Aksiyomatik yöntem, halihazırda kurulmuş olan bilimsel teoriler oluşturmanın bir yoludur. Kanıt veya çürütme gerektirmeyen argümanlara, gerçeklere, ifadelere dayanır. Aslında, bilginin bu versiyonu, başlangıçta içeriğin temellerden - aksiyomlardan mantıksal bir doğrulamasını içeren tümdengelimli bir yapı şeklinde sunulur.
Bu yöntem bir keşif olamaz, yalnızca bir sınıflandırma kavramıdır. Öğretim için daha uygundur. Temel, ilk hükümleri içerir ve bilgilerin geri kalanı mantıklı bir sonuç olarak takip eder. Bir teori inşa etmenin aksiyomatik yöntemi nerede? Çoğu modern ve yerleşik bilimin merkezinde yer alır.
Aksiyomatik yöntem kavramının oluşumu ve gelişimi, kelimenin tanımı
Öncelikle bu kavram Antik Yunanistan'da Öklid sayesinde ortaya çıktı. Geometride aksiyomatik yöntemin kurucusu oldu. Bugün tüm bilimlerde yaygındır, ancak en çok matematikte. Bu yöntem, yerleşik ifadeler temelinde oluşturulur ve sonraki teoriler mantıksal inşa ile türetilir.
Bu şu şekilde açıklanmaktadır:diğer terimlerle tanımlanır. Sonuç olarak, araştırmacılar, haklı ve sabit - temel, yani aksiyomlar olan temel sonuçların olduğu sonucuna vardılar. Örneğin, bir teoremi ispatlarken, genellikle zaten iyi kurulmuş ve çürütmeyi gerektirmeyen gerçeklere güvenirler.
Ancak, bundan önce kanıtlanmaları gerekiyordu. Bu süreçte, mantıksız bir ifadenin bir aksiyom olarak alındığı ortaya çıkıyor. Bir dizi sabit kavram temelinde, diğer teoremler kanıtlanmıştır. Planimetrinin temelini oluştururlar ve geometrinin mantıksal yapısıdır. Bu bilimde yerleşik aksiyomlar, herhangi bir nitelikteki nesneler olarak tanımlanır. Onlar da sabit kavramlarda belirtilen özelliklere sahiptir.
Aksiyomların daha fazla araştırılması
Yöntem on dokuzuncu yüzyıla kadar ideal olarak kabul edildi. Temel kavramları aramanın mantıksal araçları o günlerde çalışılmadı, ancak Öklid sisteminde aksiyomatik yöntemden anlamlı sonuçlar elde etmenin yapısı gözlemlenebilir. Bilim insanının araştırması, tamamen tümdengelimli bir yola dayalı eksiksiz bir geometrik bilgi sisteminin nasıl elde edileceği fikrini gösterdi. Onlara, kanıtlanabilir şekilde doğru olan nispeten az sayıda iddia edilen aksiyom teklif edildi.
Antik Yunan zihinlerinin erdemi
Öklid birçok kavramı kanıtladı ve bazıları haklı çıktı. Ancak çoğunluk bu erdemleri Pisagor, Demokritos ve Hipokrat'a atfeder. İkincisi, tam bir geometri kursu derledi. Doğru, daha sonra İskenderiye'de çıktıyazarı Öklid olan "Başlangıç" koleksiyonu. Daha sonra "Temel Geometri" olarak yeniden adlandırıldı. Bir süre sonra bazı gerekçelerle onu eleştirmeye başladılar:
- tüm değerler sadece cetvel ve pusula ile oluşturulmuştur;
- geometri ve aritmetik ayrıldı ve geçerli sayı ve kavramlarla kanıtlandı;
- aksiyomlar, bazıları, özellikle beşinci önermenin genel listeden silinmesi önerildi.
Sonuç olarak, Öklidyen olmayan geometri, nesnel olarak doğru bir varsayımın olmadığı 19. yüzyılda ortaya çıkıyor. Bu eylem, geometrik sistemin daha da gelişmesine ivme kazandırdı. Böylece matematiksel araştırmacılar tümdengelimli inşa yöntemlerine geldiler.
Aksiyomlara dayalı matematiksel bilginin geliştirilmesi
Yeni bir geometri sistemi gelişmeye başladığında, aksiyomatik yöntem de değişti. Matematikte, tamamen tümdengelimli bir teori yapısına daha sık dönmeye başladılar. Sonuç olarak, tüm bilimlerin ana bölümü olan modern sayısal mantıkta tam bir ispat sistemi ortaya çıkmıştır. Matematiksel yapıda gerekçelendirme ihtiyacını anlamaya başladı.
