"Sonsuz" kelimesinde her kişinin kendi çağrışımları vardır. Birçoğu hayallerinde ufkun ötesindeki denizi çizerken, diğerleri gözlerinin önünde sonsuz yıldızlı bir gökyüzünün resmini çiziyor. Sayılarla çalışmaya alışkın matematikçiler, sonsuzluğu tamamen farklı bir şekilde hayal ederler. Yüzyıllardır ölçmek için gerekli olan fiziksel büyüklüklerin en büyüğünü bulmaya çalışıyorlar. Bunlardan biri Graham sayısıdır. İçinde kaç tane sıfır olduğunu ve ne için kullanıldığını bu yazıda anlatacağız.
Sonsuz büyük sayı
Matematikte, bu tür bir x değişkeninin adıdır , eğer verilen herhangi bir pozitif M sayısı için, N'den büyük tüm n sayıları için doğal bir N sayısı belirtilebilirse eşitsizliği |x | > M. Ancak hayır, örneğin, Z tamsayısı her zaman (Z + 1)'den küçük olacağından sonsuz büyük olarak kabul edilebilir.
"Devler" hakkında birkaç kelime
Fiziksel anlamı olan en büyük sayılar şu şekilde kabul edilir:
- 1080. Yaygın olarak quinquavigintillion olarak adlandırılan bu sayı, Evrendeki yaklaşık kuark ve lepton (en küçük parçacıklar) sayısını belirtmek için kullanılır.
- 1 Google. Ondalık sistemde böyle bir sayı 100 sıfırlı bir birim olarak yazılır. Bazı matematiksel modellere göre, büyük patlama anından en büyük kütleli kara deliğin patlamasına kadar 1 ila 1.5 googol yılı geçmeli, bundan sonra evrenimiz varlığının son aşamasına geçecektir, yani bu sayının belirli bir fiziksel anlamı olduğunu varsayalım.
- 8, 5 x 10185. Planck sabiti 1.616199 x 10-35 m, yani ondalık gösterimde 0.000000000000000000000000000000616199 m gibi görünüyor. Bir inçte yaklaşık 1 googol Planck uzunluğu vardır. Yaklaşık 8,5 x 10185 Planck uzunluklarının tüm evrenimize sığabileceği tahmin ediliyor.
- 277 232 917 – 1. Bu bilinen en büyük asal sayıdır. İkili gösterimi oldukça kompakt bir forma sahipse, ondalık biçimde göstermek için 13 milyondan az karakter alacaktır. 2017 yılında Mersenne numaralarını arama projesinin bir parçası olarak bulundu. Meraklılar bu yönde çalışmaya devam ederse, o zaman bilgisayar teknolojisinin mevcut gelişme düzeyinde, yakın gelecekte 277 232 917'den büyük bir Mersenne sayısı bulamamaları olası değildir.- 1, böyle olmasına rağmenşanslı kazanan 150.000 ABD Doları alacak.
- Hugoplex. Burada sadece 1'i alıyoruz ve arkasına 1 googol miktarında sıfır ekliyoruz. Bu sayıyı 10^10^100 olarak yazabilirsiniz. Onu ondalık biçimde temsil etmek imkansızdır, çünkü Evrenin tüm alanı, her birinin üzerine 10'luk bir “Kelime” yazı tipi boyutunda 0 yazılacak kağıt parçalarıyla doldurulursa, bu durumda sadece yarısıdır. googolplex numarası için 1'den sonraki tüm 0 elde edilir.
- 10^10^10^10^10^1.1. Bu, Poincaré teoremine göre Evrenimizin rastgele kuantum dalgalanmaları sonucunda kaç yıl sonra günümüze yakın bir duruma döneceğini gösteren bir sayıdır.
Graham'ın sayıları nasıl ortaya çıktı
1977'de, bilimin ünlü popülerleştiricisi Martin Gardner Scientific American'da Graham'ın Ramse'nin teorisinin sorunlarından birine ilişkin kanıtıyla ilgili bir makale yayınladı. İçinde, bilim adamı tarafından belirlenen limiti, ciddi matematiksel akıl yürütmede şimdiye kadar kullanılan en büyük sayı olarak adlandırdı.
