Polyhedra sadece geometride önemli bir yer tutmakla kalmaz, aynı zamanda her insanın günlük yaşamında da ortaya çıkar. Bir kibrit kutusu ile başlayan ve mimari elemanlarla biten, çeşitli çokgenler şeklinde yapay olarak oluşturulmuş ev eşyalarından bahsetmiyorum bile, küp (tuz), prizma (kristal), piramit (şelit), oktahedron (elmas) şeklinde kristaller, vb. e.
Çokyüzlü kavramı, geometride çokyüzlü türleri
Geometri bir bilim olarak üç boyutlu şekillerin özelliklerini ve özelliklerini inceleyen bir stereometri bölümü içerir. Üç boyutlu uzayda kenarları sınırlı düzlemler (yüzler) tarafından oluşturulan geometrik cisimlere "çokyüzlü" denir. Çokyüzlü türleri, yüzlerin sayısı ve şekli bakımından farklılık gösteren bir düzineden fazla temsilci içerir.
Ancak, tüm çokyüzlülerin ortak özellikleri vardır:
- Hepsinin 3 temel bileşeni vardır: yüz(bir çokgenin yüzeyi), tepe (yüzlerin birleştiği yerde oluşan köşeler), kenar (bir şeklin kenarı veya iki yüzün birleştiği yerde oluşan bir parça).
- Her çokgen kenarı birbirine bitişik olan iki ve yalnızca iki yüzü birbirine bağlar.
- Dışbükeylik, gövdenin tamamen, yüzlerden birinin üzerinde bulunduğu düzlemin yalnızca bir tarafında yer alması anlamına gelir. Kural, polihedronun tüm yüzleri için geçerlidir. Stereometrideki bu tür geometrik şekillere dışbükey çokyüzlüler denir. İstisna, düzenli çokyüzlü geometrik katıların türevleri olan yıldız şeklindeki çokyüzlülerdir.
Polyhedra koşullu olarak şu şekilde ayrılabilir:
- Dışbükey çokyüzlülerin türleri, şu sınıflardan oluşur: sıradan veya klasik (prizma, piramit, paralelyüzlü), düzenli (Platonik katılar olarak da adlandırılır), yarı düzenli (ikinci adı - Arşimet katıları).
- Dışbükey olmayan çokyüzlü (yıldız şeklinde).
Prizma ve özellikleri
Geometrinin bir dalı olarak stereometri, üç boyutlu şekillerin özelliklerini, çokyüzlü türlerini inceler (bir prizma bunlardan biridir). Bir prizma, mutlaka paralel düzlemlerde yatan iki kesinlikle aynı yüze (bunlara taban olarak da adlandırılır) sahip olan ve paralelkenarlar şeklinde n'inci yan yüz sayısına sahip olan geometrik bir gövdedir. Buna karşılık, prizmanın da çeşitli çokyüzlü türleri dahil olmak üzere birkaç çeşidi vardır:
- Parallelepiped - taban bir paralelkenar ise oluşur -2 çift zıt açısı ve 2 çift uyumlu zıt kenarı olan çokgen.
- Düz bir prizmanın tabana dik kenarları vardır.
- Eğimli prizma, yüzler ve taban arasında dik olmayan açıların (90 dışında) varlığı ile karakterize edilir.
- Düzenli bir prizma, eşit yan yüzlere sahip düzgün bir çokgen şeklindeki tabanlarla karakterize edilir.
Bir prizmanın temel özellikleri:
- Uyumlu tabanlar.
- Prizmanın tüm kenarları birbirine eşit ve paraleldir.
- Tüm yan yüzler paralelkenar şeklindedir.
Piramit
Piramit, bir taban ve n'inci sayıda üçgen yüzlerden oluşan, bir noktada - üstte - birbirine bağlanan geometrik bir gövdedir. Piramidin yan yüzleri mutlaka üçgenlerle temsil ediliyorsa, tabanın ya bir üçgen çokgen, ya bir dörtgen ya da bir beşgen ve sonsuza kadar devam edebileceğine dikkat edilmelidir. Bu durumda piramidin adı tabandaki çokgene karşılık gelecektir. Örneğin, bir üçgen bir piramidin tabanında bulunuyorsa, bu bir üçgen piramittir, bir dörtgen bir dörtgendir, vb.
