Polinom veya polinom - okul ve yüksek matematikte bulunan temel cebirsel yapılardan biridir. Bir polinom çalışması, bir cebir dersindeki en önemli konudur, çünkü bir yandan polinomlar diğer fonksiyon türlerine kıyasla oldukça basittir ve diğer yandan matematiksel analiz problemlerinin çözümünde yaygın olarak kullanılırlar.. Peki polinom nedir?
Tanım
Polinom teriminin tanımı, bir tek terimli veya tek terimli kavramı aracılığıyla verilebilir.
Tek terimli, cx1i1x2 biçiminin bir ifadesidir i2 …x in. Burada с bir sabittir, x1, x2, … x - değişkenler, i1, i2, … in - değişkenlerin üsleri. O halde bir polinom, tek terimlilerin herhangi bir sonlu toplamıdır.
Bir polinomun ne olduğunu anlamak için belirli örneklere bakabilirsiniz.
8. sınıf matematik dersinde ayrıntılı olarak anlatılan kare üç terimli bir polinomdur: ax2+bx+c.
İki değişkenli bir polinom şöyle görünebilir: x2-xy+y2. Çokbir polinom, x ve y arasındaki farkın eksik karesi olarak da adlandırılır.
Polinom sınıflandırmaları
Polinom derecesi
Polinomdaki her bir tek terimli için, i1+i2+…+in üslerinin toplamını bulun. Toplamların en büyüğüne polinomun üssü, bu toplama karşılık gelen monomiye de en yüksek terim denir.
Bu arada, herhangi bir sabit, sıfır dereceli bir polinom olarak kabul edilebilir.
İndirgenmiş ve indirgenmemiş polinomlar
En yüksek terim için c katsayısı 1'e eşitse, o zaman polinom verilir, aksi halde verilmez.
Örneğin, x2+2x+1 ifadesi indirgenmiş bir polinomdur ve 2x2+2x+1 indirgenmez.
Homojen ve homojen olmayan polinomlar
Bir polinomun tüm üyelerinin dereceleri eşitse, böyle bir polinomun homojen olduğunu söyleriz. Diğer tüm polinomların homojen olmadığı kabul edilir.
Homojen polinomlar: x2-xy+y2, xyz+x3 +y 3. Heterojen: x+1, x2+y.
İki ve üç terimli bir polinom için özel isimler vardır: sırasıyla binom ve trinomial.
Bir değişkenin polinomları ayrı bir kategoriye ayrılır.
Tek değişkenli bir polinomun uygulanması
Tek değişkenli polinomlar, bir bağımsız değişkenden karmaşıklığı değişen sürekli fonksiyonlara yaklaşıktır.
Gerçek şu ki, bu tür polinomlar bir kuvvet serisinin kısmi toplamları olarak kabul edilebilir ve sürekli bir fonksiyon, keyfi olarak küçük bir hataya sahip bir seri olarak temsil edilebilir. Bir fonksiyonun açılım serisine Taylor serisi denir ve bunlarınpolinomlar şeklinde kısmi toplamlar - Taylor polinomları.
Bir fonksiyonun davranışını bazı polinomlarla yaklaşıklaştırarak grafiksel olarak incelemek, genellikle aynı fonksiyonu doğrudan araştırmaktan veya bir seri kullanmaktan daha kolaydır.
Polinomların türevlerini aramak kolaydır. Derece 4 ve altındaki polinomların köklerini bulmak için hazır formüller vardır ve daha yüksek derecelerle çalışmak için yüksek hassasiyetli yaklaşık algoritmalar kullanılır.
Ayrıca, birkaç değişkenli fonksiyonlar için açıklanan polinomların bir genellemesi vardır.
Newton'un iki terimi
Ünlü polinomlar, bilim adamları tarafından (x + y) ifadesinin katsayılarını bulmak için türetilen Newton polinomlarıdır.
Formülün önemsiz olmadığından emin olmak için binom ayrıştırmasının ilk birkaç gücüne bakmak yeterlidir:
(x+y)2=x2+2xy+y2;
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3;
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4;
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
Her katsayı için onu hesaplamanıza izin veren bir ifade vardır. Bununla birlikte, hantal formülleri ezberlemek ve her seferinde gerekli aritmetik işlemleri yapmak, genellikle bu tür açılımlara ihtiyaç duyan matematikçiler için son derece elverişsiz olacaktır. Pascal üçgeni hayatı onlar için çok daha kolay hale getirdi.
Şekil aşağıdaki prensibe göre yapılmıştır. Üçgenin üstüne 1 yazılır ve sonraki her satırda bir rakam daha olur, kenarlara 1 konur ve satırın ortası bir öncekinden bitişik iki sayının toplamı ile doldurulur.
Resme baktığınız zaman her şey netleşir.
Tabii ki polinomların matematikteki kullanımı verilen örneklerle sınırlı değil, en çok bilinenleri.
