Okul çocuklarının en büyük zorluklarla baş ettikleri matematiğin dallarından biri de trigonometridir. Hiç şüphe yok: Bu bilgi alanında özgürce ustalaşmak için, uzamsal düşünmeye, sinüsleri, kosinüsleri, tanjantları, formülleri kullanarak kotanjantları bulma, ifadeleri basitleştirme ve pi sayısını hesaplamalarda kullanabilme yeteneğine ihtiyacınız var. Ek olarak, teoremleri ispatlarken trigonometri uygulayabilmeniz gerekir ve bunun için gelişmiş bir matematiksel bellek veya karmaşık mantıksal zincirleri çıkarabilme yeteneği gerekir.
Trigonometrinin Kökenleri
Bu bilime giriş, bir açının sinüs, kosinüs ve tanjantının tanımıyla başlamalıdır, ancak önce trigonometrinin genel olarak ne yaptığını bulmanız gerekir.
Tarihsel olarak, matematik biliminin bu bölümündeki ana araştırma nesnesi dik üçgenler olmuştur. 90 derecelik bir açının varlığı, iki izin veren çeşitli işlemlerin gerçekleştirilmesini mümkün kılar.yanlar ve bir köşe veya iki köşe ve bir taraf, söz konusu şeklin tüm parametrelerinin değerlerini belirlemek için. Geçmişte insanlar bu kalıbı fark ettiler ve bina yapımında, navigasyon, astronomi ve hatta sanatta aktif olarak kullanmaya başladılar.
Başlangıç
Başlangıçta, insanlar sadece dik üçgenler örneğinde açılar ve kenarlar arasındaki ilişkiden bahsettiler. Daha sonra, matematiğin bu bölümünün günlük yaşamda kullanım sınırlarını genişletmeyi mümkün kılan özel formüller keşfedildi.
Bugün okulda trigonometri çalışması dik üçgenlerle başlıyor, daha sonra edinilen bilgiler öğrenciler tarafından fizikte ve lisede başlayan soyut trigonometrik denklemlerin çözümünde kullanılıyor.
Küresel trigonometri
Daha sonra bilim bir sonraki gelişme düzeyine ulaştığında, sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant içeren formüller, diğer kuralların geçerli olduğu küresel geometride kullanılmaya başlandı ve bir üçgendeki açıların toplamı her zaman daha fazladır. 180 dereceden fazla. Bu bölüm okulda çalışılmamıştır, ancak en azından dünyanın yüzeyi ve diğer herhangi bir gezegenin yüzeyi dışbükey olduğu için varlığını bilmek gerekir, bu da yüzeyin herhangi bir işaretinin "yay şeklinde olacağı" anlamına gelir. " üç boyutlu uzayda.
Bir küre ve bir iplik alın. İpliği, gergin olacak şekilde küre üzerindeki herhangi iki noktaya takın. Dikkat edin - bir yay şeklini almıştır. Bu tür formlarla ilgilenirjeodezi, astronomi ve diğer teorik ve uygulamalı alanlarda kullanılan küresel geometri.
Dik üçgen
Trigonometri kullanma yolları hakkında biraz bilgi sahibi olduktan sonra, sinüs, kosinüs, tanjantın ne olduğunu, bunların yardımıyla hangi hesaplamaların yapılabileceğini ve hangi formüllerin kullanılacağını daha iyi anlamak için temel trigonometriye dönelim.
Öncelikle dik üçgenle ilgili kavramları anlamalısın. İlk olarak, hipotenüs 90 derecelik açının karşısındaki kenardır. O en uzun. Pisagor teoremine göre sayısal değerinin diğer iki kenarın karelerinin toplamının köküne eşit olduğunu hatırlıyoruz.
Örneğin, iki kenar sırasıyla 3 ve 4 santimetre ise, hipotenüsün uzunluğu 5 santimetre olacaktır. Bu arada, eski Mısırlılar bunu yaklaşık dört buçuk bin yıl önce biliyorlardı.
Dik açı oluşturan kalan iki kenara bacak denir. Ayrıca dikdörtgen bir koordinat sisteminde bir üçgenin açılarının toplamının 180 derece olduğunu unutmamalıyız.
Tanım
Son olarak, geometrik taban hakkında sağlam bir anlayışa sahip olarak, bir açının sinüs, kosinüs ve tanjantının tanımına dönebiliriz.