Piramitler koni benzeri çokyüzlülerdir. Bu grubun çokyüzlü türleri, yukarıda listelenenlere ek olarak aşağıdaki temsilcileri de içerir:
- Düzenli bir piramidin tabanında düzgün bir çokgen vardır ve yüksekliği merkeze yansıtılırtabanda yazılı veya çevresinde çevrelenmiş bir daire.
- Yan kenarlardan biri tabanla dik açıda kesiştiğinde dikdörtgen bir piramit oluşur. Bu durumda bu kenara piramidin yüksekliği de demek doğru olur.
Piramit özellikleri:
- Piramidin tüm yan kenarları eşse (aynı yükseklikteyse), o zaman hepsi tabanla aynı açıda kesişir ve tabanın etrafında, merkezin izdüşümüne denk gelen bir daire çizebilirsiniz. piramidin tepesi.
- Piramidin tabanı düzgün bir çokgen ise, tüm yan kenarlar eşittir ve yüzler ikizkenar üçgenlerdir.
Düzenli çokyüzlü: çokyüzlülerin türleri ve özellikleri
Sterometride, köşelerinde aynı sayıda kenarın bağlı olduğu kesinlikle eşit yüzleri olan geometrik cisimler tarafından özel bir yer işgal edilir. Bu katılara Platonik katılar veya düzenli çokyüzlüler denir. Bu özelliklere sahip çokyüzlü türlerinin yalnızca beş şekli vardır:
- Tetrahedron.
- Altı yüzlü.
- Oktahedron.
- Dodecahedron.
- Icosahedron.
Düzenli çokyüzlüler, isimlerini yazılarında bu geometrik cisimleri tanımlayan ve onları doğal elementlerle ilişkilendiren antik Yunan filozofu Platon'a borçludur: toprak, su, ateş, hava. Beşinci figür, evrenin yapısıyla benzerlikle ödüllendirildi. Ona göre, doğal elementlerin atomları şekil olarak düzenli çokyüzlülerin türlerine benziyor. En heyecan verici özelliği nedeniyle -simetri, bu geometrik cisimler sadece eski matematikçiler ve filozoflar için değil, aynı zamanda tüm zamanların mimarları, sanatçıları ve heykeltıraşları için de büyük ilgi gördü. Mutlak simetriye sahip sadece 5 tür çokyüzlü varlığı temel bir keşif olarak kabul edildi, hatta onlara ilahi ilke ile bir bağlantı verildi.
Hexahedron ve özellikleri
Altıgen biçiminde, Platon'un halefleri, dünyanın atomlarının yapısıyla bir benzerlik varsaydılar. Elbette şu anda bu hipotez tamamen çürütülmüştür, ancak bu, figürlerin modern zamanlardaki estetikleriyle ünlü isimlerin zihinlerini çekmesine engel değildir.
Geometride, küp olarak da bilinen bir altı yüzlü, paralel yüzlü özel bir durum olarak kabul edilir, bu da bir tür prizmadır. Buna göre, küpün özellikleri prizmanın özellikleriyle ilişkilidir, tek fark küpün tüm yüzlerinin ve köşelerinin birbirine eşit olmasıdır. Aşağıdaki özellikler bundan kaynaklanmaktadır:
- Küpün tüm kenarları eşittir ve birbirine göre paralel düzlemlerde uzanır.
- Tüm yüzler eş karelerdir (bir küpte toplam 6 tane vardır), bunlardan herhangi biri taban olarak alınabilir.
- Tüm arayüz açıları 90'dır.
- Her köşeden eşit sayıda kenar çıkar, yani 3.
- Küpün 9 simetri ekseni vardır ve bunların tümü altı yüzlünün köşegenlerinin kesişme noktasında kesişir, buna simetri merkezi denir.
