerekir. Bul, koordinatlarının problem durumunda denklem sistemini sağlaması gerektiğinden, onları bulacağız. Örneğin, x=0 koyalım, sonra şunu elde ederiz:
y=z;
y=3/2=1, 5.
Böylece istenilen düz çizgiye ait olan nokta şu koordinatlara sahiptir:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Ardından bu sorunun cevabını alıyoruz, istenen çizginin vektör denklemi şöyle görünecek:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
Çözümün doğruluğu kolayca kontrol edilebilir. Bunu yapmak için, λ parametresinin keyfi bir değerini seçmeniz ve düz çizginin noktasının elde edilen koordinatlarını düzlemler için her iki denklemde değiştirmeniz gerekir, her iki durumda da bir özdeşlik elde edersiniz.