Bir açının sinüsü, karşı bacağın (yani, istenen açının karşısındaki taraf) hipotenüse oranıdır. Bir açının kosinüsü, bitişik bacağın hipotenüse oranıdır.
Ne sinüs ne de kosinüsün birden büyük olamayacağını unutmayın! Niye ya?Çünkü hipotenüs varsayılan olarak bir dik üçgenin en uzun kenarıdır. Bacak ne kadar uzun olursa olsun, hipotenüsten daha kısa olacaktır, bu da oranlarının her zaman birden az olacağı anlamına gelir. Bu nedenle, sorunun cevabında 1'den büyük bir sinüs veya kosinüs alırsanız, hesaplamalarda veya akıl yürütmede bir hata arayın. Bu cevap açıkça yanlış.
Son olarak, bir açının tanjantı, karşı kenarın bitişik kenara oranıdır. Aynı sonuç, sinüsün kosinüs tarafından bölünmesini verecektir. Bakın: formüle göre, kenar uzunluğunu hipotenüse böleriz, ardından ikinci kenarın uzunluğuna böleriz ve hipotenüsle çarparız. Böylece tanjant tanımındakiyle aynı oranı elde ederiz.
Kotanjant, sırasıyla, köşeye bitişik kenarın karşı kenara oranıdır. Birimi teğete bölerek aynı sonucu elde ederiz.
Yani sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant nedir tanımlarını düşündük ve formüllerle ilgilenebiliriz.
Basit formüller
Trigonometride formüller olmadan yapılamaz - onlarsız sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant nasıl bulunur? Ancak bu, sorunları çözerken tam olarak gerekli olan şeydir.
Trigonometri çalışmaya başlarken bilmeniz gereken ilk formül, bir açının sinüs ve kosinüs karelerinin toplamının bire eşit olduğunu söyler. Bu formül Pisagor teoreminin doğrudan bir sonucudur, ancak kenar değil açının değerini bulmanız gerekiyorsa zaman kazandırır.
Birçok öğrenci ikinci formülü hatırlayamıyor, ayrıca çokokul problemlerini çözmede popüler: bir açının tanjantının karesi ile bir toplamının, açının kosinüs karesine bölünmesine eşittir. Daha yakından bakın: sonuçta, bu ilk formüldekiyle aynı ifadedir, kimliğin yalnızca her iki tarafı kosinüsün karesine bölünmüştür. Basit bir matematiksel işlemin trigonometrik formülü tamamen tanınmaz hale getirdiği ortaya çıktı. Unutmayın: sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın ne olduğunu, dönüştürme kurallarını ve birkaç temel formülü bilerek, istediğiniz zaman bir kağıt parçası üzerinde gerekli daha karmaşık formülleri bağımsız olarak türetebilirsiniz.
Çift açılı formüller ve argümanların eklenmesi
Öğrenilecek iki formül daha, açıların toplamı ve farkı için sinüs ve kosinüs değerleriyle ilgilidir. Aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. Lütfen ilk durumda sinüs ve kosinüsün iki kez çarpıldığını ve ikinci durumda sinüs ve kosinüsün ikili çarpımının eklendiğini unutmayın.
Çift açılı argümanlarla ilişkili formüller de vardır. Bunlar tamamen öncekilerden türetilmiştir - bir uygulama olarak, alfa açısını beta açısına eşit alarak onları kendiniz almaya çalışın.
Son olarak, sinüs, kosinüs, tanjant alfa derecesini az altmak için çift açı formüllerinin dönüştürülebileceğini unutmayın.
Teoremler
Temel trigonometrideki iki ana teorem sinüs teoremi ve kosinüs teoremidir. Bu teoremlerin yardımıyla sinüs, kosinüs ve tanjantı ve dolayısıyla şeklin alanını ve büyüklüğü nasıl bulacağınızı kolayca anlayabilirsiniz.her iki taraf, vb.
Sinüs teoremi, bir üçgenin her bir kenarının uzunluğunu karşı açının değerine bölmenin bir sonucu olarak aynı sayıyı elde ettiğimizi belirtir. Üstelik bu sayı, çevrelenmiş dairenin, yani verilen üçgenin tüm noktalarını içeren dairenin iki yarıçapına eşit olacaktır.