Ronald Lewis Graham kimdir
Şimdi 80'lerinde olan bilim adamı California'da doğdu. 1962'de Berkeley Üniversitesi'nden matematik alanında doktora derecesi aldı. Bell Labs'de 37 yıl çalıştı ve daha sonra AT&T Labs'a geçti. Bilim adamı, 20. yüzyılın en büyük matematikçilerinden biri olan Pal Erdős ile aktif olarak işbirliği yaptı ve birçok prestijli ödülün sahibi. Graham'ın bilimsel bibliyografyası 320'den fazla bilimsel makale içerir.
70'lerin ortalarında, bilim adamı teoriyle ilgili problemle ilgileniyordu. Ramsey. Kanıtında, çok büyük bir sayı olan çözümün üst sınırı belirlendi ve daha sonra adı Ronald Graham'dan alındı.
Hiperküp sorunu
Graham sayısının özünü anlamak için önce nasıl elde edildiğini anlamalısınız.
Bilim adamı ve meslektaşı Bruce Rothschild şu problemi çözüyordu:
n boyutlu bir hiperküp var. Tüm köşe çiftleri, 2köşeli tam bir grafik elde edilecek şekilde bağlanır. Kenarlarının her biri mavi veya kırmızı renklidir. Bir hiperküpün sahip olması gereken minimum köşe sayısını bulmak gerekiyordu, böylece bu tür her bir renklendirme, aynı düzlemde uzanan 4 köşesi olan tam bir monokromatik alt grafiği içeriyordu.
Karar
Graham ve Rothschild, problemin 6 ⩽ N' ⩽N koşulunu sağlayan bir N' çözümü olduğunu kanıtladı; burada N, iyi tanımlanmış, çok büyük bir sayıdır.
N'nin alt sınırı daha sonra N'nin 13'ten büyük veya ona eşit olması gerektiğini kanıtlayan diğer bilim adamları tarafından rafine edildi. Böylece, yukarıda sunulan koşulları karşılayan bir hiperküpün en küçük köşe sayısı için ifade oldu 13 ⩽ N'⩽ N.
Knuth'un ok gösterimi
Graham sayısını tanımlamadan önce, ne ondalık ne de ikili gösterim bunun için kesinlikle uygun olmadığından, onun sembolik gösterim yöntemini öğrenmelisiniz.
Şu anda, bu miktarı temsil etmek için Knuth'un ok gösterimi kullanılmaktadır. Ona göre:
ab=a "yukarı ok" b.
Çoklu üs alma işlemi için giriş tanıtıldı:
a "yukarı ok" "yukarı ok" b=ab="b adet miktarında a'dan oluşan bir kule."
Ve pentasyon için, yani önceki operatörün tekrarlanan üslerinin sembolik gösterimi için, Knuth zaten 3 ok kullandı.
Graham sayısı için bu gösterimi kullanarak, 64 adet miktarında iç içe geçmiş "ok" dizilerimiz var.
Ölçek
Hayal gücünü heyecanlandıran ve insan bilincinin sınırlarını genişleten, onu Evrenin sınırlarının ötesine taşıyan ünlü sayıları Graham ve meslektaşları, onu hiperküpün ispatında N sayısının bir üst sınırı olarak elde ettiler. yukarıda sunulan sorun. Sıradan bir insanın ölçeğinin ne kadar büyük olduğunu hayal etmesi son derece zordur.
Karakter sayısı veya bazen yanlışlıkla söylendiği gibi Graham'ın sayısında sıfırlar sorusu, bu değeri ilk kez duyan hemen hemen herkesin ilgisini çekiyor.
64 üyeden oluşan, hızla büyüyen bir diziyle karşı karşıya olduğumuzu söylemek yeterli. İlk terimini hayal etmek bile imkansız, çünkü 3'ten oluşan n "kule" den oluşuyor. Zaten 3 üçlünün " alt katı" 7.625.597.484.987'ye eşittir, yani 7 milyarı aşıyor, yani 64. kat hakkında (üye değil!). Dolayısıyla Graham sayısının tam olarak ne olduğunu söylemek şu an için yeterli olmadığı için şu an için mümkün değil.bugün Dünya'da var olan tüm bilgisayarların birleşik gücü.
Rekor kırıldı mı?