Böylece, yüzyılın sonunda, karmaşık bir teoremden en basit mantıksal ifadeye indirgenen net görevler ve karmaşık kavramların inşası oluşturuldu. Böylece, Öklidyen olmayan geometri, aksiyomatik yöntemin daha fazla varlığı için ve ayrıca genel nitelikteki problemlerin çözümü için sağlam bir temel oluşturdu.matematiksel yapılar:
- tutarlılık;
- doluluk;
- bağımsızlık.
Bu süreçte bir yorumlama yöntemi ortaya çıktı ve başarıyla geliştirildi. Bu yöntem şu şekilde tanımlanır: teorideki her çıktı kavramı için, toplamı alan olarak adlandırılan matematiksel bir nesne ayarlanır. Belirtilen öğelerle ilgili ifade yanlış veya doğru olabilir. Sonuç olarak ifadeler sonuçlara göre isimlendirilir.
Yorum teorisinin özellikleri
Kural olarak, alan ve özellikler de matematiksel sistemde dikkate alınır ve sırayla aksiyomatik hale gelebilir. Yorum, göreceli tutarlılığın olduğu ifadeleri kanıtlar. Ek bir seçenek, teorinin çelişkili hale geldiği bir dizi olgudur.
Aslında bazı durumlarda şart yerine getirilir. Sonuç olarak, ifadelerden birinin ifadesinde iki yanlış veya doğru kavram varsa, olumsuz veya olumlu olarak kabul edilir. Bu yöntem, Öklid geometrisinin tutarlılığını kanıtlamak için kullanıldı. Yorumlayıcı yöntemi kullanarak, aksiyom sistemlerinin bağımsızlığı sorunu çözülebilir. Herhangi bir teoriyi çürütmeniz gerekiyorsa, o zaman kavramlardan birinin diğerinden türetilmediğini ve hatalı olduğunu kanıtlamanız yeterlidir.
Ancak, başarılı ifadelerin yanı sıra yöntemin zayıf yönleri de vardır. Aksiyom sistemlerinin tutarlılığı ve bağımsızlığı, göreceli sonuçlar veren sorular olarak çözülür. Yorumlamanın tek önemli başarısı,Tutarlılık sorununun bir dizi başka bilime indirgendiği bir yapı olarak aritmetiğin rolünün keşfi.
Aksiyomatik matematiğin modern gelişimi
Aksiyomatik yöntem Gilbert'in çalışmasında gelişmeye başladı. Onun okulunda, teori ve biçimsel sistem kavramı açıklığa kavuşturulmuştur. Sonuç olarak, genel bir sistem ortaya çıktı ve matematiksel nesneler kesinleşti. Ayrıca, gerekçe sorunlarının çözülmesi mümkün hale geldi. Böylece, formüllerin ve teoremlerin alt sistemlerini içeren kesin bir sınıf tarafından resmi bir sistem oluşturulur.
Bu yapıyı inşa etmek için, yalnızca teknik kolaylık tarafından yönlendirilmeniz gerekir, çünkü anlamsal yükleri yoktur. İşaretler, semboller ile yazılabilirler. Yani aslında sistemin kendisi biçimsel teorinin yeterli ve tam olarak uygulanabileceği şekilde inşa edilmiştir.
Sonuç olarak, belirli bir matematiksel amaç veya görev, olgusal içeriğe veya tümdengelimli akıl yürütmeye dayalı bir teoriye dökülür. Sayısal bilimin dili biçimsel bir sisteme aktarılır, bu süreçte herhangi bir somut ve anlamlı ifade formülle belirlenir.
Formalizasyon yöntemi
Doğal durumda, böyle bir yöntem tutarlılık gibi küresel sorunları çözebilecek ve türetilmiş formüllere göre matematiksel teorilerin olumlu bir özünü oluşturabilecektir. Ve temel olarak tüm bunlar, kanıtlanmış ifadelere dayanan resmi bir sistem tarafından çözülecektir. Matematik teorileri sürekli olarak gerekçelerle karmaşıktı veGilbert, bu yapıyı sonlu yöntemler kullanarak araştırmayı önerdi. Ama bu program başarısız oldu. Gödel'in daha yirminci yüzyılda elde ettiği sonuçlar şu sonuçlara yol açtı:
- Doğal tutarlılık, bu sistemden formalize edilmiş aritmetik veya diğer benzer bilimlerin eksik olacağı gerçeğinden dolayı imkansızdır;
- çözülemeyen formüller çıktı;
- iddialar kanıtlanamaz.
Doğru yargılar ve makul sonlu sonlandırma resmileştirilebilir olarak kabul edilir. Bunu akılda tutarak, aksiyomatik yöntemin bu teori içinde kesin ve net sınırları ve olanakları vardır.