Kosinüs teoremi Pisagor teoremini herhangi bir üçgene yansıtarak genelleştirir. İki tarafın karelerinin toplamından, yanlarındaki açının çift kosinüsü ile çarpılan çarpımlarını çıkarın - elde edilen değer üçüncü tarafın karesine eşit olacaktır. Böylece, Pisagor teoremi, kosinüs teoreminin özel bir durumu olarak ortaya çıkıyor.
Dikkatsizlikten kaynaklanan hatalar
Sinüs, kosinüs ve tanjantın ne olduğunu bilsek bile dalgınlıktan veya en basit hesaplamalardaki bir hatadan dolayı hata yapmak kolaydır. Bu tür hatalardan kaçınmak için en popüler olanlara bir göz atalım.
Öncelikle, nihai sonucu almadan önce ortak kesirleri ondalık sayılara dönüştürmeyin - koşulda aksi belirtilmedikçe cevabı ortak bir kesir olarak bırakabilirsiniz. Böyle bir dönüşüm bir hata olarak adlandırılamaz, ancak görevin her aşamasında, yazarın fikrine göre az altılması gereken yeni köklerin ortaya çıkabileceği unutulmamalıdır. Bu durumda gereksiz matematiksel işlemlerle zaman kaybedersiniz. Bu, özellikle üç veya ikinin kökü gibi değerler için geçerlidir, çünkü her adımda görevlerde ortaya çıkarlar. Aynı şey yuvarlama için de geçerli."Çirkin" sayılar.
Sonra, kosinüs teoreminin herhangi bir üçgen için geçerli olduğunu, ancak Pisagor teoremi için geçerli olmadığını unutmayın! Kenarların çarpımının iki katı ile aralarındaki açının kosinüsünü çıkarmayı yanlışlıkla unutursanız, yalnızca tamamen yanlış bir sonuç elde etmekle kalmaz, aynı zamanda konuyu tamamen yanlış anladığınızı da gösterirsiniz. Bu dikkatsiz bir hatadan daha kötü.
Üçüncüsü, sinüsler, kosinüsler, tanjantlar, kotanjantlar için 30 ve 60 derecelik açı değerlerini karıştırmayın. Bu değerleri hatırlayın, çünkü 30 derecenin sinüsü, 60'ın kosinüsüne eşittir ve bunun tersi de geçerlidir. Bunları karıştırmak kolaydır ve kaçınılmaz olarak hatalı bir sonuç alırsınız.
Uygulama
Birçok öğrenci trigonometri okumaya başlamak için acelesi yok çünkü trigonometrinin uygulamalı anlamını bilmiyorlar. Bir mühendis veya astronom için sinüs, kosinüs, tanjant nedir? Bunlar, uzak yıldızlara olan mesafeyi hesaplayabileceğiniz, bir göktaşı düşüşünü tahmin edebileceğiniz, başka bir gezegene araştırma sondası gönderebileceğiniz kavramlardır. Onlar olmadan bir bina inşa etmek, bir araba tasarlamak, bir nesnenin yüzeyindeki yükü veya yörüngesini hesaplamak imkansızdır. Ve bunlar sadece en bariz örnekler! Ne de olsa trigonometri şu veya bu şekilde müzikten tıbba her yerde kullanılıyor.
Sonuç olarak
Yani sinüs, kosinüs ve tanjantın ne olduğunu biliyorsun. Bunları hesaplamalarda kullanabilir ve okul problemlerini başarıyla çözebilirsiniz.
Bütün meseletrigonometri, üçgenin bilinen parametrelerine göre bilinmeyenlerin hesaplanması gerektiği gerçeğine indirgenmiştir. Toplamda altı parametre vardır: üç kenarın uzunlukları ve üç açının büyüklükleri. Görevlerdeki tüm fark, farklı girdi verilerinin verilmesi gerçeğinde yatmaktadır.
Bacakların veya hipotenüsün bilinen uzunluklarına göre sinüs, kosinüs, tanjant nasıl bulunur, artık biliyorsunuz. Bu terimler bir orandan başka bir şey ifade etmediğinden ve oran bir kesir olduğundan, trigonometrik problemin ana amacı sıradan bir denklemin veya bir denklem sisteminin köklerini bulmaktır. Ve burada normal okul matematiği size yardımcı olacaktır.