Kruskal'ın teoremini kanıtlama sürecinde Graham'ın sayısı “kaidesinden atıldı”. Bilim adamı şu problemi önerdi:
Sonlu ağaçların sonsuz bir dizisi vardır. Kruskal, bazı grafiklerin hem daha büyük bir grafiğin parçası hem de tam kopyası olan bir bölümünün her zaman var olduğunu kanıtladı. Bu ifade herhangi bir şüphe uyandırmaz, çünkü sonsuzda her zaman tam olarak tekrar eden bir kombinasyon olacağı açıktır
Daha sonra, Harvey Friedman, yalnızca i katsayılı belirli bir grafik için en fazla (i + k) köşe bulunan döngüsel olmayan grafikleri (ağaçları) dikkate alarak bu sorunu biraz dar alttı. Döngüsel olmayan grafiklerin sayısının ne olması gerektiğini bulmaya karar verdi, böylece görevlerinin bu yöntemiyle başka bir ağaca gömülecek bir alt ağaç bulmak her zaman mümkün olacaktı.
Bu konuda yapılan araştırmalar sonucunda N'nin k'ye bağlı olarak muazzam bir hızla büyüdüğü bulundu. Özellikle, k=1 ise, o zaman N=3. Ancak, k=2'de N zaten 11'e ulaşır. En ilginç şey, k=3 olduğunda başlar. Bu durumda, N hızla "kalır" ve bir değere ulaşır. Graham sayısından birçok kez daha büyüktür. Ne kadar büyük olduğunu hayal etmek için Ronald Graham'ın G64 (3) şeklinde hesapladığı sayıyı yazmak yeterli. O zaman Friedman-Kruskal değeri (rev. FinKraskal(3)), G(G(187196) düzeyinde olacaktır). Başka bir deyişle, sonsuz derecede daha büyük olan bir mega değer elde edilir.hayal edilemeyecek kadar büyük bir Graham sayısı. Aynı zamanda, devasa sayıda sonsuzdan daha az olacaktır. Bu konsept hakkında daha detaylı konuşmak mantıklı.
Sonsuzluk
Parmaklardaki Graham sayısının ne olduğunu açıkladığımıza göre, bu felsefi kavrama yapılan ve yatırılmakta olan anlamı anlamalıyız. Sonuçta, "sonsuz" ve "sonsuz büyük bir sayı" belirli bir bağlamda aynı kabul edilebilir.
Bu konunun araştırılmasına en büyük katkı Aristoteles tarafından yapılmıştır. Antik çağın büyük düşünürü, sonsuzluğu potansiyel ve aktüel olarak ayırmıştır. İkincisi ile, sonsuz şeylerin varlığının gerçekliğini kastetmiştir.
Aristoteles'e göre, bu temel kavram hakkındaki fikirlerin kaynakları şunlardır:
- zaman;
- değerlerin ayrılması;
- sınır kavramı ve onun ötesinde bir şeyin varlığı;
- yaratıcı doğanın tükenmezliği;
- sınırları olmayan düşünmek.
Sonsuzluğun modern yorumunda, nicel bir ölçü belirleyemezsiniz, bu nedenle en büyük sayının aranması sonsuza kadar devam edebilir.
Sonuç
"Sonsuzluğa Bakış" metaforu ve Graham'ın sayısı bir anlamda eş anlamlı olarak kabul edilebilir mi? Aksine evet ve hayır. En güçlü hayal gücüyle bile her ikisini de hayal etmek imkansızdır. Ancak, daha önce de belirtildiği gibi, "en çok, en çok" olarak kabul edilemez. Başka bir şey ise şu anda Graham sayısından büyük değerlerin yerleşik birfiziksel duyu.
Ayrıca, sonsuz sayıdaözelliklerine sahip değildir, örneğin:
- ∞ + 1=∞;
- Sonsuz sayıda hem tek hem de çift sayı vardır;
- ∞ - 1=∞;
- Tek sayıların sayısı tüm sayıların tam yarısıdır;
- ∞ + ∞=∞;
- ∞/2=∞.
Özetlemek gerekirse: Graham'ın sayısı, Guinness Rekorlar Kitabı'na göre matematiksel ispat uygulamasındaki en büyük sayıdır. Ancak bu değerden kat kat büyük sayılar da vardır.
Büyük olasılıkla gelecekte daha da büyük "devlere" ihtiyaç duyulacak, özellikle de bir kişi güneş sistemimizin ötesine geçerse veya şu anki bilincimiz düzeyinde hayal bile edilemeyecek bir şey icat ederse.