Matematikçilerin eserlerinde aksiyom geliştirmenin sonuçları
Bazı yargıların çürütülmesine ve gerektiği gibi geliştirilmemesine rağmen, sabit kavramlar yöntemi matematiğin temellerinin şekillenmesinde önemli bir rol oynamaktadır. Ayrıca bilimde yorumlama ve aksiyomatik yöntem, çoklu teoride tutarlılık, seçim ifadelerinden bağımsızlık ve hipotezlerin temel sonuçlarını ortaya çıkarmıştır.
Tutarlılık konusunu ele alırken asıl mesele sadece yerleşik kavramları uygulamak değil. Ayrıca fikirler, kavramlar ve sonlu bitirme araçları ile desteklenmeleri gerekir. Bu durumda mantıksal anlam ve gerekçelendirmeyi dikkate alması gereken çeşitli görüşler, yöntemler, teoriler düşünülür.
Formel sistemin tutarlılığı, tümevarım, sayma, transfinit sayıya dayanan benzer bir aritmetik bitişini gösterir. Bilimsel alanda aksiyomlaştırma en önemlitemel alınan reddedilemez kavram ve ifadelere sahip bir araç.
İlk ifadelerin özü ve teorilerdeki rolü
Bir aksiyomatik yöntemin değerlendirilmesi, özünde bir yapının yattığını gösterir. Bu sistem, altta yatan kavramın ve tanımsız olan temel ifadelerin tanımlanmasından oluşturulmuştur. Aynı şey orijinal kabul edilen ve ispatsız kabul edilen teoremler için de geçerlidir. Doğa bilimlerinde bu tür ifadeler kurallar, varsayımlar, yasalarla desteklenir.
Ardından yerleşik akıl yürütme temellerini düzeltme süreci gerçekleşir. Kural olarak, bir başkasının bir konumdan çıkarıldığı hemen belirtilir ve bu süreçte özünde tümdengelim yöntemiyle çakışan geri kalanı ortaya çıkar.
Modern zamanlarda sistemin özellikleri
Aksiyomatik sistem şunları içerir:
- mantıksal sonuçlar;
- terimler ve tanımlar;
- kısmen yanlış ifadeler ve kavramlar.
Modern bilimde bu yöntem soyutluğunu kaybetmiştir. Öklidyen geometrik aksiyomatizasyon, sezgisel ve doğru önermelere dayanıyordu. Ve teori benzersiz, doğal bir şekilde yorumlandı. Bugün bir aksiyom, kendi içinde bariz bir hükümdür ve bir anlaşma ve herhangi bir anlaşma, gerekçe gerektirmeyen bir başlangıç kavramı olarak hareket edebilir. Sonuç olarak, orijinal değerler açıklayıcı olmaktan uzak olabilir. Bu yöntem yaratıcılık, ilişkiler bilgisi ve altında yatan teori gerektirir.
Sonuç çıkarmanın temel ilkeleri
Tümdengelimsel olarak aksiyomatik yöntem, belirli bir şemaya göre inşa edilmiş, doğru bir şekilde gerçekleştirilmiş hipotezlere dayanan, ampirik gerçekler hakkında ifadeler türeten bilimsel bilgidir. Böyle bir sonuç, mantıksal yapılar temelinde, katı türetme yoluyla inşa edilir. Aksiyomlar, başlangıçta kanıt gerektirmeyen reddedilemez ifadelerdir.
Tümdengelim sırasında, ilk kavramlara belirli gereksinimler uygulanır: tutarlılık, tamlık, bağımsızlık. Uygulamanın gösterdiği gibi, ilk koşul biçimsel mantıksal bilgiye dayanmaktadır. Yani teori doğruluk ve yanlışlık anlamlarını taşımamalıdır çünkü artık anlamı ve değeri olmayacaktır.
Bu koşul sağlanmazsa, uyumsuz olarak kabul edilir ve içinde herhangi bir anlam kaybolur, çünkü doğru ile yanlış arasındaki anlamsal yük kaybolur. Tümdengelimsel olarak, aksiyomatik yöntem, bilimsel bilgiyi oluşturmanın ve doğrulamanın bir yoludur.
Yöntemin pratik uygulaması
Bilimsel bilgiyi yapılandırmanın aksiyomatik yönteminin pratik bir uygulaması vardır. Aslında, bu bilgi zaten doruk noktasına ulaşmış olsa da, bu yol matematiği etkiler ve küresel bir öneme sahiptir. Aksiyomatik yöntemin örnekleri aşağıdaki gibidir:
- afin düzlemlerin üç ifadesi ve bir tanımı vardır;
- eşdeğerlik teorisinin üç kanıtı vardır;
- ikili ilişkiler bir tanımlar, kavramlar ve ek alıştırmalar sistemine bölünmüştür.
Orijinal anlamı formüle etmek istiyorsanız, kümelerin ve öğelerin doğasını bilmeniz gerekir. Özünde, aksiyomatik yöntem, çeşitli bilim alanlarının temelini oluşturdu.