Tetrahedron
Bir tetrahedron, köşelerinin her biri üçgen şeklinde eşit yüzleri olan bir tetrahedrondur.üç yüzün birleşme noktasıdır.
Düzenli dörtyüzlülerin özellikleri:
- Bir tetrahedronun tüm yüzleri eşkenar üçgenlerdir, yani bir tetrahedronun tüm yüzleri eştir.
- Taban düzgün bir geometrik şekil ile temsil edildiğinden, yani kenarları eşit olduğundan, tetrahedronun yüzleri aynı açıda birleşir, yani tüm açılar eşittir.
- Köşelerin her birindeki düz açıların toplamı 180'dir, çünkü tüm açılar eşit olduğundan, düzgün bir dört yüzlünün herhangi bir açısı 60'tır.
- Köşelerin her biri, karşıt (ortamerkez) yüzün yüksekliklerinin kesişme noktasına yansıtılır.
Oktahedron ve özellikleri
Düzenli çokyüzlülerin türlerini tanımlarken, görsel olarak tabanlarla birbirine yapıştırılmış iki dörtgen düzenli piramit olarak temsil edilebilen bir oktahedron gibi bir nesneyi not etmekte başarısız olamazsınız.
Oktahedronun özellikleri:
- Geometrik bir cismin adı bile, yüzlerinin sayısını gösterir. Oktahedron, köşelerinin her birinde eşit sayıda yüzün yakınsadığı 8 uyumlu eşkenar üçgenden oluşur, yani 4.
- Bir oktahedronun tüm yüzleri eşit olduğundan, arayüz açıları da eşittir, bunların her biri 60'a eşittir ve böylece herhangi bir köşenin düzlem açılarının toplamı 240'tır.
Dodecahedron
Geometrik bir cismin tüm yüzlerinin düzgün bir beşgen olduğunu hayal edersek, o zaman bir onikiyüzlü elde ederiz -12 çokgenden oluşan bir şekil.
Dodekahedronun özellikleri:
- Üç yüz her tepe noktasında kesişir.
- Tüm yüzler eşittir ve aynı kenar uzunluğuna ve eşit alana sahiptir.
- Dodekahedronun 15 ekseni ve simetri düzlemi vardır ve bunlardan herhangi biri yüzün tepe noktasından ve karşı kenarın ortasından geçer.
Icosahedron
Dodekahedrondan daha az ilginç olmayan ikosahedron figürü, 20 eşit yüzü olan üç boyutlu bir geometrik gövdedir. Normal bir yirmi yüzlünün özellikleri arasında şunlar belirtilebilir:
- İkosahedronun tüm yüzleri ikizkenar üçgenlerdir.
- Beş yüz polihedronun her bir köşesinde birleşir ve köşenin bitişik açılarının toplamı 300'dür.
- İkosahedron, oniki yüzlü gibi, 15 eksene ve zıt yüzlerin orta noktalarından geçen simetri düzlemlerine sahiptir.
Yarı-düzenli çokgenler
Dışbükey çokyüzlüler grubu, Platonik katıların yanı sıra, kesik düzenli çokyüzlüler olan Arşimet katılarını da içerir. Bu grubun çokyüzlü türleri aşağıdaki özelliklere sahiptir:
- Geometrik cisimlerin çeşitli tiplerde çift olarak eşit yüzleri vardır, örneğin, kesik bir dörtyüzlü, normal bir dörtyüzlü gibi 8 yüze sahiptir, ancak bir Arşimet katı durumunda, 4 yüz üçgen ve 4 yüz altıgen olacaktır.
- Bir köşenin tüm açıları eşittir.
Yıldız çokyüzlü
Hacimsel olmayan geometrik cisim türlerinin temsilcileri, yüzleri birbiriyle kesişen yıldız şeklinde çokyüzlülerdir. İki normal 3D katıyı birleştirerek veya yüzlerini uzatarak oluşturulabilirler.
Bu nedenle, bu tür yıldız şeklinde çokyüzlüler şu şekilde bilinir: oktahedron, dodecahedron, icosahedron, cuboctahedron, icosododecahedron'un yıldız formları.
